PAGEPAGE5組合與組合數公式基礎全面練(20分鐘35分)1．“Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(6))＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))”，則m＝()A．2 B．2或4 C．4 D．0【解析】選B.由Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(6))＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))得m＝2或6－m＝2，所以m＝2或4.2．若Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(m))＝6Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(m))，則m等于()A．9 B．8 C．7 D．6【解析】選C.因為Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(m))＝6Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(m))，所以meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－2))＝6×eq\f(m\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－3)),4×3×2×1)，即1＝eq\f(m－3,4)，解得m＝7.3．已知平面內A，B，C，D，E，F這6個點中任何3點均不共線，則以其中任意3個點為頂點的所有三角形的個數為()A．3B．20C．12D．24【解析】選B.Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))＝eq\f(6×5×4,3×2×1)＝20.4．方程Ceq\o\al(\s\up1(2x),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(2x－1),\s\do1(4))＝Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(6))－Ceq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))的解為________．【解析】由組合數公式的性質可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x≤4，,2x－1≤4，,2x∈N，,2x－1∈N，))Ceq\o\al(\s\up1(2x),\s\do1(5))＝5，得x＝eq\f(1,2)或x＝2.答案：x＝2或eq\f(1,2)【補償訓練】若Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(n))>Ceq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(n))，則n的集合是________．【解析】因為Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(n))>Ceq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(n))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(n))>Ceq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(n))，,n≥6))可得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n！,4！（n－4）！)>\f(n！,6！（n－6）！)，,n≥6))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n2－9n－10<0，,n≥6))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1<n<10，,n≥6.))因為n∈N*，所以n＝6，7，8，9.所以n的集合為{6，7，8，9}．答案：{6，7，8，9}5．在直角坐標系xOy平面上，平行于x軸和平行于y軸的直線各有6條，則由這12條直線組成的圖形中，矩形共有________個．【解析】從平行于x軸的6條直線中任取兩條，再從平行于y軸的6條直線中任取兩條，就能組成一個矩形，所以共有矩形Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))·Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝225個．答案：2256．判斷下列問題是組合問題還是排列問題：(1)設集合A＝{a，b，c，d，e}，則集合A的子集中含有3個元素的有多少個？(2)某鐵路線上有5個車站，則這條線上共需準備多少種車票，多少種票價？(3)元旦期間，某班10名同學互送賀年卡，傳遞新年的祝福，賀年卡共有多少張？【解析】(1)因為本問題與元素順序無關，故是組合問題．(2)因為甲站到乙站，與乙站到甲站車票是不同的，故是排列問題，但票價與順序無關，甲站到乙站，與乙站到甲站是同一種票價，故是組合問題．(3)甲寫給乙賀卡，與乙寫給甲賀卡是不同的，所以與順序有關，是排列問題．綜合突破練(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．已知圓上有9個點，每兩點連一線段，若任意兩條線段的交點不同，則所有線段在圓內的交點有()A．36個B．72個C．63個D．126個【解析】選D.此題可化歸為圓上9個點可組成多少個四邊形，所有四邊形的對角線的交點個數即所求，所以交點有Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(9))＝126(個).2．按ABO血型系統學說，每個人的血型為A，B，O，AB四種之一，依血型遺傳學，當且僅當父母中至少有一人的血型是AB型時，子女一定不是O型，若某人的血型為O型，則父母血型所有可能情況有()A．3種B．6種C．9種D．12種【解析】選C.父母應為A或B或O，共有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＝9種情況．3．計算Ceq\o\al(\s\up1(5－n),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(9－n),\s\do1(n＋1))＝()A．5B．16C．5或16D．4【解析】選C.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n≥5－n，,n＋1≥9－n，,9－n≥0，,5－n≥0，,n∈N*，))得n＝4或5.當n＝4時，原式＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＝5，當n＝5時，原式＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6))＝16.4．方程＝Ceq\o\al(\s\up1(5x－5),\s\do1(16))的解集為()A．{1，3} B．{3，5}C．(1，3) D．{1，3，5，－7}【解析】選A.因為＝Ceq\o\al(\s\up1(5x－5),\s\do1(16))，所以x2－x＝5x－5①或(x2－x)＋(5x－5)＝16②解①可得x＝1或x＝5(舍去)，解②可得x＝3或x＝－7(舍)，所以該方程的解集是{1，3}．5．氨基酸的排列順序是決定蛋白質多樣性的原因之一，某肽鏈由7種不同的氨基酸構成，若只改變其中3種氨基酸的排列順序，其他4種不變，則不同的改變方法的種數為()A．210B．126C．70D．35【解析】選C.從7種中取出3種有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7))＝35種取法，比如選出a，b，c3種，再都改變位置有b，c，a和c，a，b兩種改變方法，故不同的改變方法有2×35＝70種．二、填空題(每小題5分，共15分)6．從2，3，5，7四個數中任取兩個不同的數相乘，有m個不同的積；任取兩個不同的數相除，有n個不同的商，則m∶n＝________．【解析】因為m＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))，n＝Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))，所以m∶n＝1∶2.答案：1∶27．推廣組合數公式，定義Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(x))＝eq\f(x（x－1）…（x－m＋1）,m！)，其中x∈R，m∈N＋，且規定Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(x))＝1.則Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(－15))的值為________；【解析】由題中組合數的定義得Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(－15))＝eq\f(（－15）（－16）（－17）,3！)＝－680.答案：－6808．五個點中任何三點都不共線，則這五個點可以連成________條線段；如果是有向線段，共有________條．【解析】從五個點中任取兩個點恰好連成一條線段，這兩個點沒有順序，所以是組合問題，連成的線段共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＝10(條).再考慮有向線段的問題，這時兩個點的先后排列次序不同則對應不同的有向線段，所以是排列問題，排列數是Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＝20.所以有向線段共有20條．答案：1020三、解答題(每小題10分，共20分)9．(2021·南寧高二檢測)設m，n∈N*，m≤n，求證：Ceq\o\al(\s\up1(m＋1),\s\do1(n＋1))＝eq\f(n＋1,m＋1)Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n)).【解析】Ceq\o\al(\s\up1(m＋1),\s\do1(n＋1))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋1))！,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋1))！\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－m))！)＝eq\f(n＋1,m＋1)·eq\f(n！,m！\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－m))！)＝eq\f(n＋1,m＋1)Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n)).10．在6名內科醫生和4名外科醫生中，現要組成5人醫療小組送醫下鄉，依下列條件各有多少種選派方法？(1)有3名內科醫生和2名外科醫生．(2)既有內科醫生，又有外科醫生．【解析】(1)先選內科醫生有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))種選法，再選外科醫生有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))種選法，故有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝120種選派方法．(2)既有內科醫生，又有外科醫生，正面思考應包括四種情況，內科醫生去1人，2人，3人，4人，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))Ceq\o\a