PAGEPAGEPAGE41第九章eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,,,,))概率第一節(jié)隨機(jī)事件的概率1．事件的相關(guān)概念2．頻數(shù)、頻率和概率(1)頻數(shù)、頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率．(2)概率：對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率．3．事件的關(guān)系與運(yùn)算名稱條件結(jié)論符號(hào)表示包含關(guān)系A(chǔ)發(fā)生?B發(fā)生事件B包含事件A(事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關(guān)系假設(shè)B?A且A?B事件A與事件B相等A＝B并(和)事件A發(fā)生或B發(fā)生事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交(積)事件A發(fā)生且B發(fā)生事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件A∩B為不可能事件事件A與事件B互斥A∩B＝?對(duì)立事件A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件事件A與事件B互為對(duì)立事件A∩B＝?，P(A∪B)＝14．概率的幾個(gè)根本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率為1.(3)不可能事件的概率為0.(4)概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)對(duì)立事件的概率：假設(shè)事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么A∪B為必然事件，P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．[小題體驗(yàn)]1．(教材習(xí)題改編)某人進(jìn)行打靶練習(xí)，共射擊10次，其中有2次中10環(huán)，有3次中9環(huán)，有4次中8環(huán)，有1次未打靶．假設(shè)此人射擊1次，那么其中靶的概率約為____________；中10環(huán)的概率約為________．解析：中靶的頻數(shù)為9，試驗(yàn)次數(shù)為10，所以中靶的頻率為eq\f(9,10)＝0.9，所以此人射擊1次，中靶的概率約為0.9.同理得中10環(huán)的概率約為0.2.答案：0.90.22．(教材習(xí)題改編)如果從不包括大、小王的52張撲克牌中隨機(jī)抽取一張，那么取到紅心的概率是eq\f(1,4)，取到方塊的概率是eq\f(1,4)，那么取到黑色牌的概率是________．答案：eq\f(1,2)3．(教材習(xí)題改編)給出以下三個(gè)命題，其中正確命題有________個(gè)．①有一大批產(chǎn)品，次品率為10%，從中任取100件，必有10件是次品；②做7次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此正面出現(xiàn)的概率是eq\f(3,7)；③隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率．解析：①錯(cuò)，不一定是10件次品；②錯(cuò)，eq\f(3,7)是頻率而非概率；③錯(cuò)，頻率不等于概率，這是兩個(gè)不同的概念．答案：01．易將概率與頻率混淆，頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)變化而變化，而概率是一個(gè)常數(shù)．2．互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生，因此，對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件．[小題糾偏]1．甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是對(duì)立事件，那么()A．甲是乙的充分但不必要條件B．甲是乙的必要但不充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件解析：選B兩個(gè)事件是對(duì)立事件，那么它們一定互斥，反之不一定成立．2．在運(yùn)動(dòng)會(huì)火炬?zhèn)鬟f活動(dòng)中，有編號(hào)為1,2,3,4,5的5名火炬手．假設(shè)從中任選3人，那么選出的火炬手的編號(hào)相連的概率為()A.eq\f(3,10)B.eq\f(5,8)C.eq\f(7,10)D.eq\f(2,5)解析：選A從1,2,3,4,5中任取三個(gè)數(shù)的結(jié)果有10種，其中選出的火炬手的編號(hào)相連的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，∴選出的火炬手的編號(hào)相連的概率為P＝eq\f(3,10).eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一隨機(jī)事件的關(guān)系)eq\a\vs4\al(根底送分型考點(diǎn)——自主練透)[題組練透]1．一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶〞的互斥事件是()A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶解析：選D事件“至少有一次中靶〞包括“中靶一次〞和“中靶兩次〞兩種情況．由互斥事件的定義，可知“兩次都不中靶〞與之互斥．2．在5張卡中，有3張移動(dòng)卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，假設(shè)事件“2張全是移動(dòng)卡〞的概率是eq\f(3,10)，那么概率是eq\f(7,10)的事件是()A．至多有一張移動(dòng)卡B．恰有一張移動(dòng)卡C．都不是移動(dòng)卡D．至少有一張移動(dòng)卡解析：選A至多有一張移動(dòng)卡包含“一張移動(dòng)卡，一張聯(lián)通卡〞、“兩張全是聯(lián)通卡〞兩個(gè)事件，它是“2張全是移動(dòng)卡〞的對(duì)立事件，應(yīng)選A.3．對(duì)飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝{兩次都擊中飛機(jī)}，B＝{兩次都沒擊中飛機(jī)}，C＝{恰有一次擊中飛機(jī)}，D＝{至少有一次擊中飛機(jī)}，其中彼此互斥的事件是________，互為對(duì)立事件的是________．解析：設(shè)I為對(duì)飛機(jī)連續(xù)射擊兩次所發(fā)生的所有情況，因?yàn)锳∩B＝?，A∩C＝?，B∩C＝?，B∩D＝?，故A與B，A與C，B與C，B與D為互斥事件．而B∩D＝?，B∪D＝I，故B與D互為對(duì)立事件．答案：A與B，A與C，B與C，B與DB與D[謹(jǐn)記通法]判斷互斥、對(duì)立事件的2種方法(1)定義法判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，假設(shè)有且僅有一個(gè)發(fā)生，那么這兩事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件．(2)集合法①由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，那么事件互斥．②事件A的對(duì)立事件eq\x\to(A)所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二隨機(jī)事件的頻率與概率)eq\a\vs4\al(根底送分型考點(diǎn)——自主練透)[題組練透]1．在投擲一枚硬幣的試驗(yàn)中，共投擲了100次，“正面朝上〞的頻數(shù)為51，那么“正面朝上〞的頻率為()A．49 B．0.5C．0.51 D．0.49解析：選C由題意，根據(jù)事件發(fā)生的頻率的定義可知，“正面朝上〞的頻率為eq\f(51,100)＝0.51.2．(2022·北京高考)某超市隨機(jī)選取1000位顧客，記錄了他們購(gòu)置甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計(jì)表，其中“〞表示購(gòu)置，“〞表示未購(gòu)置.商品顧客人數(shù)甲乙丙丁1002172003008598(1)估計(jì)顧客同時(shí)購(gòu)置乙和丙的概率；(2)估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)置3種商品的概率；(3)如果顧客購(gòu)置了甲，那么該顧客同時(shí)購(gòu)置乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？解：(1)從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1000位顧客中有200位顧客同時(shí)購(gòu)置了乙和丙，所以顧客同時(shí)購(gòu)置乙和丙的概率可以估計(jì)為eq\f(200,1000)＝0.2.(2)從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1000位顧客中，有100位顧客同時(shí)購(gòu)置了甲、丙、丁，另有200位顧客同時(shí)購(gòu)置了甲、乙、丙，其他顧客最多購(gòu)置了2種商品，所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)置3種商品的概率可以估計(jì)為eq\f(100＋200,1000)＝0.3.(3)與(1)同理，可得：顧客同時(shí)購(gòu)置甲和乙的概率可以估計(jì)為eq\f(200,1000)＝0.2，顧客同時(shí)購(gòu)置甲和丙的概率可以估計(jì)為eq\f(100＋200＋300,1000)＝0.6，顧客同時(shí)購(gòu)置甲和丁的概率可以估計(jì)為eq\f(100,1000)＝0.1，所以，如果顧客購(gòu)置了甲，那么該顧客同時(shí)購(gòu)置丙的可能性最大．[謹(jǐn)記通法]1．概率與頻率的關(guān)系頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率來(lái)反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率來(lái)作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值．2．隨機(jī)事件概率的求法利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率．[提醒]概率的定義是求一個(gè)事件概率的根本方法．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三互斥事件與對(duì)立事件的概率)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)[典例引領(lǐng)]某戰(zhàn)士射擊一次，問：(1)假設(shè)中靶的概率為0.95，那么不中靶的概率為多少？(2)假設(shè)命中10環(huán)的概率是0.27，命中9環(huán)的概率為0.21，命中8環(huán)的概率為0.24，那么至少命中8環(huán)的概率為多少？不夠9環(huán)的概率為多少？解：(1)設(shè)中靶為事件A，那么不中靶為eq\x\to(A).那么由對(duì)立事件的概率公式可得，P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.即不中靶的概率為0.05.(2)設(shè)命中10環(huán)為事件B，命中9環(huán)為事件C，命中8環(huán)為事件D，由題意知P(B)＝0.27，P(C)＝0.21，P(D)＝0.24.記至少命中8環(huán)為事件E，那么P(E)＝P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.27＋0.21＋0.24＝0.72.故至少命中8環(huán)的概率為0.72.記至少命中9環(huán)為事件F，那么不夠9環(huán)為eq\x\to(F)，那么P(F)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.27＋0.21＝0.48.那么P(eq\x\to(F))＝1－P(F)＝1－0.48＝0.52.即不夠9環(huán)的概率為0.52.[由題悟法]求復(fù)雜互斥事件概率的2種方法(1)直接求法：將所求事件分解為一些彼此互斥的事件的和，運(yùn)用互斥事件概率的加法公式計(jì)算．(2)間接求法：先求此事件的對(duì)立事件，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求得，即運(yùn)用逆向思維(正難那么反)，特別是“至多〞“至少〞型題目，用間接求法就會(huì)較簡(jiǎn)便．[提醒]應(yīng)用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先確定各個(gè)事件是否彼此互斥，然后求出各事件發(fā)生的概率，再求和(或差)．[即時(shí)應(yīng)用](2022·洛陽(yáng)模擬)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口等候的人數(shù)及相應(yīng)的概率如下：排隊(duì)人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排隊(duì)等候的概率是多少？(2)至少3人排隊(duì)等候的概率是多少？解：記“無(wú)人排隊(duì)等候〞為事件A，“1人排隊(duì)等候〞為事件B，“2人排隊(duì)等候〞為事件C，“3人排隊(duì)等候〞為事件D，“4人排隊(duì)等候〞為事件E，“5人及5人以上排隊(duì)等候〞為事件F，那么事件A，B，C，D，E，F(xiàn)互斥．(1)記“至多2人排隊(duì)等候〞為事件G，那么G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一：記“至少3人排隊(duì)等候〞為事件H，那么H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：記“至少3人排隊(duì)等候〞為事件H，那么其對(duì)立事件為事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.一抓根底，多練小題做到眼疾手快1．甲、乙兩人下棋，兩人和棋的概率是eq\f(1,2)，乙獲勝的概率是eq\f(1,3)，那么乙不輸?shù)母怕适?)A.eq\f(5,6) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)解析：選A乙不輸包含兩種情況：一是兩人和棋，二是乙獲勝，故所求概率為eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).2．一個(gè)盒子內(nèi)裝有紅球、白球、黑球三種球，其數(shù)量分別為3,2,1，從中任取兩球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件為()A．至少有一個(gè)白球；都是白球B．至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球C．恰有一個(gè)白球；一個(gè)白球一個(gè)黑球D．至少有一個(gè)白球；紅球、黑球各一個(gè)解析：選D紅球、黑球各取一個(gè)，那么一定取不到白球，故“至少有一個(gè)白球〞“紅球、黑球各一個(gè)〞為互斥事件，又任取兩球還包含“兩個(gè)紅球〞這個(gè)事件，故不是對(duì)立事件．3．?dāng)S一個(gè)骰子的試驗(yàn)，事件A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)〞，事件B表示“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)〞，那么一次試驗(yàn)中，事件A＋eq\x\to(B)發(fā)生的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)解析：選C擲一個(gè)骰子的試驗(yàn)有6種可能結(jié)果，依題意P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，所以P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，因?yàn)閑q\x\to(B)表示“出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)〞的事件，因此事件A與eq\x\to(B)互斥，從而P(A＋eq\x\to(B))＝P(A)＋P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).4．從某班學(xué)生中任意找出一人，如果該同學(xué)的身高小于160cm的概率為0.2，該同學(xué)的身高在[160,175]cm的概率為0.5，那么該同學(xué)的身高超過175cm的概率為________．解析：由對(duì)立事件的概率可求該同學(xué)的身高超過175cm的概率為1－0.2－0.5＝0.3.答案：0.35．如果事件A與B是互斥事件，且事件A∪B發(fā)生的概率是0.64，事件B發(fā)生的概率是事件A發(fā)生的概率的3倍，那么事件A發(fā)生的概率為________．解析：設(shè)P(A)＝x，P(B)＝3x，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64.∴P(A)＝x＝0.16.答案：0.16二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1．(2022·石家莊模擬)某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級(jí)，其中乙、丙兩級(jí)均屬次品，在正常生產(chǎn)情況下，出現(xiàn)乙級(jí)品和丙級(jí)品的概率分別是5%和3%，那么抽檢一件是正品(甲級(jí))的概率為()A．0.95 B．0.97C．0.92 D．0.08解析：選C記抽檢的產(chǎn)品是甲級(jí)品為事件A，是乙級(jí)品為事件B，是丙級(jí)品為事件C，這三個(gè)事件彼此互斥，因而所求概率為P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.2．袋中裝有3個(gè)白球，4個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，那么下面事件是互斥事件但不是對(duì)立事件的為()A．恰有1個(gè)白球和全是白球；B．至少有1個(gè)白球和全是黑球；C．至少有1個(gè)白球和至少有2個(gè)白球；D．至少有1個(gè)白球和至少有1個(gè)黑球．解析：選A由題意可知，事件C、D均不是互斥事件；A、B為互斥事件，但B又是對(duì)立事件，滿足題意只有A，應(yīng)選A.3．圍棋盒子中有多粒黑子和白子，從中取出2粒都是黑子的概率為eq\f(1,7)，都是白子的概率是eq\f(12,35).那么從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()A.eq\f(1,7) B.eq\f(12,35)C.eq\f(17,35) D．1解析：選C設(shè)“從中取出2粒都是黑子〞為事件A，“從中取出2粒都是白子〞為事件B，“任意取出2粒恰好是同一色〞為事件C，那么C＝A∪B，且事件A與B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35)，即任意取出2粒恰好是同一色的概率為eq\f(17,35).4．拋擲一枚均勻的骰子(骰子的六個(gè)面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn))一次，觀察擲出向上的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A為擲出向上為偶數(shù)點(diǎn)，事件B為擲出向上為3點(diǎn)，那么P(A∪B)＝()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(5,6)解析：選B事件A為擲出向上為偶數(shù)點(diǎn)，所以P(A)＝eq\f(1,2).事件B為擲出向上為3點(diǎn)，所以P(B)＝eq\f(1,6)，又事件A，B是互斥事件，事件(A∪B)為事件A，B有一個(gè)發(fā)生的事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(2,3).5．設(shè)條件甲：“事件A與事件B是對(duì)立事件〞，結(jié)論乙：“概率滿足P(A)＋P(B)＝1”，那么甲是乙的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A假設(shè)事件A與事件B是對(duì)立事件，那么A∪B為必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.設(shè)擲一枚硬幣3次，事件A：“至少出現(xiàn)一次正面〞，事件B：“3次出現(xiàn)正面〞，那么P(A)＝eq\f(7,8)，P(B)＝eq\f(1,8)，滿足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是對(duì)立事件．6．從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，那么事件“抽到的不是一等品〞的概率為________．解析：“抽到的不是一等品〞與事件A是對(duì)立事件，∴所求概率為1－P(A)＝0.35.答案：0.357．袋中裝有9個(gè)白球，2個(gè)紅球，從中任取3個(gè)球，那么①恰有1個(gè)紅球和全是白球；②至少有1個(gè)紅球和全是白球；③至少有1個(gè)紅球和至少有2個(gè)白球；④至少有1個(gè)白球和至少有1個(gè)紅球．在上述事件中，是對(duì)立事件的為________(填序號(hào))．解析：至少有1個(gè)紅球和全是白球不同時(shí)發(fā)生，且一定有一個(gè)發(fā)生，所以②中兩事件是對(duì)立事件．答案：②8．一只袋子中裝有7個(gè)紅玻璃球，3個(gè)綠玻璃球，從中無(wú)放回地任意抽取兩次，每次只取一個(gè)，取得兩個(gè)紅球的概率為eq\f(7,15)，取得兩個(gè)綠球的概率為eq\f(1,15)，那么取得兩個(gè)同顏色的球的概率為________；至少取得一個(gè)紅球的概率為________．解析：由于“取得兩個(gè)紅球〞與“取得兩個(gè)綠球〞是互斥事件，取得兩個(gè)同色球，只需兩互斥事件有一個(gè)發(fā)生即可，因而取得兩個(gè)同色球的概率為P＝eq\f(7,15)＋eq\f(1,15)＝eq\f(8,15).由于事件A“至少取得一個(gè)紅球〞與事件B“取得兩個(gè)綠球〞是對(duì)立事件，那么至少取得一個(gè)紅球的概率為P(A)＝1－P(B)＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15).答案：eq\f(8,15)eq\f(14,15)9．近年來(lái)，某市為促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾箱中總計(jì)1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下(單位：噸)：“廚余垃圾〞箱“可回收物〞箱“其他垃圾〞箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率；(2)試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率．解：(1)廚余垃圾投放正確的概率約為eq\f(“廚余垃圾〞箱里廚余垃圾量,廚余垃圾總量)＝eq\f(400,400＋100＋100)＝eq\f(2,3).(2)設(shè)生活垃圾投放錯(cuò)誤為事件A，那么事件eq\x\to(A)表示生活垃圾投放正確．事件eq\x\to(A)的概率約為“廚余垃圾〞箱里廚余垃圾量、“可回收物〞箱里可回收物量與“其他垃圾〞箱里其他垃圾量的總和除以生活垃圾總量，即P(eq\x\to(A))約為eq\f(400＋240＋60,1000)＝0.7，所以P(A)約為1－0.7＝0.3.10．某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購(gòu)物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時(shí)間(分鐘/分)11.522.53這100位顧客中的一次購(gòu)物量超過8件的顧客占55%.(1)求x，y的值．(2)求顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間超過2分鐘的概率．解：(1)由得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.(2)記A：一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間超過2分鐘．A1：該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為2.5分鐘．A2：該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為3分鐘．將頻率視為概率，可得P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(20,100)＋eq\f(10,100)＝0.3.所以一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間超過2分鐘的概率為0.3.三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1．假設(shè)隨機(jī)事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且分別為P(A)＝2－a，P(B)＝3a－4，那么實(shí)數(shù)a解析：因?yàn)殡S機(jī)事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且分別為P(A)＝2－a，P(B)＝3a所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<PA<1，,0<PB<1，,PA＋PB≤1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<2－a<1，,0<3a－4<1，,2a－2≤1.))解得eq\f(4,3)<a≤eq\f(3,2).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(3,2)))2．某保險(xiǎn)公司利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，對(duì)投保的車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：賠償金額(元)01000200030004000車輛數(shù)(輛)500130100150120(1)假設(shè)每輛車的投保金額為2800元，估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率．(2)在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占20%，估計(jì)在已投保車輛中，新司機(jī)獲賠金額為4000元的概率．解：(1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3000元〞，B表示事件“賠付金額為4000元〞，以頻率估計(jì)概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12，由于投保額為2800元，賠付金額大于投保金額的情形是賠付3000元和4000元，所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機(jī)獲賠4000元〞，由，樣本車輛中車主是新司機(jī)的有0.1×1000＝100(位)，而賠付金額為4000元的車輛中車主為新司機(jī)的有0.2×120＝24(位)，所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為4000元的頻率為eq\f(24,100)＝0.24，由頻率估計(jì)概率得P(C)＝0.24.第二節(jié)古_(tái)典_概_(tái)型1．根本領(lǐng)件的特點(diǎn)(1)任何兩個(gè)根本領(lǐng)件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成根本領(lǐng)件的和．2．古典概型(1)(2)概率計(jì)算公式：P(A)＝eq\f(A包含的根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù),根本領(lǐng)件的總數(shù)).[小題體驗(yàn)]1．(教材習(xí)題改編)一個(gè)口袋內(nèi)裝有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，那么在先摸出1個(gè)白球后放回的條件下，再摸出1個(gè)白球的概率是________．解析：先摸出1個(gè)白球后放回，再摸出1個(gè)白球的概率，實(shí)質(zhì)上就是第二次摸到白球的概率，因?yàn)榇鼉?nèi)裝有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，因此概率為eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)2．從1,2,3,4,5中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，其和為5的概率是________．解析：兩數(shù)之和等于5有兩種情況(1,4)和(2,3)，總的根本領(lǐng)件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10種．∴所求概率P＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)1．在計(jì)算古典概型中試驗(yàn)的所有結(jié)果數(shù)和事件發(fā)生結(jié)果時(shí)，易無(wú)視他們是否是等可能的．2．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易無(wú)視只有當(dāng)A∩B＝?，即A，B互斥時(shí)，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此時(shí)P(A∩B)＝0.[小題糾偏]1．(2022·江蘇高考)袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球．從中一次隨機(jī)摸出2只球，那么這2只球顏色不同的概率為________．解析：設(shè)4只球分別為白、紅、黃1、黃2，從中一次隨機(jī)摸出2只球，所有根本領(lǐng)件為(白，紅)、(白，黃1)、(白，黃2)、(紅，黃1)、(紅，黃2)、(黃1，黃2)，共6個(gè)，顏色不同的有5個(gè)，所以2只球顏色不同的概率為eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)2．從一副混合后的撲克牌(除去大、小王52張)中，隨機(jī)抽取1張．事件A為“抽到紅桃K〞，事件B為“抽到黑桃〞，那么P(A∪B)＝________(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)．解析：∵P(A)＝eq\f(1,52)，P(B)＝eq\f(13,52)，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,52)＋eq\f(13,52)＝eq\f(14,52)＝eq\f(7,26).答案：eq\f(7,26)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一古典概型的簡(jiǎn)單問題)eq\a\vs4\al(根底送分型考點(diǎn)——自主練透)[題組練透]1．(2022·全國(guó)丙卷)小敏翻開計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個(gè)字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字，那么小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是()A.eq\f(8,15) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,15) D.eq\f(1,30)解析：選C∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件總數(shù)有15種．∵正確的開機(jī)密碼只有1種，∴P＝eq\f(1,15).2.(2022·北京高考)從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，那么甲被選中的概率為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(8,25) D.eq\f(9,25)解析：選B設(shè)另外三名學(xué)生分別為丙、丁、戊．從5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10種情形，其中甲被選中的有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4種情形，故甲被選中的概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).3．(2022·山東高考)某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況，數(shù)據(jù)如下表：(單位：人)參加書法社團(tuán)未參加書法社團(tuán)參加演講社團(tuán)85未參加演講社團(tuán)230(1)從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率；(2)在既參加書法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)A1，A2，A3，A4，A5,3名女同學(xué)B1，B2，B3.現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，求A1被選中且B1未被選中的概率．解：(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加書法社團(tuán)又未參加演講社團(tuán)的有30人，故至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的共有45－30＝15(人)，所以從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率為P＝eq\f(15,45)＝eq\f(1,3).(2)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，其一切可能的結(jié)果組成的根本領(lǐng)件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15個(gè)．根據(jù)題意，這些根本領(lǐng)件的出現(xiàn)是等可能的．事件“A1被選中且B1未被選中〞所包含的根本領(lǐng)件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2個(gè)．因此A1被選中且B1未被選中的概率為P＝eq\f(2,15).[謹(jǐn)記通法]1．求古典概型概率的步驟(1)判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；(2)分別求出根本領(lǐng)件的總數(shù)n與所求事件A中所包含的根本領(lǐng)件個(gè)數(shù)m；(3)利用公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事件A的概率．2．根本領(lǐng)件個(gè)數(shù)確實(shí)定方法方法適用條件列表法此法適合于從多個(gè)元素中選定兩個(gè)元素的試驗(yàn)，也可看成是坐標(biāo)法樹狀圖法樹狀圖是進(jìn)行列舉的一種常用方法，適合于有順序的問題及較復(fù)雜問題中根本領(lǐng)件數(shù)的探求eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二古典概型的交匯命題)eq\a\vs4\al(題點(diǎn)多變型考點(diǎn)——多角探明)[鎖定考向]古典概型在高考中常與平面向量、解析幾何、統(tǒng)計(jì)等知識(shí)交匯命題，命題的角度新穎，考查知識(shí)全面，能力要求較高．常見的命題角度有：(1)古典概型與平面向量相結(jié)合；(2)古典概型與直線、圓相結(jié)合；(3)古典概型與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合．[題點(diǎn)全練]角度一：古典概型與平面向量相結(jié)合1．從集合{2,3,4,5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a，從集合{1,3,5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b，那么向量m＝(a，b)與向量n＝(1，－1)垂直的概率為________．解析：由題意可知m＝(a，b)所有根本領(lǐng)件有4×3＝12種情況，m⊥n，即m·n＝0.所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，滿足條件的有(3,3)，(5,5)，共2種情況，所以所求概率為eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)角度二：古典概型與直線、圓相結(jié)合2．(2022·洛陽(yáng)統(tǒng)考)將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a，b，那么直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點(diǎn)的概率為________．解析：依題意，將一顆骰子先后投擲兩次得到的點(diǎn)數(shù)所形成的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36種，其中滿足直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，即滿足eq\f(2a,\r(a2＋b2))≤eq\r(2)，即a≤b，那么當(dāng)a＝1時(shí)，b＝1,2,3,4,5,6，共有6種，當(dāng)a＝2時(shí)，b＝2,3,4,5,6，共5種，同理當(dāng)a＝3時(shí)，有4種，a＝4時(shí)，有3種，a＝5時(shí)，有2種，a＝6時(shí)，有1種，故共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21種，因此所求的概率等于eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).答案：eq\f(7,12)角度三：古典概型與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合3．(2022·安徽高考)某企業(yè)為了解下屬某部門對(duì)本企業(yè)職工的效勞情況，隨機(jī)訪問50名職工．根據(jù)這50名職工對(duì)該部門的評(píng)分，繪制頻率分布直方圖(如下圖)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為：[40,50)，[50,60)，…，[80，90)，[90,100]．(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率；(3)從評(píng)分在[40,60)的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人的評(píng)分都在[40,50)的概率．解：(1)因?yàn)?0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.(2)由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評(píng)分不低于80的頻率為(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以該企業(yè)職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率的估計(jì)值為0.4.(3)受訪職工中評(píng)分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，記為A1，A2，A3；受訪職工中評(píng)分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，記為B1，B2.從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因?yàn)樗槿?人的評(píng)分都在[40,50)的結(jié)果有1種，即{B1，B2}，故所求的概率為eq\f(1,10).[通法在握]解決古典概型交匯命題的方法解決與古典概型交匯命題的問題時(shí)，把相關(guān)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件，列舉根本領(lǐng)件，求出根本領(lǐng)件和隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)，然后利用古典概型的概率計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算．[演練沖關(guān)]1．某同學(xué)同時(shí)擲兩顆骰子，得到點(diǎn)數(shù)分別為a，b，那么橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的離心率e>eq\f(\r(3),2)的概率是________．解析：同時(shí)擲兩顆骰子，得到的點(diǎn)數(shù)所形成的數(shù)組共有36種情況，當(dāng)a>b時(shí)，e＝eq\r(1－\f(b2,a2))>eq\f(\r(3),2)?eq\f(b,a)<eq\f(1,2)?a>2b，符合a>2b的情況有：當(dāng)b＝1時(shí)，有a＝3,4,5,6四種情況；當(dāng)b＝2時(shí)，有a＝5,6兩種情況．總共有6種情況，那么概率是eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).同理當(dāng)a<b時(shí)，e>eq\f(\r(3),2)的概率也為eq\f(1,6).綜上可知e>eq\f(\r(3),2)的概率為eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)2．(2022·河北省“五校聯(lián)盟〞質(zhì)量檢測(cè))某校高三學(xué)生體檢后，為了解高三學(xué)生的視力情況，該校從高三六個(gè)班的300名學(xué)生中以班為單位(每班學(xué)生50人)，每班按隨機(jī)抽樣方法抽取了8名學(xué)生的視力數(shù)據(jù)．其中高三(1)班抽取的8名學(xué)生的視力數(shù)據(jù)與人數(shù)見下表：視力數(shù)據(jù)4.04.14.24.34.44.54.64.74.84.95.05.15.25.3人數(shù)22211(1)用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)高三(1)班學(xué)生視力的平均值；(2)其余五個(gè)班學(xué)生視力的平均值分別為4.3,4.4，4.5，4.6,4.8.假設(shè)從這六個(gè)班中任意抽取兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值作比擬，求抽取的兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值之差的絕對(duì)值不小于0.2的概率．解：(1)高三(1)班學(xué)生視力的平均值為eq\f(4.4×2＋4.6×2＋4.8×2＋4.9＋5.1,8)＝4.7，故用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)高三(1)班學(xué)生視力的平均值為4.7.(2)從這六個(gè)班中任意抽取兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值作比擬，所有的取法共有15種，而滿足抽取的兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值之差的絕對(duì)值不小于0.2的取法有：(4.3,4.5)，(4.3,4.6)，(4.3,4.7)，(4.3,4.8)，(4.4,4.6)，(4.4,4.7)，(4.4,4.8)，(4.5,4.7)，(4.5,4.8)，(4.6,4.8)，共有10種，故抽取的兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值之差的絕對(duì)值不小于0.2的概率為P＝eq\f(10,15)＝eq\f(2,3).一抓根底，多練小題做到眼疾手快1．(2022·山西省第二次四校聯(lián)考)甲、乙兩人有三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組A，B，C可以參加，假設(shè)每人必須參加并且僅能參加一個(gè)學(xué)習(xí)小組，那么兩人參加同一個(gè)小組的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,6)解析：選A∵甲、乙兩人參加學(xué)習(xí)小組的所有事件有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9個(gè)，其中兩人參加同一個(gè)小組的事件有(A，A)，(B，B)，(C，C)，共3個(gè)，∴兩人參加同一個(gè)小組的概率為eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).2．(2022·河北省三市第二次聯(lián)考)袋子中裝有大小相同的5個(gè)小球，分別有2個(gè)紅球、3個(gè)白球．現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2個(gè)小球，那么這2個(gè)小球中既有紅球也有白球的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(7,10)C.eq\f(4,5) D.eq\f(3,5)解析：選D設(shè)2個(gè)紅球分別為a，b,3個(gè)白球分別為A，B，C，從中隨機(jī)抽取2個(gè)，那么有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10個(gè)根本領(lǐng)件，其中既有紅球也有白球的根本領(lǐng)件有6個(gè)，那么所求概率為P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).3．從2名男生和2名女生中任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動(dòng)，每天一人，那么星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,2) D.eq\f(7,12)解析：選A設(shè)2名男生記為A1，A2,2名女生記為B1，B2，任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動(dòng)，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B112種情況，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B24種情況，那么發(fā)生的概率為P＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，應(yīng)選A.4．(2022·四川高考)從2,3,8,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，分別記為a，b，那么logab為整數(shù)的概率是________．解析：從2,3,8,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，分別記為a，b，那么(a，b)的所有可能結(jié)果為(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,8)，(3,9)，(8,9)，(3,2)，(8,2)，(9,2)，(8,3)，(9,3)，(9,8)，共12種取法，其中l(wèi)ogab為整數(shù)的有(2,8)，(3,9)兩種，故P＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)5．投擲兩顆骰子，得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，那么復(fù)數(shù)(m＋ni)(n－mi)為實(shí)數(shù)的概率為________．解析：因?yàn)?m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i，所以要使其為實(shí)數(shù)，須n2＝m2，即m＝n.由得，事件的總數(shù)為36，m＝n，有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)共6個(gè)，所以所求的概率為P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1.〔2022·開封模擬〕一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體玩具的四個(gè)面上分別標(biāo)有1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字，假設(shè)連續(xù)兩次拋擲這個(gè)玩具，那么兩次向下的面上的數(shù)字之積為偶數(shù)的概率是〔〕A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：選D拋擲兩次該玩具共有16種情況：〔1，1〕，〔1，2〕，〔1，3〕，〔1，4〕，〔2，1〕，…，〔4，4〕.其中乘積是偶數(shù)的有12種情況：〔1，2〕，〔1，4〕，〔2，1〕，〔2，2〕，〔2，3〕，〔2，4〕，〔3，2〕，〔3，4〕，〔4，1〕，〔4，2〕，〔4，3〕，〔4，4〕.所以兩次向下的面上的數(shù)字之積為偶數(shù)的概率是P=eq\f(12,16)=eq\f(3,4).2．在正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，那么構(gòu)成的四邊形是梯形的概率為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,8)解析：選B如圖，在正六邊形ABCDEF的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，共有15種選法，其中構(gòu)成的四邊形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6種情況，故構(gòu)成的四邊形是梯形的概率P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).3．集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b|a∈M，b∈M))，A是集合N中任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么直線OA與y＝x2＋1有交點(diǎn)的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,8)解析：選C易知過點(diǎn)(0,0)與y＝x2＋1相切的直線為y＝2x(斜率小于0的無(wú)需考慮)，集合N中共有16個(gè)元素，其中使直線OA的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4個(gè)，故所求的概率為eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).4．(2022·東北四市聯(lián)考)從3雙不同的鞋中任取2只，那么取出的2只鞋不能成雙的概率為()A.eq\f(3,5)B.eq\f(8,15)C.eq\f(4,5)D.eq\f(7,15)解析：選C設(shè)這3雙鞋分別為(A1，A2)，(B1，B2)，(C1，C2)，那么任取2只鞋的可能為(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(C1，C2)，共15種情況，其中2只鞋不能成雙的有12種情況，故所求概率為P＝eq\f(12,15)＝eq\f(4,5)，應(yīng)選C.5．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，假設(shè)a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，那么該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為()A.eq\f(7,9) B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,9) D.eq\f(2,3)解析：選D對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)可得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要滿足題意需x2＋2ax＋b2＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，即Δ＝4(a2－b2)>0，即a>b.又(a，b)的取法共有9種，其中滿足a>b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6種，故所求的概率P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).6．(2022·重慶適應(yīng)性測(cè)試)從2,3,4,5,6這5個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，那么所取3個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)的概率為________．解析：依題意，從2,3,4,5,6這5個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，共有10種不同的取法，其中所取3個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)的取法共有1＋3＝4種(包含兩種情形：一種情形是所取的3個(gè)數(shù)均為偶數(shù)，有1種取法；另一種情形是所取的3個(gè)數(shù)中2個(gè)是奇數(shù)，另一個(gè)是偶數(shù)，有3種取法)，因此所求的概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)7．(2022·江蘇高考)將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次，那么出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是________．解析：將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，所有等可能的結(jié)果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36種情況．設(shè)事件A＝“出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10”，其對(duì)立事件eq\x\to(A)＝“出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和大于或等于10”，eq\x\to(A)包含的可能結(jié)果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6種情況．所以由古典概型的概率公式，得P(eq\x\to(A))＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，所以P(A)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)8．現(xiàn)有7名數(shù)理化成績(jī)優(yōu)秀者，分別用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，B1，B2的物理成績(jī)優(yōu)秀，C1，C2的化學(xué)成績(jī)優(yōu)秀．從中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成績(jī)優(yōu)秀者各1名，組成一個(gè)小組代表學(xué)校參加競(jìng)賽，那么A1和B1不全被選中的概率為________．解析：從這7人中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成績(jī)優(yōu)秀者各1名，所有可能的結(jié)果組成的12個(gè)根本領(lǐng)件為：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．設(shè)“A1和B1不全被選中〞為事件N，那么其對(duì)立事件eq\x\to(N)表示“A1和B1全被選中〞，由于eq\x\to(N)＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以P(eq\x\to(N))＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，由對(duì)立事件的概率計(jì)算公式得P(N)＝1－P(eq\x\to(N))＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)9．一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同．隨機(jī)有放回地抽取3次，每次抽取一張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c〞的概率；(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同〞的概率．解：(1)由題意，(a，b，c)所有可能的結(jié)果為：(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27種．設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c〞為事件A，那么事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3種，所以P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9)，因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c〞的概率為eq\f(1,9).(2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同〞為事件B，那么事件eq\x\to(B)包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3種，所以P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(3,27)＝eq\f(8,9)，因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同〞的概率為eq\f(8,9).10．移動(dòng)公司在國(guó)慶期間推出4G套餐，對(duì)國(guó)慶節(jié)當(dāng)日辦理套餐的客戶進(jìn)行優(yōu)惠，優(yōu)惠方案如下：選擇套餐1的客戶可獲得優(yōu)惠200元，選擇套餐2的客戶可獲得優(yōu)惠500元，選擇套餐3的客戶可獲得優(yōu)惠300元．國(guó)慶節(jié)當(dāng)天參與活動(dòng)的人數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下圖，現(xiàn)將頻率視為概率．(1)求從中任選1人獲得優(yōu)惠金額不低于300元的概率；(2)假設(shè)采用分層抽樣的方式從參加活動(dòng)的客戶中選出6人，再?gòu)脑?人中隨機(jī)選出2人，求這2人獲得相等優(yōu)惠金額的概率．解：(1)設(shè)事件A為“從中任選1人獲得優(yōu)惠金額不低于300元〞，那么P(A)＝eq\f(150＋100,50＋150＋100)＝eq\f(5,6).(2)設(shè)事件B為“從這6人中選出2人，他們獲得相等優(yōu)惠金額〞，由題意按分層抽樣方式選出的6人中，獲得優(yōu)惠200元的有1人，獲得優(yōu)惠500元的有3人，獲得優(yōu)惠300元的有2人，分別記為a1，b1，b2，b3，c1，c2，從中選出2人的所有根本領(lǐng)件如下：a1b1，a1b2，a1b3，a1c1，a1c2，b1b2，b1b3，b1c1，b1c2，b2b3，b2c1，b2c2，b3c1，b其中使得事件B成立的有b1b2，b1b3，b2b3，c1c2那么P(B)＝eq\f(4,15).三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1．(2022·長(zhǎng)沙四校聯(lián)考)集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4)).定義映射f：M→N，那么從中任取一個(gè)映射滿足由點(diǎn)A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))構(gòu)成△ABC且AB＝BC的概率為()A.eq\f(3,32)B.eq\f(5,32)C.eq\f(3,16)D.eq\f(1,4)解析：選C∵集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4))，∴映射f：M→N有43＝64種，∵由點(diǎn)A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))構(gòu)成△ABC且AB＝BC，∴f(1)＝f(3)≠f(2)，∵f(1)＝f(3)有4種選擇，f(2)有3種選擇，∴從中任取一個(gè)映射滿足由點(diǎn)A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))構(gòu)成△ABC且AB＝BC的事件有4×3＝12種，∴所求概率為eq\f(12,64)＝eq\f(3,16).2．關(guān)于x的一元二次函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1.(1)設(shè)集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率；(2)設(shè)點(diǎn)(a，b)是區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－8≤0，,x>0，,y>0))內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率．解：(1)∵函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1的圖象的對(duì)稱軸為x＝eq\f(2b,a)，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a>0且eq\f(2b,a)≤1，即2b≤a.假設(shè)a＝1，那么b＝－1；假設(shè)a＝2，那么b＝－1,1；假設(shè)a＝3，那么b＝－1,1.∴事件包含根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)是1＋2＋2＝5，∵事件“分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b〞的個(gè)數(shù)是15.∴所求事件的概率為eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).(2)由(1)知當(dāng)且僅當(dāng)2b≤a且a>0時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b－8≤0，,a>0，,b>0))))))構(gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)槿缦聢D的三角形AOB局部．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b－8＝0，,b＝\f(a,2)，))得交點(diǎn)坐標(biāo)Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,3)，\f(8,3)))，∴所求事件的概率為P＝eq\f(S△COB,S△AOB)＝eq\f(\f(1,2)×8×\f(8,3),\f(1,2)×8×8)＝eq\f(1,3).第三節(jié)幾_何_概_(tái)型1．幾何概型的定義如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型．2．幾何概型的兩個(gè)根本特點(diǎn)(1)無(wú)限性：在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性．3．幾何概型的概率公式P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積).[提醒]求解幾何概型問題注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．[小題體驗(yàn)]1．某路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次，某乘客到乘車點(diǎn)的時(shí)刻是隨機(jī)的，那么他候車時(shí)間不超過2分鐘的概率是()A.eq\f(3,5) B.eq\f(4,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)解析：選C試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為5，所求事件的區(qū)域長(zhǎng)度為2，故所求概率為P＝eq\f(2,5).2．(教材習(xí)題改編)在長(zhǎng)為3m的線段AB上任取一點(diǎn)P，那么點(diǎn)P與線段AB兩端點(diǎn)的距離都大于1m的概率等于________．解析：將線段AB平均分成3段，設(shè)中間的兩點(diǎn)分別為C，D，∴當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，符合題意，線段CD的長(zhǎng)度為1，∴所求概率P＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)易混淆幾何概型與古典概型，兩者共同點(diǎn)是試驗(yàn)中每個(gè)結(jié)果的發(fā)生是等可能的，不同之處是幾何概型的試驗(yàn)結(jié)果的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，古典概型中試驗(yàn)結(jié)果的個(gè)數(shù)是有限的．[小題糾偏]1．函數(shù)f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4]，那么f(x)為增函數(shù)的概率為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析：選C∵f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]．∴f(x)在[1,4]上是增函數(shù)．∴f(x)為增函數(shù)的概率為P＝eq\f(4－1,4－－1)＝eq\f(3,5).2．如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形中隨機(jī)撒1000粒豆子，有180粒落到陰影局部，據(jù)此估計(jì)陰影局部的面積為________．解析：設(shè)陰影局部面積為S，由幾何概型可知eq\f(S,1)＝eq\f(180,1000)，所以S＝0.18.答案：0.18eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一與長(zhǎng)度角度有關(guān)的幾何概型)eq\a\vs4\al(根底送分型考點(diǎn)——自主練透)[題組練透]1．(2022·武漢調(diào)研)在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，那么事件“l(fā)og0.5(4x－3)≥0”發(fā)生的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析：選D由log0.5(4x－3)≥0，得0＜4x－3≤1，解得eq\f(3,4)＜x≤1，所以所求概率P＝eq\f(1－\f(3,4),1－0)＝eq\f(1,4).2.如下圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在30°角的終邊上，任作一條射線OA，那么射線OA落在∠yOT內(nèi)的概率為________．解析：根據(jù)題圖，因?yàn)樯渚€OA在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能分布的，所以O(shè)A落在∠yOT內(nèi)的概率為eq\f(60,360)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)3．(2022·山東高考)在[－1,1]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，那么事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交〞發(fā)生的概率為________．解析：由直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交，得eq\f(|5k|,\r(k2＋1))＜3，即16k2＜9，解得－eq\f(3,4)＜k＜eq\f(3,4).由幾何概型的概率計(jì)算公式可知P＝eq\f(\f(3,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),2)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)[謹(jǐn)記通法]1．與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型如果試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長(zhǎng)度表示，可直接用概率的計(jì)算公式求解．2．與角度有關(guān)的幾何概型當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)、扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問題時(shí)，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來(lái)計(jì)算概率，且不可用線段的長(zhǎng)度代替，這是兩種不同的度量手段．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二與體積有關(guān)的幾何概型)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)[典例引領(lǐng)](2022·河北保定聯(lián)考)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，那么點(diǎn)P到點(diǎn)解析：如圖，與點(diǎn)O距離等于1的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)半球面，其體積V1＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2π,3).事件“點(diǎn)P與點(diǎn)O距離大于1的概率〞對(duì)應(yīng)的區(qū)域體積為23－eq\f(2π,3)，根據(jù)幾何概型概率公式得，點(diǎn)P與點(diǎn)O距離大于1的概率P＝eq\f(23－\f(2π,3),23)＝1－eq\f(π,12).答案：1－eq\f(π,12)[由題悟法]與體積有關(guān)的幾何概型求法的關(guān)鍵點(diǎn)對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件去求．[即時(shí)應(yīng)用]一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如下圖，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，一只蝴蝶在幾何體ADF-BCE內(nèi)自由飛翔，那么它飛入幾何體F-AMCD內(nèi)的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：選D由題圖可知VF-AMCD＝eq\f(1,3)×SAMCD×DF＝eq\f(1,4)a3，VADF-BCE＝eq\f(1,2)a3，所以它飛入幾何體F-AMCD內(nèi)的概率為eq\f(\f(1,4)a3,\f(1,2)a3)＝eq\f(1,2).eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三與面積有關(guān)的幾何概型)eq\a\vs4\al(題點(diǎn)多變型考點(diǎn)——多角探明)[鎖定考向]與面積有關(guān)的幾何概型是近幾年高考的熱點(diǎn)之一．常見的命題角度有：(1)與三角形、矩形、圓等平面圖形面積有關(guān)的問題；(2)與線性規(guī)劃交匯命題的問題；(3)與定積分交匯命題的問題．[題點(diǎn)全練]角度一：與三角形、矩形、圓等平面圖形面積有關(guān)的問題1．(2022·湖北省七市(州)協(xié)作體聯(lián)考)平面區(qū)域A1＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y|x2＋y2＜4，x，y∈R))，A2＝{(x，y)||x|＋|y|≤3，x，y∈R}．在A2內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，那么該點(diǎn)不在A1內(nèi)的概率為________．解析：分別畫出區(qū)域A1，A2，如圖圓內(nèi)局部和正方形及其內(nèi)部所示，根據(jù)幾何概型可知，所求概率為eq\f(18－4π,18)＝1－eq\f(2π,9).答案：1－eq\f(2π,9)角度二：與線性規(guī)劃交匯命題的問題2．(2022·廣州綜合測(cè)試)在平面區(qū)域{(x，y)|0≤x≤1，1≤y≤2}內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)P，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足y≤2x的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：選A依題意作出圖象如圖，那么P(y≤2x)＝eq\f(S陰影,S正方形)＝eq\f(\f(1,2)×\f(1,2)×1,12)＝eq\f(1,4).[通法在握]1．幾何概型與平面幾何、解析幾何等知識(shí)交匯問題的解題思路利用平面幾何、解析幾何等相關(guān)知識(shí)，先確定根本領(lǐng)件對(duì)應(yīng)區(qū)域的形狀，再選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ê凸剑?jì)算出其面積，進(jìn)而代入公式求概率．2．幾何概型與線性規(guī)劃交匯問題的解題思路先根據(jù)約束條件作出可行域，再確定形狀，求面積大小，進(jìn)而代入公式求概率．[演練沖關(guān)]1．(2022·石家莊市教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))如圖，圓C內(nèi)切于扇形AOB，∠AOB＝eq\f(π,3)，假設(shè)向扇形AOB內(nèi)隨機(jī)投擲600個(gè)點(diǎn)，那么落入圓內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)估計(jì)值為()A．100 B．200C．400 D．450解析：選C如下圖，作CD⊥OA于點(diǎn)D，連接OC并延長(zhǎng)交扇形于點(diǎn)E，設(shè)扇形半徑為R，圓C半徑為r，∴R＝r＋2r＝3r，∴落入圓內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)估計(jì)值為600·eq\f(πr2,\f(1,6)π3r2)＝400.2．(2022·湖北高考)在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≤eq\f(1,2)〞的概率，p2為事件“xy≤eq\f(1,2)〞的概率，那么()A．p1＜p2＜eq\f(1,2)B．p2＜eq\f(1,2)＜p1C.eq\f(1,2)＜p2＜p1D．p1＜eq\f(1,2)＜p2解析：選D如圖，滿足條件的x，y構(gòu)成的點(diǎn)(x，y)在正方形OBCA內(nèi)，其面積為1.事件“x＋y≤eq\f(1,2)〞對(duì)應(yīng)的圖形為陰影△ODE，其面積為eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8)，故p1＝eq\f(1,8)＜eq\f(1,2)；事件“xy≤eq\f(1,2)〞對(duì)應(yīng)的圖形為斜線表示局部，其面積顯然大于eq\f(1,2)，故p2＞eq\f(1,2)，那么p1＜eq\f(1,2)＜p2，應(yīng)選D.一抓根底，多練小題做到眼疾手快1．在區(qū)間[－1,2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，那么|x|≤1的概率為()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：選A因?yàn)閨x|≤1，所以－1≤x≤1，所以所求的概率為eq\f(1－－1,2－－1)＝eq\f(2,3).2．(2022·廣州市五校聯(lián)考)四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點(diǎn)，在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為()A.eq\f(π,4) B．1－eq\f(π,4)C.eq\f(π,8) D．1－eq\f(π,8)解析：選B如圖，依題意可知所求概率為圖中陰影局部與長(zhǎng)方形的面積比，即所求概率P＝eq\f(S陰影,S長(zhǎng)方形ABCD)＝eq\f(2－\f(π,2),2)＝1－eq\f(π,4).3．正棱錐S-ABC的底面邊長(zhǎng)為4，高為3，在正棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP-ABC＜eq\f(1,2)VS-ABC的概率是()A.eq\f(3,4) B.eq\f(7,8)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：選B由題意知，當(dāng)點(diǎn)P在三棱錐的中截面以下時(shí)，滿足VP-ABC＜eq\f(1,2)VS-ABC，故使得VP-ABC＜eq\f(1,2)VS-ABC的概率：P＝eq\f(大三棱錐的體積－小三棱錐的體積,大三棱錐的體積)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(7,8).4．函數(shù)f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，假設(shè)從區(qū)間[－5,5]內(nèi)隨機(jī)抽取一個(gè)實(shí)數(shù)x0，那么所取的x0滿足f(x0)≤0的概率為________．解析：令x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2，由幾何概型的概率計(jì)算公式得P＝eq\f(2－－1,5－－5)＝eq\f(3,10)＝0.3.答案：0.35．(2022·河南省六市第一次聯(lián)考)歐陽(yáng)修?賣油翁?中寫道：(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕，可見“行行出狀元〞，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止，假設(shè)銅錢是直徑為2cm的圓，中間有邊長(zhǎng)為0.5cm的正方形孔，假設(shè)你隨機(jī)向銅錢上滴一滴油，那么油(油滴的大小忽略不計(jì))正好落入孔中的概率為________．解析：由題意得，所求概率為P＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2,π)＝eq\f(1,4π).答案：eq\f(1,4π)二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1．有四個(gè)游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，假設(shè)小球落在陰影局部，那么可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)時(shí)機(jī)，應(yīng)選擇的游戲盤是()解析：選A由題意及題圖可知，各種情況的概率都是其面積比，中獎(jiǎng)的概率依次為P(A)＝eq\f(3,8)，P(B)＝eq\f(2,8)，P(C)＝eq\f(1,3)，P(D)＝eq\f(1,3)，故P(A)最大，應(yīng)選A.2．在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC，CB的長(zhǎng)，那么該矩形面積小于32cm2的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,5)解析：選C根據(jù)題意求出矩形的面積為32時(shí)線段AC或線段BC的長(zhǎng)，然后求出概率．設(shè)AC＝x，那么CB＝12－x，所以x(12－x)＝32，解得x＝4或x＝8.所以P＝eq\f(4＋4,12)＝eq\f(2,3).3．(2022·貴陽(yáng)市監(jiān)測(cè)考試)在[－4,4]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)m，能使函數(shù)f(x)＝x3＋mx2＋3x在R上單調(diào)遞增的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,8)C.eq\f(5,8) D.eq\f(3,4)解析：選D由題意，得f′(x)＝3x2＋2mx＋3，要使函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，那么3x2＋2mx＋3≥0在R上恒成立，即Δ＝4m2－36≤0，解得－3≤m≤3，所以所求概率為eq\f(3－－3,4－－4)＝eq\f(3,4)，應(yīng)選D.4．平面區(qū)域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在區(qū)域D內(nèi)任取一點(diǎn)，那么取到的點(diǎn)位于直線y＝kx(k∈R)下方的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：選A由題設(shè)知，區(qū)域D是以原點(diǎn)為中心的正方形，直線y＝kx將其面積平分，如圖，所求概率為eq\f(1,2).5．在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，那么sinx＋cosx∈[1，eq\r(2)]的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,8) D.eq\f(5,8)解析：選B因?yàn)閤∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))，所以x＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(3π,4)))