1.3.2-函數(shù)的奇偶性講義LtDPAGEPAGE41.3.2函數(shù)的奇偶性一、對稱區(qū)間(關于原點對稱)[a，b]關于原點的對稱區(qū)間為[－b，－a](－∞，0)關于原點的對稱區(qū)間為(0，＋∞)[－1，1]關于原點的對稱區(qū)間為[－1，1]二、奇函數(shù)與偶函數(shù)（一）奇函數(shù)的定義：對于任意函數(shù)f(x)在其對稱區(qū)間（關于原點對稱）內(nèi)，對于x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，則f(x)為奇函數(shù)。（二）偶函數(shù)的定義：對于任意函數(shù)f(x)在其對稱區(qū)間（關于原點對稱）內(nèi)，對于x∈A，都有f(－x)＝f(x)，則f(x)為偶函數(shù)。如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，則我們就說函數(shù)f(x)具有奇偶性。（三）判斷函數(shù)奇偶性的步驟：（1）求函數(shù)f(x)的定義域；（2）若函數(shù)的定義域不關于原點對稱，則該函數(shù)不具備奇偶性，此時函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不偶函數(shù)；若函數(shù)f(x)的定義域關于原點對稱，再進行下一步；（3）求f(－x)；【解析】：偶函數(shù)變式練習1：已知函數(shù)f(x)＝x2＋x＋3＋(≠0)是偶函數(shù)，且定義域為[－1，2]，則＝_______，＝___________。【解析】：0變式練習2：下列函數(shù)是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A：f(x)＝x＋1B：f(x)＝－x3C：f(x)＝D：f(x)＝x×｜x｜【解析】：D變式練習3：若函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)，則＝_______。【解析】：f(－x)＝－f(x)，則＝－，得＝－，故＝－1例4：已知f(x)是R上的奇函數(shù)，當x≥0，f(x)＝x2－2x，求f(x)的表達式。【解析】：f(x)＝變式練習：已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，，當x＞0時，f(x)＝x2－2x－3，求f(x)的解析式。【解析】：f(x)＝例5：已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(－1)＝2，則f(1)＝_______。【解析】：f(1)＝－2變式練習1：若f(x)是R上的奇函數(shù)，當x≤0，f(x)＝2x2－x，則f(1)＝_________。【解析】：f(1)＝－3變式練習2：已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f(x)＝，則f[f(2)]＝()A：－B：C：－2D：2【解析】：D變式練習3：已知f(x)是奇函數(shù)，若g(x)＝f(x)＋4，且g(1)＝2，則f(－1)＝_________。【解析】：f(－1)＝－2變式練習4：若f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，則f(2)＝_________。【解析】：f(2)＝－26變式練習5：已知函數(shù)f(x)＝，則f()＋f()＝__________。【解析】：令f(x)＝，g(x)是奇函數(shù)，故f(－x)＝，f(－x)＝，故f(x)＋f(－x)＝6例6：已知f(x)是定義在(－1，1)上的奇函數(shù)且是減函數(shù)，滿足f(1－)＋f(1－2)＞0，求的取值范圍。【解析】：例7：已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間單調(diào)遞增，則滿足f(2x－1)＜f()的x取值范圍是（）A：(，)B：(，)C：[，）D：(，＋∞)【解析】：︱2x－1︱＜，則x∈(，)A變式練習2：設f(x)是R上的偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)上是增函數(shù)，且有f()＜f()，求的取值范圍。【解析】：法一：＝＞0，＝＞0＞，故0＜＜3法二：︱︱＞︱︱，則()2＞()2，()2－()2＞0，()()＜0，0＜＜3。變式練習3：函數(shù)f(x)（x≠0）是奇函數(shù)，且當x∈(0，＋∞)時是增函數(shù)，若f(1)＝0，求不等式f[x(x－)]＜0的解集。【解析】：由于函數(shù)是奇函數(shù)，在(0，＋∞)時是增函數(shù)，故在(－∞，0)上是增函數(shù)，∵f(1)＝0，則f(－1)＝0，則f[x(x－)]＜f(－1)或f[x(x－)]＜f(1)，得或或＜x＜0或＜x＜綜上所述：不等式的解集為(，0)∪(，)例8：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，對于任意的x∈R，都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(x)≠0。（1）求證：f(0)＝1；（2）求證：函數(shù)f(x)是偶函數(shù)。【解析】：（1）令x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＋f(0)＝2f(0)f(0)，f(x)≠0，故f(0)＝1；（2）令x＝0，則f(0＋y)＋f(0－y)＝2f(0)f(y)，得f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(－y)＝f(y)，即f(－x)＝f(x)，故函數(shù)f(x)是偶函數(shù)。變式練習1：若f(x)的定義域為R，且對任意x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立。（1）判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；（2）若當x＞0時，f(x)＞0，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（3）若f(8)＝4，求f(－)的值。【解析】：（1）令x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0，令y＝－x，則f(0)＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)，故函數(shù)是奇函數(shù)。（2）設＞，則－＞0，則f(－)＞0，則f()＝f(＋(－))＝f()＋f(－)，即f()－f()＝f(－)＞0，即f()＞f()。故f(x)在R上是增函數(shù)。（3）∵f(8)＝f(4)＋f(4)＝2f(4)＝4f(2)＝8f(1)＝16f()，故f()＝，函數(shù)是奇函數(shù)，∴f(－)＝－例9：已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[－3，－1]上是減函數(shù)，則f(－3)，f(1)，f(2)的大小關系是____。【解析】：f(1)＜f(2)＜f(－3)變式練習1：設函數(shù)f(x)是定義在[－6，6]上的奇函數(shù)，若當x[0，6]時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)＜0的解集為_____________。【解析】：(－3，0)∪(3，6)變式練習2：設f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≥0，時，f(x)＝x2－2x，則不等式f(x)＜3的解集為____。【解析】：[－3，3]變式練習3：已知y＝f(x)是偶函數(shù)，y＝g(x)奇函數(shù)，它們的定義域都是[－3，3]，且它們在x∈[0，3]上的圖象如圖所示，則不等式＜0的解集是_______。【解析】：由奇、偶函數(shù)性質(zhì)作出整個定義域內(nèi)的圖象，＜0，即＜0故：(－2，－1)∪(0，1)∪(2，3)課后綜合練習1、若是奇函數(shù)，則其圖象關于（）A：軸對稱 B：軸對稱 C：原點對稱 D：直線對稱【解析】：C2、已知函數(shù)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函數(shù)，那么b的值（）A：1B：2C：0D：不確定【解析】C3、下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）A： B： C： D：【解析】：C4、已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為（）A：B：C：D：0【解析】：D5、已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則下列關系式成立的是()A： B：C： D：【解析】：C6、若函數(shù)是奇函數(shù)，，則的值為____________。【解析】：－37、已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，的圖象如右圖所示，那么函數(shù)值y的取值范圍是____________。【解析】：8、如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3，7]上是增函數(shù)且最小值為5，那么f(x)在區(qū)間[－7，－3]上是（）A：增函數(shù)且最小值為－5 B：增函數(shù)且最大值為－5C：減函數(shù)且最小值為－5 D：減函數(shù)且最大值為－5【解析】：B9、下列函數(shù)是奇函數(shù)是（）A：f(x)＝B：f(x)＝C：f(x)＝D：f(x)＝【解析】：D10、下列函數(shù)是偶函數(shù)是（）A：f(x)＝B：f(x)＝C：f(x)＝D：f(x)＝【解析】：B11、已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則（）A：f()＜f()＜f()B：f()＜f()＜f()C：f()＜f()＜f()D：f()＜f()＜f()【解析】：＜2＜＜3A12、已知f(x)＝是定義在(－1，1)上的奇函數(shù)，且f()＝。（1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）判斷函數(shù)f(x)在(－1，1)上的單調(diào)性；（3）求解關于x的不等式