高等數(shù)學(xué)二重積分的計(jì)算1第一頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日0xz

ycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y)yD:(y)x(y)

cyd2第二頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日0xz

ycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y).yD:(y)x(y)

Q(y

)=I=cyd3第三頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日0xz

ydD:(y)x(y)cydQ(y

)=I=z=f(x,y)x=(y)4第四頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日1.積分區(qū)域?yàn)?其中函數(shù)

在區(qū)間[c,d]上連續(xù).即二重積分的計(jì)算有兩種積分順序5第五頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日2.積分區(qū)域?yàn)?其中函數(shù)

在區(qū)間

上連續(xù).6第六頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日3.若區(qū)域如圖,在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式.(利用積分區(qū)域的可加性)則必須分割.7第七頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例求解所圍平面閉區(qū)域.兩曲線的交點(diǎn)法一8第八頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日法二9第九頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日特殊地,D為矩形域:a≤x≤b,c≤y≤d.即等于兩個(gè)定積分的乘積.則則如D是上述矩形域,10第十頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例siny2對(duì)y的積分而它對(duì)x的積分交換積分次序的方法是:改寫D為:oxy

分析所以將二次積分先將所給的積分域(1)(2)畫(huà)出積分域的草圖(3)計(jì)算二次積分不能用基本積分法算出,可用基本積分法算出.交換積分次序.用聯(lián)立不等式表示D:11第十一頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日oxy12第十二頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日解

求其中D是以為頂點(diǎn)的三角形.所以,積分時(shí)必須考慮次序.因無(wú)法用初等函數(shù)表示,練習(xí)13第十三頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例

交換積分次序:解積分區(qū)域:原式=14第十四頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日解

計(jì)算積分所以,先交換積分次序.因不能用初等函數(shù)表示,練習(xí)15第十五頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日解原式=交換積分次序：練習(xí)16第十六頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日解練習(xí)交換積分次序17第十七頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日而且又是能否進(jìn)行計(jì)算的問(wèn)題.計(jì)算二重積分時(shí),恰當(dāng)?shù)倪x取積分次序十分重要,它不僅涉及到計(jì)算繁簡(jiǎn)問(wèn)題,凡遇如下形式積分:等,一定要放在后面積分.18第十八頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例

求證對(duì)于左邊的累次積分,先交換積分次序.積分區(qū)域:可表為:證19第十九頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日10.2.2在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分二重積分在極坐標(biāo)下的表達(dá)式為極坐標(biāo)系中的面積元素20第二十頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日θθ在極坐標(biāo)系下,一般化成1.極點(diǎn)在區(qū)域D的外面21第二十一頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日2.極點(diǎn)在區(qū)域D的邊界上

(曲邊扇形)22第二十二頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積θ3.極點(diǎn)在區(qū)域D的內(nèi)部23第二十三頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日

直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系為2.積分區(qū)域D是由圓弧、或圓弧與直線所圍成，

常用極坐標(biāo)計(jì)算因此

在極坐標(biāo)下1.若被積函數(shù)形如圓環(huán)、扇形等.24第二十四頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日解例寫出積分的極坐標(biāo)二次積分形式,其中積分區(qū)域在極坐標(biāo)系下,圓的方程為直線的方程為P2345(5)25第二十五頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日解a例計(jì)算其中D是由中心在原點(diǎn),半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域.在極坐標(biāo)系下注26第二十六頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日D2例計(jì)算分析:因被積函數(shù)故的在積分域內(nèi)變號(hào).D1解27第二十七頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日解計(jì)算所圍成的平面閉區(qū)域.及直線練習(xí)28第二十八頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日將直角坐標(biāo)系下累次積分:化為極坐標(biāo)系下的累次積分.oxy解練習(xí)原式=29第二十九頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例將積分化為極坐標(biāo)形式r=Ry=RxD1D2R0y

xDarctanR解30第三十頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱,如果函數(shù)

f(x,y)關(guān)于變量

y為偶函數(shù).oxyD1則D1為D在第一象限中的部分,則如果

f(x,y)關(guān)于變量y為奇函數(shù)

我們經(jīng)常利用被積函數(shù)的奇、偶性和積分區(qū)域的對(duì)稱性質(zhì)簡(jiǎn)化重積分的計(jì)算.10.2.3對(duì)稱性與二重積分31第三十一頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日如果函數(shù)

f(x,y)關(guān)于變量x為奇函數(shù)oxyD1如果函數(shù)

f(x,y)關(guān)于變量x則為偶函數(shù)則類似地,設(shè)區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱,D1為D在第一象限中的部分,32第三十二頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日00D1為上半圓域D2為右半圓域例如,設(shè)D為圓域(如圖)33第三十三頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日34

解由性質(zhì)得

例34第三十四頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日

計(jì)算解

積分區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱,被積函數(shù)關(guān)于y為偶函數(shù).原式=記D1為D的y≥0的部分.則D1例35第三十五頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日36

思考當(dāng)f為關(guān)于x且關(guān)于y的偶函數(shù)時(shí)：當(dāng)f為關(guān)于x或關(guān)于y的奇函數(shù)時(shí)：0？4？Di是區(qū)域D位于第i(i=1,2,3,4)象限的區(qū)域

設(shè)區(qū)域關(guān)于x軸、y軸均對(duì)稱,函數(shù)f(x,y)在D上可積，則36第三十六頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日37?若D為?

此式的幾何意義是:中心在原點(diǎn)的上半球的體積等于它在第一卦限內(nèi)的體積的4倍.??0D1為x≥0,y≥0,則37第三十七頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域,D1是D在第一象限的部分,(A)(B)(C)(D)0A練習(xí)38第三十八頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日D1D2D3D4記

I=則I=I1+

I2,其中I1=I2=而

I1=D1與D2關(guān)于y軸對(duì)稱D3與D4關(guān)于x軸對(duì)稱xy關(guān)于x和關(guān)于y都是奇函數(shù)39第三十九頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日而

I2=是關(guān)于x的偶函數(shù),關(guān)于y的奇函數(shù).

所以

D1D