《離散型隨機變量的均值與方差》教案考情分析考點新知離散型隨機變量的分布列、期望、方差和概率的計算問題結合在一起進行考查，這是當前高考命題的熱點，因為概率問題不僅具有很強的綜合性，而且與實際生產、生活問題密切聯系，能很好地考查分析、解決問題的能力．①了解取有限值的離散型隨機變量的均值、方差的意義．②會求離散型隨機變量的均值、方差和標準差，并能解決有關實際問題.1.(選修23P67習題4改編)某單位有一臺電話交換機，其中有8個分機．設每個分機在1h內平均占線10min，并且各個分機是否占線是相互獨立的，則任一時刻占線的分機數目X的數學期望為________．答案：eq\f(4,3)解析：每個分機占線的概率為eq\f(1,6)，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,6)))，即X服從二項分布，所以期望E(X)＝8×eq\f(1,6)＝eq\f(4,3).2.(選修23P66例2改編)有一批數量很大的商品的次品率為1%，從中任意地連續取出200件商品，設其中次品數為X，則E(X)＝________，V(X)＝________.答案：21.98解析：X～B(200,0.01)，所以期望E(X)＝200×0.01＝2，V(X)＝200×0.01×(1－0.01)＝1.98.3.(選修23P71習題4改編)某人進行射擊，每次中靶的概率均為0.8，現規定：若中靶就停止射擊，若沒中靶，則繼續射擊，如果只有3發子彈，則射擊數X的均值為________．(填數字)答案：1.24解析：射擊次數X的分布列為X123P0.80.160.04∴E(X)＝0.8×1＋0.16×2＋0.04×3＝1.24.1.均值(1)若離散型隨機變量ξ的分布列為：ξx1x2…xnPp1p2…pn則稱E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn為ξ的均值或數學期望，簡稱期望．(2)離散型隨機變量的期望反映了離散型隨機變量取值的平均水平．(3)數學期望的性質．E(c)＝c，E(aξ＋b)＝aEξ＋b(a、b、c為常數)．2.方差(1)若離散型隨機變量ξ所有可能的取值是x1，x2，…，xn且這些值的概率分別是p1，p2，…，pn，則稱：V(ξ)＝(x1－E(ξ))2p1＋(x2－E(ξ))2p2＋…＋(xn－E(ξ))2pn為ξ的方差．(2)σ＝eq\r(Vξ)，叫標準差．(3)隨機變量ξ的方差反映了ξ取值的穩定性．(4)方差的性質a、b為常數，則V(aξ＋b)＝a2Vξ.3.若ξ～B(n，p)，則E(ξ)＝np，V(ξ)＝np(1－p)．4.期望與方差的關系均值(期望)反映了隨機變量取值的平均水平，而方差則表現了隨機變量所取的值對于它的均值(期望)的集中與離散的程度，因此二者的關系是十分密切的，且有關系式V(ξ)＝E(ξ2)＋(E(ξ))2.題型1離散型隨機變量的期望例1已知離散型隨機變量ξ1的概率分布為ξ11234567Peq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)離散型隨機變量ξ2的概率分布為ξ23.73.83.944.14.24.3Peq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)求這兩個隨機變量數學期望、方差與標準差．解：E(ξ1)＝1×eq\f(1,7)＋2×eq\f(1,7)＋…＋7×eq\f(1,7)＝4；V(ξ1)＝(1－4)2×eq\f(1,7)＋(2－4)2×eq\f(1,7)＋…＋(7－4)2×eq\f(1,7)＝4，σ1＝eq\r(V（ξ1）)＝2.E(ξ2)＝3.7×eq\f(1,7)＋3.8×eq\f(1,7)＋…＋4.3×eq\f(1,7)＝4；V(ξ2)＝0.04，σ2＝eq\r(V（ξ2))＝0.2.eq\a\vs4\al(變式訓練)甲、乙兩射手在同一條件下進行射擊，分布列如下：射手甲擊中環數8，9，10的概率分別為0.2，0.6，0.2；射手乙擊中環數8，9，10的概率分別為0.4，0.2，0.4.用擊中環數的期望與方差比較兩名射手的射擊水平．解：Eξ1＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9，V(ξ1)＝(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.6＋(10－9)2×0.2＝0.4；同理有E(ξ2)＝9，V(ξ2)＝0.8.由上可知，E(ξ1)＝E(ξ2)，V(ξ1)<V(ξ2)．所以，在射擊之前，可以預測甲、乙兩名射手所得的平均環數很接近，均在9環左右，但甲所得環數較集中，以9環居多，而乙得環數較分散，得8、10環的次數多些．題型2離散型隨機變量的方差與標準差例2某工藝廠開發一種新工藝品，頭兩天試制中，該廠要求每位師傅每天制作10件，該廠質檢部每天從每位師傅制作的10件產品中隨機抽取4件進行檢查，若發現有次品，則當天該師傅的產品不能通過．已知李師傅第一天、第二天制作的工藝品中分別有2件、1件次品．(1)求兩天中李師傅的產品全部通過檢查的概率；(2)若廠內對師傅們制作的工藝品采用記分制，兩天全不通過檢查得0分，通過1天、2天分別得1分、2分，求李師傅在這兩天內得分的數學期望．解：(1)設李師傅產品第一天通過檢查為事件A；第二天產品通過檢查為事件B.則有P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(3,5)，由事件A、B獨立，∴P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(3,10).答：李師傅這兩天產品全部通過檢查的概率為eq\f(3,10).(2)記得分為ξ，則ξ的可能值為0，1，2.∵P(ξ＝0)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)；P(ξ＝1)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(8,15)；P(ξ＝2)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,5).∴E(ξ)＝0×eq\f(4,15)＋1×eq\f(8,15)＋2×eq\f(1,5)＝eq\f(14,15).答：李師傅在這兩天內得分的數學期望為eq\f(14,15).數學期望中的注意問題：(1)數學期望是離散型隨機變量的一個特征數，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．(2)E(X)是一個常數，由隨機變量X的概率分布唯一確定，即隨機變量X是可變的，而E(