《數(shù)字信號(hào)處理》第1章連續(xù)信號(hào)與連續(xù)系統(tǒng)本章主要復(fù)習(xí)及歸納《信號(hào)與系統(tǒng)》課程中連續(xù)信號(hào)和連續(xù)系統(tǒng)的相關(guān)知識(shí)。首先對(duì)信號(hào)從時(shí)域和頻域兩領(lǐng)域進(jìn)行復(fù)習(xí)，然后復(fù)習(xí)線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域和頻域特性，最后討論如何對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行數(shù)字化處理的方法。本章內(nèi)容為第2、3、4章離散信號(hào)及系統(tǒng)的研究提供可供對(duì)比的思路。1.1連續(xù)時(shí)間信號(hào)分析1.1.1連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域分析1．信號(hào)的分類信號(hào)可從不同的角度來(lái)區(qū)分。從時(shí)間上是否連續(xù)，信號(hào)可分為連續(xù)時(shí)間信號(hào)（模擬信號(hào)）、離散時(shí)間信號(hào)和數(shù)字信號(hào),如圖所示。(a)連續(xù)時(shí)間信號(hào)(b)離散時(shí)間信號(hào)(c)數(shù)字信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)是指在所討論的時(shí)間內(nèi)的任意時(shí)間點(diǎn)上都有定義的值，連續(xù)時(shí)間信號(hào)也稱為模擬信號(hào)；離散時(shí)間信號(hào)是指在所討論的時(shí)間內(nèi)，只有某些不連續(xù)的時(shí)間點(diǎn)上有定義的值，在其他的時(shí)間點(diǎn)上無(wú)定義的信號(hào)；數(shù)字信號(hào)是指對(duì)離散信號(hào)的幅值進(jìn)一步進(jìn)行量化處理，得到時(shí)間離散、幅值也是離散的信號(hào)形式。根據(jù)是否可以用明確的時(shí)間函數(shù)表示，可以將信號(hào)分為確定信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)。如果信號(hào)可以用確定的函數(shù)值表示，即任意時(shí)刻的函數(shù)值都是已知的，則稱為確定信號(hào)；如果對(duì)于某一信號(hào)，不可能知道下一時(shí)刻的信號(hào)值，則稱為隨機(jī)信號(hào)。根據(jù)信號(hào)是否滿足周期關(guān)系，可以將信號(hào)分為周期信號(hào)和非周期信號(hào)。周期信號(hào)是指信號(hào)的出現(xiàn)滿足一定的周期關(guān)系，在經(jīng)歷了時(shí)間T后還會(huì)重復(fù)出現(xiàn)的信號(hào)形式非周期信號(hào)即不滿足上式的信號(hào)，即信號(hào)不可再重復(fù)出現(xiàn)。根據(jù)信號(hào)是功率有限的還是能量有限的可以將信號(hào)分為功率信號(hào)和能量信號(hào)。如果信號(hào)的功率是有限的，則稱為功率信號(hào)；如果信號(hào)的能量是有限的，則稱為能量信號(hào)。根據(jù)信號(hào)的出現(xiàn)時(shí)刻，可以將信號(hào)分為無(wú)時(shí)限信號(hào)、因果信號(hào)和時(shí)限信號(hào)。無(wú)時(shí)限信號(hào)是指在時(shí)間域區(qū)間上都有定義的信號(hào)，即在時(shí)間軸上恒有定義因果信號(hào)是指在時(shí)刻之后開始有定義的信號(hào)時(shí)限信號(hào)是指僅在時(shí)刻范圍內(nèi)有定義的信號(hào)2．常用信號(hào) （1）直流信號(hào) （2）單位階躍信號(hào) （3）單位沖激信號(hào) （4）指數(shù)信號(hào) （5）正弦信號(hào) （6）復(fù)指數(shù)信號(hào)（1）直流信號(hào)直流信號(hào)是指取的范圍內(nèi)，其值恒為一常數(shù)的信號(hào)，可以表示為

，其中為常數(shù)。（2）單位階躍信號(hào)單位階躍信號(hào)是時(shí)，輸出為0，自時(shí)刻起，輸出為1的信號(hào)（3）單位沖激信號(hào)單位沖激信號(hào)是僅在時(shí)刻幅值趨于無(wú)窮大，能量為1的信號(hào)。能量為1即滿足因?yàn)闆_激信號(hào)僅在時(shí)有函數(shù)值，可以看成是偶函數(shù)，即。沖激信號(hào)常用到的性質(zhì)有：任意信號(hào)與單位沖激信號(hào)的乘積，僅在時(shí)刻有輸出（1-7）其余時(shí)刻的乘積均為0；若將沖激信號(hào)延時(shí)，可以得到（1-8）僅在時(shí)刻有輸出值。對(duì)任意信號(hào)與單位沖激信號(hào)的乘積，在時(shí)間軸求積分，則（1-9）若將沖激信號(hào)延時(shí)，又可以得到（1-10）（4）指數(shù)信號(hào)指數(shù)信號(hào)的表達(dá)式為，和為常數(shù)

（5）正弦信號(hào)正弦信號(hào)包含正弦和余弦信號(hào)，其表示式為式中、、分別表示振幅、角頻率和初相。

（6）復(fù)指數(shù)信號(hào)復(fù)指數(shù)信號(hào)是指數(shù)信號(hào)的指數(shù)因子為復(fù)數(shù)的信號(hào)如果，即，則為直流信號(hào)的形式；如果，即，則為實(shí)指數(shù)信號(hào)；如果，即，則；如果，則。3．連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域分解通常需要將復(fù)雜信號(hào)分解為常見的簡(jiǎn)單信號(hào)或者有特殊性質(zhì)的信號(hào)組合的形式，這為研究各種復(fù)雜信號(hào)提供了方便。（1）直流分量與交流分量的形式任意信號(hào)可分解為直流分量和交流分量之和（2）偶分量和奇分量的形式任意信號(hào)可分解為偶分量和奇分量之和若為因果信號(hào)，則（3）階躍函數(shù)的形式任意信號(hào)可分解為在不同時(shí)刻具有不同階躍幅度的無(wú)窮多個(gè)階躍函數(shù)的連續(xù)和（4）沖激函數(shù)的形式任意信號(hào)可分解為在不同時(shí)刻具有不同強(qiáng)度的無(wú)窮多個(gè)沖激函數(shù)的連續(xù)和4．連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域運(yùn)算設(shè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)與

(1)信號(hào)相加減運(yùn)算是指對(duì)應(yīng)時(shí)刻的信號(hào)相加(2)兩信號(hào)相乘運(yùn)算是指對(duì)應(yīng)時(shí)刻的信號(hào)相乘(3)微分運(yùn)算表示為(4)積分運(yùn)算表示為(5)時(shí)移 將信號(hào)沿t軸平移即得時(shí)移信號(hào)(6)折疊 將信號(hào)以縱坐標(biāo)為軸折疊，即得到折疊信號(hào)1.1.2連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析1.周期信號(hào)的頻譜分析----傅里葉級(jí)數(shù)(1)三角形式(2)指數(shù)形式2.非周期信號(hào)的頻譜分析-----傅里葉變換對(duì)于任意非周期信號(hào)，若滿足狄里赫利（Dirichlet）條件且在無(wú)窮區(qū)間絕對(duì)可積，可求得的頻譜函數(shù)為若已知，可求得其在時(shí)域中對(duì)應(yīng)函數(shù)為因?yàn)橐话闶菑?fù)數(shù)函數(shù)可表示為與分別稱為信號(hào)的振幅譜與相位譜傅里葉正變換傅里葉反變換3．傅里葉變換的基本性質(zhì)1）對(duì)稱性2）線性性3）時(shí)移特性4）尺度變換5）頻移特性6）時(shí)域卷積，對(duì)應(yīng)頻域相乘，即7）時(shí)域相乘，對(duì)應(yīng)頻域卷積，即

8）時(shí)域抽樣，對(duì)應(yīng)頻域周期延拓，即9）頻域抽樣，對(duì)應(yīng)時(shí)域周期延拓，即10）信號(hào)能量可從時(shí)域及頻域角度表示，即

4．典型非周期信號(hào)的頻譜見表1-25．連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域分析-----拉普拉斯變換1）拉普拉斯變換定義、收斂域連續(xù)時(shí)間信號(hào)的單邊拉氏變換定義為稱為復(fù)頻率，與構(gòu)成S復(fù)平面

拉氏正變換拉氏反變換2)常用信號(hào)的拉氏變換見表1-33)拉氏變換的基本性質(zhì)見表1-41.2連續(xù)時(shí)間信號(hào)處理系統(tǒng)1.2.1線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域分析1．線性性對(duì)于給定的系統(tǒng)輸入分別為、，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)輸出為、。如果輸入為時(shí)，輸出為，如果滿足，該系統(tǒng)就稱為線性系統(tǒng)。2．時(shí)不變性時(shí)不變性是指任意時(shí)刻向系統(tǒng)輸入信號(hào)，其輸出都是相同的形式。令在時(shí)刻系統(tǒng)輸入信號(hào)為，輸出為。將輸入信號(hào)延時(shí)，即輸入信號(hào)為，輸出也滿足延時(shí)時(shí)間輸出，即輸出為。3．因果性因果性是指只有當(dāng)系統(tǒng)有輸入時(shí)，才會(huì)產(chǎn)生輸出，即有因才有果的系統(tǒng)。

4．穩(wěn)定性若系統(tǒng)對(duì)有界激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)也是有界的，則該系統(tǒng)即為穩(wěn)定系統(tǒng)，否則為不穩(wěn)定系統(tǒng)。穩(wěn)定系統(tǒng)成立的必要條件是，其充要條件是系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)絕對(duì)可積，即。根據(jù)和的關(guān)系，就可找到系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系：（1）在時(shí)域中，若，則在復(fù)頻域中，必然有的極點(diǎn)全部位于s平面的左半平面，該系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）在時(shí)域中，若有限值，則在復(fù)頻域中，若的極點(diǎn)除了位于s平面的左半平面，只要在軸上至少有一對(duì)單階的共軛極點(diǎn)，或在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)單極點(diǎn)，該系統(tǒng)即為臨界穩(wěn)定。（3）在時(shí)域中，若，則在復(fù)頻域中，若的極點(diǎn)只要有一個(gè)位于s平面的右半平面，則系統(tǒng)就是不穩(wěn)定系統(tǒng)；若極點(diǎn)位于虛軸上且是重階的，則也為不穩(wěn)定系統(tǒng)1.2.2線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻域分析1．頻域傳輸函數(shù)設(shè)系統(tǒng)輸入信號(hào)的傅里葉變換為，系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換為，則定義頻域傳輸函數(shù)為一般為實(shí)變量的復(fù)數(shù)函數(shù)，故可寫為和分別稱為系統(tǒng)的幅頻函數(shù)及相頻函數(shù)，統(tǒng)稱為系統(tǒng)的頻率特性。和為的偶函數(shù)，和為的奇函數(shù)，因此可以利用系統(tǒng)的頻響特性來(lái)分析系統(tǒng)的性能。2．復(fù)頻域系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的拉氏變換與激勵(lì)的拉氏變換之比，一般用表示。即在時(shí)域中，線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出為，由拉氏變換性質(zhì)可知，在復(fù)頻域中，即系統(tǒng)函數(shù)就是單位沖激響應(yīng)的拉氏變換

系統(tǒng)函數(shù)一般是一個(gè)實(shí)系數(shù)有理分式，即

將上式的分子與分母多項(xiàng)式分解因式，并設(shè)為只有單根，則有式中為一實(shí)常數(shù)，、分別為分子和分母等于零的根。當(dāng)時(shí)，，稱為的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，稱為的極點(diǎn)。在s平面上，零點(diǎn)用“”表示，極點(diǎn)用“”表示，將的零點(diǎn)和極點(diǎn)全部畫在s平面上得到的圖，稱為系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)圖。3．利用系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行復(fù)頻域分析（1）系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)分布決定其時(shí)域特性列舉幾種典型情況下極點(diǎn)分布與原函數(shù)的波形對(duì)應(yīng)關(guān)系1）若極點(diǎn)位于s平面坐標(biāo)原點(diǎn)，即，沖激響應(yīng)為階躍函數(shù)2）若極點(diǎn)位于s平面實(shí)軸上，沖激響應(yīng)具有指數(shù)函數(shù)形式若，則，此時(shí)極點(diǎn)為負(fù)實(shí)數(shù)，沖激響應(yīng)按指數(shù)衰減；若，則，這時(shí)極點(diǎn)是正實(shí)數(shù)，沖激響應(yīng)按指數(shù)增加；3）虛軸上共軛極點(diǎn)給出等幅振蕩，如，其兩個(gè)極點(diǎn)位于4）S左半平面共軛極點(diǎn)對(duì)應(yīng)衰減振蕩，如

S右半平面共軛極點(diǎn)對(duì)應(yīng)增幅振蕩，如（2）系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系根據(jù)和的關(guān)系，就可找到系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系。1）在時(shí)域中，若，則在復(fù)頻域中，必然有的極點(diǎn)全部位于s平面的左半平面，該系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。2）在時(shí)域中，若為有限值，則在復(fù)頻域中，若的極點(diǎn)中除了左半s平面上有極點(diǎn)外，只要在軸上至少有一對(duì)單階的共軛極點(diǎn)，或在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)單極點(diǎn)，則該系統(tǒng)就是臨界穩(wěn)定的。3）在時(shí)域中，若，則在復(fù)頻域中，的極點(diǎn)中只要有一個(gè)位于s平面的右半平面，則系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的；若出現(xiàn)的極點(diǎn)在虛軸上且是重階的，則系統(tǒng)也是不穩(wěn)定的。1.2.3用微分方程描述線性時(shí)不變系統(tǒng)1.系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—微分方程與轉(zhuǎn)移算子描述線性時(shí)不變系統(tǒng)激勵(lì)與響應(yīng)關(guān)系的方程為一常系數(shù)線性非齊次常微分方程，即引入微分算子后，可寫成

即式中稱為微分方程的特征多項(xiàng)式為該系統(tǒng)的特征方程。

稱為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子或傳輸算子。2．微分方程的解—系統(tǒng)的全響應(yīng)(1)微分方程的解即為系統(tǒng)的全響應(yīng)，系統(tǒng)的全響應(yīng)可按三種方式分解：1）全響應(yīng)零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)2）全響應(yīng)自由響應(yīng)+強(qiáng)迫響應(yīng)3）全響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（2）系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的求解當(dāng)系統(tǒng)的激勵(lì)時(shí)，僅由系統(tǒng)的初始儲(chǔ)能（初始條件）產(chǎn)生的響應(yīng)稱為系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。其求法是：1）當(dāng)?shù)母鶠閚個(gè)單根（不論實(shí)根、虛根或復(fù)數(shù)根）時(shí)，2）當(dāng)?shù)母鶠閚重根（不論實(shí)根、虛根或復(fù)數(shù)根）時(shí)，式中為積分常數(shù)，應(yīng)將系統(tǒng)響應(yīng)的初始值及各階導(dǎo)數(shù)的初始值代入上兩式中確定。3．系統(tǒng)的沖激響應(yīng)（1）單位沖激激勵(lì)在零狀態(tài)系統(tǒng)中產(chǎn)生的響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)。可根據(jù)的部分分式展開式求解。因?yàn)?）當(dāng)時(shí)，若的根為n個(gè)單根，則可將展開為式中，為部分分式的待定系數(shù)。于是得若的根中含有r重根，在的部分分式中就將含有形如的項(xiàng)，則與之對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)的形式為2）當(dāng)時(shí)，可將用除法化成為一個(gè)常數(shù)與一個(gè)真分式之和，即

則3）當(dāng)時(shí)，中除含有上式各項(xiàng)外，還要含有直到的沖激函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)。（2）用卷積積分法求零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為1.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的數(shù)字化處理1.3.1連續(xù)時(shí)間信號(hào)的數(shù)字化處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)需要經(jīng)過(guò)數(shù)字化處理變成離散信號(hào)或數(shù)字信號(hào)，才能在計(jì)算機(jī)或其它數(shù)字系統(tǒng)中進(jìn)行處理，經(jīng)過(guò)處理的數(shù)字信號(hào)可以直接輸出或恢復(fù)成連續(xù)時(shí)間信號(hào)輸出。本節(jié)就是討論連續(xù)信號(hào)的數(shù)字化處理過(guò)程及信號(hào)的恢復(fù)。1．連續(xù)時(shí)間信號(hào)的數(shù)字化處理過(guò)程連續(xù)信號(hào)先通過(guò)預(yù)濾波器濾除掉受干擾的頻率成分，然后經(jīng)過(guò)A/DC轉(zhuǎn)換器，A/DC換器將連續(xù)信號(hào)進(jìn)行抽樣和量化編碼，轉(zhuǎn)變?yōu)闀r(shí)間上離散、幅值上離散的數(shù)字信號(hào)，然后對(duì)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行數(shù)字信號(hào)處理，經(jīng)過(guò)處理的數(shù)字信號(hào)可以直接輸出或恢復(fù)成連續(xù)時(shí)間信號(hào)輸出，如果是恢復(fù)成連續(xù)時(shí)間信號(hào)輸出，則需要進(jìn)入D/AC轉(zhuǎn)換，把數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換成連續(xù)時(shí)間信號(hào)并經(jīng)平滑濾波輸出。

圖1-7

A/DC轉(zhuǎn)換

A/DC轉(zhuǎn)換的過(guò)程包括抽樣和量化編碼兩個(gè)部分，如圖所示。A/DC轉(zhuǎn)換中對(duì)連續(xù)信號(hào)抽樣之后的值是時(shí)間上離散、幅值上連續(xù)的離散信號(hào)，再經(jīng)過(guò)量化編碼將離散信號(hào)轉(zhuǎn)變成二進(jìn)制數(shù)表示的數(shù)字信號(hào)。一個(gè)連續(xù)正弦時(shí)間信號(hào)，設(shè)模擬頻率200Hz，采樣頻率800Hz，將代入中，則當(dāng)時(shí)，得到序列：若圖1-7中A/DC轉(zhuǎn)換字長(zhǎng)為8位（含小數(shù)點(diǎn)前的符號(hào)位），則經(jīng)過(guò)A/DC轉(zhuǎn)換器的量化編碼后輸出用二進(jìn)制表示為用十進(jìn)制表示為可見抽樣后的與量化編碼后的是有誤差的，例如時(shí)，抽樣后的，而量化編碼后的，這個(gè)誤差，就稱為量化誤差。1.3.2抽樣定理1．抽樣信號(hào)抽樣就是對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行等間隔采樣，其輸出就是抽樣信號(hào)。將連續(xù)時(shí)間信號(hào)通過(guò)一電子開關(guān)，當(dāng)閉合時(shí)，連續(xù)時(shí)間通過(guò)開關(guān)輸出，當(dāng)斷開時(shí)，輸出為零，在電子開關(guān)的輸出端就獲得了抽樣信號(hào)，如圖1-8所示。圖1-8抽樣信號(hào)的產(chǎn)生抽樣信號(hào)的產(chǎn)生可理解為連續(xù)時(shí)間函數(shù)與抽樣脈沖的乘積。如圖1-9所示，設(shè)為抽樣間隔，抽樣脈沖為

（1-35）抽樣信號(hào)可表示為

（1-36）圖1-9抽樣信號(hào)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)理解2．抽樣信號(hào)的傅里葉變換與拉氏變換抽樣脈沖傅里葉變換表示為其中由傅里葉變換的性質(zhì)可知，時(shí)域相乘對(duì)應(yīng)頻域卷積，所以抽樣信號(hào)的傅里葉變換為從圖形表示中可以看出，周期抽樣脈沖的頻譜是周期為的脈沖函數(shù)。連續(xù)時(shí)間信號(hào)經(jīng)過(guò)頻域卷積之后，相當(dāng)于以為周期，進(jìn)行了頻