目錄

第一講二次根式的概念與性質(zhì).................................................................2

第二講最簡二次根式與同類二次根式.........................................................11

第三講二次根式的運(yùn)算......................................................................21

第四講二次根式的綜合運(yùn)算..................................................................36

第五講二次根式單元復(fù)習(xí)....................................................................47

第六講一元二次方程概念及解法（一）.......................................................59

第七講因式分解及配方法解一元二次方程.....................................................70

第八講一元一次方程求根公式及解法.........................................................81

第九講根的判別式及其應(yīng)用..................................................................93

第十講二次三項(xiàng)式的因式分解及一元二次方程的應(yīng)用..........................................104

第十一講一元二次方程應(yīng)用（二）........................................................113

第十二講一元二次方程復(fù)習(xí)................................................................126

第十三講函數(shù)的概念及正比例函數(shù)的概念....................................................138

第十四講正比例函數(shù)的圖像及性質(zhì)..........................................................153

第十五講反比例函數(shù)的圖像及性質(zhì)..........................................................165

第十六講正反比例函數(shù)綜合................................................................179

第十七講函數(shù)的表示法.....................................................................189

第十八講正反比例函數(shù)單元復(fù)習(xí)............................................................203

第十九講證明舉例.........................................................................215

第二十講線段的垂直平分線與角的平分線....................................................232

1

<fnr"i第一講二次根式的概念及性質(zhì)

內(nèi)容分析

二次根式是八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期第一章第一節(jié)內(nèi)容，主要對二次根式的性質(zhì)及

運(yùn)算進(jìn)行講解，重點(diǎn)是二次根式的性質(zhì)，難點(diǎn)是分母有理化的應(yīng)用.學(xué)生已學(xué)過平

方根、立方根、實(shí)數(shù)等概念及求法，對實(shí)數(shù)運(yùn)算與性質(zhì)有初步感受，為本節(jié)知識打

下了基礎(chǔ).本節(jié)知識是前面相關(guān)內(nèi)容的發(fā)展，同時是后面學(xué)習(xí)的直接基礎(chǔ)，起到了

承上啟下的作用.

知識結(jié)構(gòu)

模塊一：二次根式的概念

?知識精講

1、二次根式的概念

(1)代數(shù)式而(?>0)叫做二次根式，讀作“根號其中a是被開方數(shù).

(2)二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

2

例題解析

［例1］下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

E，」，/(x>0)，而，啦,一點(diǎn)--------Jx+y(x>0,y>0).

xx+y

［例2］設(shè)x是實(shí)數(shù)，當(dāng)x滿足什么條件時，下列各式有意義？

(1)—1;(2)

［例3］設(shè)x是實(shí)數(shù)，當(dāng)x滿足什么條件時，下列各式有意義？

(1)V1+X2；(2)J-(x+I)~?

［例4］設(shè)x是實(shí)數(shù)，當(dāng)x滿足什么條件時，下列各式有意義？

【例5】設(shè)x是實(shí)數(shù)，當(dāng)x滿足什么條件時，下列各式有意義？

⑴磊：EZ.

【例6］設(shè)x是實(shí)數(shù)，當(dāng)x滿足什么條件時,下列各式有意義？

5+xZZx+6_3

(1)(2)⑶；

x+4Vfo-4-i-

3

【例7】若x,y是實(shí)數(shù)，且=T+g7+2,化簡區(qū)

y-2

A

師生總結(jié)

二次根式有意義的條件是什么？

模塊二：二次根式的性質(zhì)

?知識精講

1、二次根式的性質(zhì)

(1)二次根式的性質(zhì)：

惺貢1："=。3之0)；

14^2：(由')2=a(a>0)；

14^3：^Jab=4axjb(a>0,/?>0)；

性質(zhì)4：(67>0,b>0).

仿3>0)

(2)而與時的關(guān)系："44Jo(?=O).

-a(a<0)

4

例題解析

［例8］計(jì)算下列各式的值:

(2)(后；⑶哼丸

(1)4/18)2；

(5)(4/；⑹彼)L(5方;

(4)而產(chǎn)；

(7)(V7+T)2(X>0)；(8)(揚(yáng))2；(9)“7+2。+

【例91化簡:

(1)亞萬；⑵；也，加'(w>0)；(3)64A；；(4)J-24X，上.

【例101求下列二次根式的值:

(1),(-4)2；(2)后；(3)7162-122；(4)J(3-42.

【例11】求二次根式，米-2苫+1的值，其中K=《.

【例12】化簡：(7^)2-J(3-4.

5

【例13】如果J(x-2)(3-x)=后G成立，求x的取值范圍.

【例14]已知（夜A<1,化簡：yja4-2a3+a2.

【例15】已知a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示----h-----a-----0~^

化簡：4a'一卜+同+^(c-a)2+J—+c)2.

【例16】在△4BC中，a、b、c是三角形的三邊，yl(a-b+c)2-2\c-a-b\.

【例17]在△ABC中，公氏c為三邊，且滿足12a+36+5/T工=0,求最大邊c

的取值范圍.

6

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2

【例18】已知：JX+8X+16+&-12x+36=10，化簡：J(2x+8f+勿-12卜

師生總結(jié)

二次根式具有哪些性質(zhì)？

隨堂檢測

【習(xí)題1】判斷下列各題的正誤.

(1)&-2),b=_2而.............................................()

(2)招-2的倒數(shù)是蘇+2.............................................................................()

(3)J(l)2=(4^1)2...................................................................................()

7

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【習(xí)題2】求使下列各式有意義的字母的取值范圍:

IQ

(1)J3x-4;(2)「J⑶>Jnr+4；

(4)(6)立三.

閂(5)

JC+1

【習(xí)題3】曲算:

②正IS?

____________3

(3)y/(a-3)2(a<3)(4)好口7T(工<萬)?

【習(xí)題4】計(jì)算：求下列二次根式的值:

(1),(-144)x(-169)；(2)J/+2a+1(a=)；

(3)^^2—曲)+3$~;(4)J(為4)2+，(3-力2;

(6)|1-1+"-44+爐(1<%<2).

8

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【習(xí)題5】解下列各式:

(1)已知。+同=0,試化簡-1)2+位，；

(2)a、氏。分別是三角形三邊的長，化簡一〃一cP+-c+a)?+展一b-a?.

【習(xí)題6]已知y=Jx-2+J2-尤+3,求x2-xy+V的值.

9-^+4/^27

【習(xí)題7】已知————=0,求孫的值.

Jx+3

9

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課后作業(yè)

___2a3a

【作業(yè)1】要使式子±1—有意義，則。應(yīng)滿足()

+

A、且。。一_B>a<\C、a豐一一D、a<\

333

【作業(yè)2】已知實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)位置如圖所示:cb0a

則化簡?a-c)7(b-a￥+&b+cY的結(jié)果是

【作業(yè)3】若VT工+9=6x-x:求x的值.

【作業(yè)4]若a、b是實(shí)數(shù)，且b<^/^3+^/^^■+：，化簡：物-44+4一帆-{+后

【作業(yè)5]若代數(shù)式J(2-a)?+?a-41=2成立,求“的取值范圍.

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<OZ1第二講最簡二次根式與同類二次根式

內(nèi)容分析

最簡二次根式和同類二次根式是八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期第一章第一節(jié)內(nèi)容，是進(jìn)

一步研究二次根式運(yùn)算的的知識基礎(chǔ).重點(diǎn)是最簡二次根式、同類二次根式的判

斷，難點(diǎn)是同類二次根式的合并及最簡二次根式的化簡.

知識結(jié)構(gòu)

模塊一：最簡二次根式

?知識精講

1、最簡二次根式的概念：

(1)被開方數(shù)中各因式的指數(shù)都為1;(2)被開方數(shù)不含分母.

被開方數(shù)同時符合上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

II

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例題解析

【例1］判斷下列二次根式是不是最簡二次根式：

(1);(2),24A3；⑶Ja-b;⑷y/a2+b2?

(5)；(6)J2；(7),1.5(〃+力.

【例2］判斷下列二次根式是不是最簡二次根式:

(1)j3d+2a+l)3NT)；(2)J(x2-y2)(x-y)(x>y>0);

(3)也a1+6〃+1?

【例3］將下列二次根式化成最簡二次根式：

(1)^/12；⑵j4/y2(y>。);(3)d27a3b2cs(。<0，。<0，c<0).

【例4］將下列二次根式化成最簡二次根式：

(1)也.2_81(y<0)(2)yl(a2-b2Xa+b)(a>b>0)

(3)-2寸+x(x>1)

【例5］將下列二次根式化成最簡二次根式：

(1)島(2)J1.5-；

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b5

(6<0)(4)(。>0,/?>0,c>0).

27〃3c

【例6］將下列二次根式化成最簡二次根式:

m+n.八、

(2)/____(/n>n>0)；

\tn-n

奈（。>2）.

(3)

【例7】如果"折E是最簡二次根式，求■7的值.

【例8】已知x+y=5,xy=3,

<A

的）師生總結(jié)

1'滿足最簡二次根式的條件是什么？

2'如何將一個二次根式化成最簡二次根式？

\）

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模塊二：同類二次根式

知識精講

1、同類二次根式的概念:

兒個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這兒個二次根式叫做同類

二次根式.

例題解析

【例9］判斷下列各組的二次根式是否為同類二次根式？

⑴初，質(zhì)，上;(2)肉,3/7U<0)-2(y<0).

【例101判斷下列各組的二次根式是否為同類二次根式?

【例11】合并下列各式中的同類二次根式:

⑴2志-步"+行

(2)^^Jxy_a^Jxy+；

(3)3M-炳+5屹；(4)(34而+〃新-("加+ab小).

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【例12]判斷下列各組的二次根式是否為同類二次根式?

I3a+2b

(2)、9〃2+12ab+4加

【例13]若最簡二次根式"后二方與后丁面不是同類二次根式，求。、〃的值.

【例14】當(dāng)工=-3時，二次根式心/2x?+5x+7的值為杼,求相的值.

【例15]合并下列各式中的同類二次根式:

(2)(4瘋44.125)-2

15

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(3)*阿7+儂

7

(2)3x+>5x—

【例17］若最簡二次根式"廊和而礪是同類二次根式，求。力的值？

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隨堂檢測

【習(xí)題1】判斷下列二次根式是不是最簡二次根式：

(1)J—：(2)V72x；(3)(4)^5(cr-2a+\)(a>\).

【習(xí)題2】將下列二次根式化成最簡二次根式:

(1)M；(2)^72(3)歷(4)回.

【習(xí)題3】將下列二次根式化成最簡二次根式：_

(1)^/8x7(x<0)；(2)，45。為；(3)J§L>0)；(4)7-32a5-

【習(xí)題4】下列二次根式，哪些是同類二次根式：

(1)J12,^4,—,y/a^b,25b(a>0),一J加(a>0).

【習(xí)題5】將下列二次根式化成最簡二次根式：

⑴舟⑵舊；⑶忌("°力<°)；⑷晨^

【習(xí)題6】已知最簡二次根式4萬廠內(nèi)和7^工工是同類根式，求機(jī)的值.

17

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【習(xí)題7】合并下列各式中的同類二次根式并計(jì)算.

2

(1)(4^5-44)-2+；(2)2―33+厲;

(3)8^-(-A/18X+>^7)；(4)40^-71000+540.

2

【習(xí)題8】合并下列各式中的同類二次根式:

2L

(1)J\2+(2)dyj—+^4b-(-

3

[2

⑶-^-2.-+2x(4)(機(jī)>〃>0).

329x

18

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課后作業(yè)

【作業(yè)1】下列式子中是最簡二次根式的是:

(1)V127；(2)(3)J(l+a)(l-/).

【作業(yè)2】下列各組二次根式，是否是同類二次根式.

(1)432,忑50,2./—；(2)2岳，>/8/(x>0)；

V18

(3),y^a2x3(a>0)

詈(y>。)

【作業(yè)3】合并下列二次根式中的同類二次根式：

(1)6^+>/0J2+^8；(2)2廂+廊;

2

⑶斤I*?卻歷6&⑷3蠡-2M+5反

【作業(yè)4]若a<0,b>0,則[-Wb化簡得()

A、-ayt-ab；B、-aJab；C、a\l-ab；D^a4ab.

【作業(yè)5】將下列二次根式化成最簡二次根式.

(1)145寸:/；(2)y/96a3b(t?>0,Z?>0)；

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(3)，4/-8/3<0)；412

(4)yjx+xy(x>0).

【作業(yè)6】將下列二次根式化成最簡二次根式.

125

(1)(2)麗3>°方>°）；

含左（。20,^>0）；小2y>0)

(3)(4)

【作業(yè)7】合并下列各式中的同類二次根式.

(1)3jab-x^Jcib+y4ah

,「，21

(2)（5?夢-（4f—盧；

536

(3)V27^-tr

(4)2a->Jab3(a>0,Z?>0).

20

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二次根式的加減法和乘除法是八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期第一章第一節(jié)內(nèi)容，是二次

根式的加、減、乘、除、乘方、開方的混合運(yùn)算.它是以二次根式的概念和性質(zhì)為

基礎(chǔ)，同時又緊密地聯(lián)系著整式、分式的運(yùn)算，也可以說它是運(yùn)算問題在初中階段

一次總結(jié)性、提高性的綜合學(xué)習(xí).

知識結(jié)構(gòu)

模塊一：二次根式的加減法

?知識精講

1.二次根式的加法和減法:

先把各個二次根式化為最簡二次根式，再把同類二次根式分別合并（化簡+合并）.

例題解析

［例1］計(jì)算:

(2)

21

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［例2］計(jì)算：

23⑵+居，

（1）716m；

34

【例3】計(jì)算:

x2+J32%3—J—F2'J2x；

(1)

2vx⑵時死

[例4]如圖，長方形內(nèi)有兩個正方形，面積分別為4和2,求陰影部分的面積.

[例5]計(jì)算:

(1)d4a-4b+Q2b3>0).

I50

(2)J72(6一/)+

m-n

a-ba+b

(3)y(a>b>0).

a+。a-b

22

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【例6】先化簡，再求值：++Jdxy}2其中彳=三，y=21.

【例7】設(shè)直角三角形的兩條直角邊分別為斜邊為c,周長為C.

(1)如果a=同，b=求C；(2)如果a=3商,6=5茶'，求C.

【例8】解不等式:2x+JV—4>4x—

A

師生總結(jié)

二次根式加減法的步驟是什么？

y

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模塊二：二次根式的乘除法

?知識精講

1、二次根式的乘法和除法

(1)兩個二次根式相乘，被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變;

(2)兩個二次根式相除，被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.

例題解析

【例91計(jì)算：

(1)^2x^32；(2)而?歷.

【例10】計(jì)算.

(2)；

(3)(4)\JSm*12.

24

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Uiin計(jì)算：

(1):出Z。>3y[xyz；

(2)

【例12]計(jì)算：

(1)J。?xyj-crb3；(2)iflhx5j)a~；

(3)y]x(x+y)(x>0,y>0)；(4)\la-b4-yjcrc-b2cCa>b>0\

【例13】計(jì)算：

(1)

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【例14]如圖所示，在面積為2a的正方形A8CD中，截得直角三角形4BE的面積為

更“,求BE的長.

3

【例15】已知也和初是等腰三角形的兩條邊，其面積為4L求等腰三角形的高.

【例16】解方程：遂-2扁二一2電.

【例17】計(jì)算.

(1)(x>0)；⑵（廊一

⑶（質(zhì)—4+2。+疝）

26

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(2)屈+疾-2

-(4X).125-e).

【習(xí)題2】計(jì)算:

(1)

27

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【習(xí)題3】計(jì)算:

【習(xí)題4】計(jì)算：

（1）6歷x（-2到；(2)4需1I；

⑶（灰-行）x點(diǎn);⑷[3廊

【習(xí)題5】計(jì)算：

（1）（3b揚(yáng)+a$）-（"蘇+ab^［）；

28

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【習(xí)題6】計(jì)算：

(1)(2忑-3閭\(2)(#-/)十點(diǎn)

「3Y(4Y1

⑷個"廣小跖J'

【習(xí)題7】計(jì)算:

29

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⑷(7袤-㈤(￡+20.

【習(xí)題8】計(jì)算.

(1)>Jabcx2\lahc2；(2)?J2xxy/6xy2(>>>0)；

【習(xí)題9】計(jì)算.

⑴6席弓唇

(2)\la+b+-b2c(a>Z?>0)；

(3)4-(w>0)；(4)—6J%；2g+

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【習(xí)題101計(jì)算:

(1)

【習(xí)題11】先化簡后求值，當(dāng)x=4,尸,寸，求薪-匹-器-1折的值.

31

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課后作業(yè)

⑵咐

⑶(腐明.3『聲)

【作業(yè)2】計(jì)算.

(1)?次^+%，50〃3-J也3；(2)

2+5-翡

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【作業(yè)3】計(jì)算.

(1)J/Zx0.6x區(qū)；

3V4V12⑵病當(dāng)噸

⑶嚴(yán)冷向⑷府而尚噓?

【作業(yè)4】計(jì)算：

（1）（逐+2可_m-2可；（2）（2忑+3可（2占-36；

【作業(yè)5】計(jì)算.

（1）3眄,（二修」_E）；(2)(10m-2m2(m〉。)；

b23M

33

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(3)>0,y>0).

【作業(yè)6】化簡:

4a3+4a2b+air

(1)

VV~

馬…尸—).

(2)

【作業(yè)7】若直角三角形的面積是Men?,一條直角邊長看cm,求另一條直角邊長及

斜邊上的高線長.

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【作業(yè)8】化簡：(心區(qū)-立加+2回+a2〃匹m>0,〃>0).

Vmmm\n\tn

【作業(yè)9]已知a=3+2活，b=3-2奉,求〃％-加的值.

【作業(yè)10]解關(guān)于龍的不等式:

x+3_x-2

(1)>招+,^2+1；(2)2(x+l)-癢表(x-l).

【作業(yè)11］已知：a+b=-3,ab=L,求bg+a?的值.

【作業(yè)12】求下列式子的值：x2-xy+y2,其中x=J7+再，y=J7-需.

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<f?o第四講二次根式的綜合運(yùn)算

內(nèi)容分析

分母有理化和二次根式的綜合運(yùn)算是八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期第一章第二節(jié)內(nèi)

容.分母有理化是“數(shù)與代數(shù)”的重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)二次根式運(yùn)算的依據(jù).一方面,

它是在學(xué)習(xí)了平方根基礎(chǔ)之上對實(shí)數(shù)的進(jìn)一步深入；另一方面，又為學(xué)習(xí)二次根式

的混合運(yùn)算、一元二次方程、二次函數(shù)等知識奠定基礎(chǔ).二次根式的綜合運(yùn)算是二次

根式的加、減、乘、除、乘方、開方的混合運(yùn)算，掌握好方法與技巧，能夠進(jìn)一步開

拓學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生的解題能力.

知識結(jié)構(gòu)

模塊一：分母有理化

?知識精講

2.分母有理化:

a）把分母中的根號化去就是分母有理化，即是指分母中不含二次根式的運(yùn)算.

b）分母有理化的方法：把分子和分母都乘以同一個適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式，使分母不含根號.

3.有理化因式：

兩個含有二次根式的非零代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個含

有二次根式的非零代數(shù)式互為有理化因式.

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例題解析

【例I］填空.

（1）而二的一個有理化因式是；

（2）6-1的一個有理化因式是.

【例2】把下列各式分母有理化.

1

（1）2_;（2）⑶」_；（4）

①尤2"‘歷?

【例3】把下列各式分母有理化.

（1）-r=一；⑵￥-；（3）產(chǎn)

^0-3期+14p+3?

【例4】化簡.

（1）.2

&第啦-于43—2W3+^2—1

【例5】把下列各式分母有理化.

2(tz-1)-xy-y2

(1)(2)

—2〃+4Jx+y

【例6）把下列各式分母有理化.

（&）赤一弗

fn4-幣3初-福

4+近3卷+班

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【例7］把下列各式分母有理化.

（da+1h-1

標(biāo)-^；

［例8］化簡：

⑴（2）（J再+XqQ（3）

2$m+3jnx-^xy

［例9］解下列方程.

（1）=1-^45x；（2）（癢1）（赤-4）x=旨-孤+1）.

A

師生總結(jié)

1、什么叫作分母有理化？

2'分母有理化的方法是什么？

3、什么叫作有理化因式？

y

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模塊二：二次根式混合運(yùn)算

?知識精講

1、二次根式的混合運(yùn)算

(1)實(shí)數(shù)的運(yùn)算律、運(yùn)算性質(zhì)以及運(yùn)算順序規(guī)定，在二次根式運(yùn)算中都適用;

(2)二次根式的運(yùn)算中要靈活運(yùn)用運(yùn)算律、運(yùn)算性質(zhì)、乘法公式等進(jìn)行解題.

例題解析

【例10]化簡:

X—y無+)+班T

(1)

(3)(*^2—~^)~>

【例11]已知：上士,b="叁,求。2一而+廿的值.

2+第2-4

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【例12】設(shè)丁專的整數(shù)部分是“，小數(shù)部分是口試求/+Q+再）帥的值.

【例13】已知a-6=-^~~—,b-c=—2~—>求a2+b2+c1-ab-be-acWH..

、行+1r忑-事

【例14】計(jì)算：

[ba_~

_+_+2_

(1)Nab

⑵（匹——)+>0,y>0).

x+x-y

【例15]下列分母有理化計(jì)算.

=應(yīng)一田，,—=3——=---------