學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2020-2021學年新教材數學北師大版必修第一冊教師用書：第7章§11.3隨機事件1.4隨機事件的運算含解析1。3隨機事件1.4隨機事件的運算學習目標核心素養1.理解隨機事件與樣本點的關系．（重點)2．了解隨機事件的交、并與互斥的含義，能結合實例進行隨機事件的交、并運算．(難點、易混點)1．通過對隨機、必然、不可能事件等概念的學習,培養數學抽象素養．2．通過學習事件的運算法則，培養數學建模素養．1．三種事件的定義事件隨機事件一般地,把試驗E的樣本空間Ω的子集稱為E的隨機事件,簡稱事件，常用A,B，C等表示．在每次試驗中，當這一事件發生時,這一子集中的樣本點必出現其中一個；反之，當這一子集中的一個樣本點出現時，這一事件必然發生必然事件樣本空間Ω是其自身的子集，因此Ω也是一個事件；又因為它包含所有的樣本點，每次試驗無論哪個樣本點ω出現，Ω都必然發生,因此稱Ω為必然事件不可能事件空集?也是Ω的一個子集,可以看作一個事件;由于它不包含任何樣本點,它在每次試驗中都不會發生，故稱?為不可能事件2.隨機事件的運算事件的運算定義圖形表示符號表示交事件一般地，由事件A與事件B都發生所構成的事件，稱為事件A與事件B的交事件(或積事件）A∩B（或AB）并事件一般地，由事件A與事件B至少有一個發生所構成的事件，稱為事件A與事件B的并事件（或和事件）A∪B（或A＋B)3。互斥事件與對立事件事件的運算定義圖形表示符號表示互斥事件一般地，不能同時發生的兩個事件A與B（A∩B＝?)稱為互斥事件．它可以理解為A，B同時發生這一事件是不可能事件A∩B＝?對立事件若A與B互斥（A∩B＝?），且A∪B＝Ω，則稱事件A與事件B互為對立事件，事件A的對立事件記作eq\x\to(A）A∩B＝?且A∪B＝Ω思考：1。一顆骰子投擲一次,記事件A＝｛出現的點數為2}，事件C＝｛出現的點數為偶數｝，事件D＝｛出現的點數小于3｝，則事件A，C，D有什么關系？提示:A＝C∩D.2．命題“事件A與B為互斥事件”與命題“事件A與B為對立事件”之間是什么關系？（指充分性與必要性）提示：根據互斥事件和對立事件的概念可知，“事件A與B為互斥事件”是“事件A與B為對立事件”的必要不充分條件．1．從裝有3個紅球和4個白球的口袋中任取3個小球,則下列選項中兩個事件是互斥事件的為(）A．“都是紅球”與“至少一個紅球”B．“恰有兩個紅球”與“至少一個白球”C．“至少一個白球"與“至多一個紅球”D．“兩個紅球，一個白球"與“兩個白球,一個紅球”D［A,B,C中兩個事件都可以同時發生,只有D項，兩個事件不可能同時發生，是互斥事件．]2．拋擲一枚骰子，“向上的點數是1或2”為事件A，“向上的點數是2或3”為事件B，則()A．A?BB．A＝BC．A＋B表示向上的點數是1或2或3D．AB表示向上的點數是1或2或3C［設A＝｛1，2｝,B＝｛2，3}，A∩B＝{2},A∪B＝{1，2,3｝，∴A＋B表示向上的點數為1或2或3。]3．在200件產品中，有192件一級品，8件二級品，則下列事件：①在這200件產品中任意選9件，全部是一級品；②在這200件產品中任意選9件，全部都是二級品;③在這200件產品中任意選9件，不全是一級品．其中_______是隨機事件；_______是不可能事件．（填序號）①③②[因為二級品只有8件，故9件產品不可能全是二級品，所以②是不可能事件．]事件類型的判斷【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機事件．(1）某人購買福利彩票一注，中獎500萬元;(2）三角形的內角和為180°；(3）沒有空氣和水，人類可以生存下去；（4）同時拋擲兩枚硬幣一次，都出現正面向上;（5）從分別標有1，2，3，4的四張標簽中任取一張,抽到1號標簽；(6)科學技術達到一定水平后,不需任何能量的“永動機”將會出現．［解](1）購買一注彩票，可能中獎，也可能不中獎，所以是隨機事件．（2）所有三角形的內角和均為180°,所以是必然事件．（3)空氣和水是人類生存的必要條件，沒有空氣和水，人類無法生存，所以是不可能事件．(4）同時拋擲兩枚硬幣一次，不一定都是正面向上，所以是隨機事件．(5)任意抽取,可能得到1，2,3，4號標簽中的任一張,所以是隨機事件．(6）由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永動機”不會出現，所以是不可能事件．判斷一個事件是哪類事件的方法判斷一個事件是哪類事件要看兩點：一看條件，因為三種事件都是相對于一定條件而言的；二看結果是否發生,一定發生的是必然事件，不一定發生的是隨機事件，一定不發生的是不可能事件．eq\a\vs4\al([跟進訓練]）1．下列事件不是隨機事件的是()A．東邊日出西邊雨B．下雪不冷化雪冷C．清明時節雨紛紛D．梅子黃時日日晴B［B是必然事件，其余都是隨機事件．］事件關系的判斷【例2】某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學參加演講比賽,判斷下列每對事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對立事件．(1)“恰有1名男生”與“恰有2名男生”;（2)“至少有1名男生”與“全是男生”；（3）“至少有1名男生”與“全是女生”;(4)“至少有1名男生”與“至少有1名女生”．[解]從3名男生和2名女生中任選2人有如下三種結果:2名男生，2名女生,1男1女．（1)“恰有一名男生"指1男1女，與“恰有2名男生”不能同時發生，它們是互斥事件;但是當選取的結果是2名女生時，兩個事件都不發生，所以它們不是對立事件．（2)“至少一名男生”包括2名男生和1男1女兩種結果，與事件“全是男生”可能同時發生,所以它們不是互斥事件．（3）“至少一名男生”與“全是女生”不可能同時發生，所以它們互斥，由于它們必有一個發生，所以它們是對立事件．(4）“至少有一名女生"包括1男1女與2名女生兩種結果,當選出的是1男1女時，“至少有一名男生”與“至少有一名女生”同時發生,所以它們不是互斥事件．判斷事件間關系的方法(1）要考慮試驗的前提條件，無論是包含、相等，還是互斥、對立，其發生的條件都是一樣的．(2）考慮事件間的結果是否有交事件，可考慮利用Venn圖分析，對較難判斷關系的，也可列出全部結果,再進行分析．eq\a\vs4\al（［跟進訓練])2．從一堆產品(其中正品與次品都多于2件）中任取2件,觀察正品件數與次品件數,判斷下列每個事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對立事件．(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”;（2）“至少有1件次品”和“全是次品"；(3)“至少有1件正品”和“至少有1件次品”．［解］依據互斥事件的定義,即事件A與事件B在一次試驗中不會同時發生可知：（1）中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同時發生，因此它們是互斥事件,又因為它們的和事件不是必然事件,所以它們不是對立事件;同理可以判斷（2）中的2個事件不是互斥事件,從而也不是對立事件；（3）中的2個事件不是互斥事件，從而也不是對立事件．事件的運算[探究問題]1．事件的運算與集合的運算有什么對應關系?［提示]由事件A與事件B都發生所構成的事件,稱為事件A與事件B的交事件，對應集合A與集合B的公共元素構成的集合為A∩B;由事件A與事件B至少有一個發生所構成的事件，稱為事件A與事件B的并事件，對應由集合A或集合B中的元素組成的集合為A∪B.2．進行事件的運算,有哪些方法？［提示](1)利用事件間運算的定義．列出同一條件下的試驗所有可能出現的結果，分析并利用這些結果進行事件間的運算．（2)利用Venn圖．借助集合間運算的思想，分析同一條件下的試驗所有可能出現的結果，把這些結果在圖中列出，進行運算．【例3】在投擲骰子試驗中，根據向上的點數可以定義許多事件,如：A＝{出現1點｝，B＝｛出現3點或4點}，C＝{出現的點數是奇數｝，D＝｛出現的點數是偶數｝．（1）說明以上4個事件的關系;(2)求A∩B，A∪B,A∪D，B∩D，B∪C。［思路點撥］(1)eq\x（分析事件所包含的樣本點）→eq\x（判斷事件的關系）（2)eq\x（樣本點表示各事件)→eq\x(進行事件的運算）［解］在投擲骰子的試驗中，根據向上出現的點數有6種基本事件，記作Ai＝｛出現的點數為i｝(其中i＝1，2，…，6）.則A＝A1，B＝A3∪A4,C＝A1∪A3∪A5,D＝A2∪A4∪A6.（1)事件A與事件B互斥，但不對立，事件A包含于事件C，事件A與D互斥，但不對立；事件B與C不是互斥事件，事件B與D也不是互斥事件；事件C與D是互斥事件，也是對立事件．（2）A∩B＝?,A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出現點數1，3或4},A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝｛出現點數1，2，4或6}．B∩D＝A4＝{出現點數4｝．B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{出現點數1，3，4或5}．1．在例3的條件下，求A∩C,A∪C，B∩C.［解]A∩C＝A＝｛出現1點｝，A∪C＝C＝{出現點數1,3或5｝,B∩C＝A3＝｛出現點數3}．2．用事件Ai＝{出現的點數為i}(其中i＝1，2，…，6)表示下列事件：(1)B∪D；（2)C∪D.[解］(1）B∪D＝{出現點數2,3，4或6｝＝A2∪A3∪A4∪A6。（2)C∪D＝{出現點數1,2,3，4,5，6}＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6。進行事件運算應注意的問題(1)進行事件的運算時，一是要緊扣運算的定義,二是要全面考查同一條件下的試驗可能出現的全部結果，必要時可利用Venn圖或列出全部的試驗結果進行分析．（2）在一些比較簡單的題目中，需要判斷事件之間的關系時，可以根據常識來判斷．但如果遇到比較復雜的題目，就得嚴格按照事件之間關系的定義來推理．1．辨析隨機事件、必然事件、不可能事件時要注意看清條件,在給定的條件下判斷是一定發生(必然事件)，還是不一定發生（隨機事件)，還是一定不發生（不可能事件）.2．互斥事件和對立事件都是針對兩個事件而言的，它們兩者之間既有區別又有聯系．在一次試驗中，兩個互斥事件有可能都不發生，也可能有一個發生，但不可能兩個都發生;而兩個對立事件必有一個發生,但是不可能兩個事件同時發生，也不可能兩個事件都不發生．所以兩個事件互斥,它們未必對立;反之，兩個事件對立，它們一定互斥．1．思考辨析（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1）若兩個事件是互斥事件，則這兩個事件是對立事件． (）(2）若事件A和B是互斥事件，則A∩B是不可能事件． （)（3)事件A∪B是必然事件,則事件A和B是對立事件． (）[提示]（1)錯誤．對立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件．（2）正確．因為事件A和B是互斥事件，所以A∩B為空集，所以A∩B是不可能事件．（3)錯誤．反例：拋擲一枚骰子，事件A為：向上的點數小于5，事件B為:向上的點數大于2,則事件A∪B是必然事件，但事件A和B不是對立事件．［答案]（1）×（2）√(3)×2．從1，2,…,9中任取兩數，其中：①恰有一個偶數和恰有一個奇數；②至少有一個奇數和兩個數都是奇數；③至少有一個奇數和兩個數都是偶數；④至少有一個奇數和至少有一個偶數．在上述事件中,為對立事件的是(）A．①B．②④C．③D．①③C[從1,2，…,9中任取兩數，包括一奇一偶、兩奇、兩偶，共三種互斥事件，所以只有③中的兩個事件才是對立事件．］3．從100個同類產品中(其中有2個次品)任取3個．①三個正品;②兩個正品，一個次品；③一個正品，兩個次品；④三個次品；⑤至少一個次品；⑥至少一個正品．其中必然事件是________，不可能事件是________，隨機事件是________．⑥④①②③⑤[從100個產品（其中2個次品）中取3個可能結果是．“三個全是正品”“二個正品一個次品”“一個正品二個次品”．]4．盒子里有6個紅球，4個白球，現從中任取3個球，設事件A＝｛3個球中有一個紅球，兩個白球｝，事件B＝{3個球中