程典型例題類型一：圓的方程則點在圓上；若距離小于半徑，則點在圓內．設圓的標準方程為(xa)2+(yb)2=r2．所以所求圓的方程為(x+1)2+y2=20．因為圓過A(1,4)、B(3,2)兩點，所以圓心C必在線段AB的垂直平分線l上，又因為k=42=1，故l的斜率為1，又AB的中點為(2,3)，故AB∴半徑r=AC=(1+1)2+42=20．故所求圓的方程為(x+1)2+y2=20．d=PC=(2+1)2+42=25>r．yCy0相切，且半徑為4，則圓心C的坐標為C(a,4)或C(a,4)．2又已知圓x2+y24x2y4=0的圓心A的坐標為(2,1)，半徑為3．1xy2由題意，所求圓與直線y=0相切且半徑為4，則圓心坐標為C(a,4)，且方程形如(xa)2+(y4)2=42．又圓x2+y24x2y4=0，即(x2)2+(y1)2=32，其圓心為解中沒有考慮兩圓內切的情況．也是不全面的．圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上．x2yx+2y∴=．55設圓心C(t,3t)5化簡整理得t26t+5=0．∴所求圓的方程為(x1)2+(y3)2=5或(x5)2+(y15)2=125．說明：本題解決的關鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，從而確定圓心坐標得到圓的方程，這是過定點且與兩已知直線相切的圓的方程的常規求法．分析：要求圓的方程，只須利用條件求出圓心坐標和半徑，便可求得圓的標準方程．滿足兩個條件的圓有無數個，其圓心的集合可看作動點的軌跡，若能求出這軌跡的方程，便可利用點到直線的距離公式，通過求最小值的方法找到符合題意的圓的圓心坐標，進而確定圓的半徑，求出圓的方由題設知：圓截x軸所得劣弧所對的圓心角為90，故圓截x軸所得弦長為2r．d=5da2+4b22(a2+b2)=2b2a2=15當且僅當a=b時取“=”號，此時d=．min52b2a2=1故所求圓的方程為(x1)2+(y1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2=．=5上述方程有實根，故55．5將d=5代入方程得b=1．5a故所求圓的方程為(x1)2+(y1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2．類型二：切線方程、切點弦方程、公共弦方程根據d=r∴解得所以即3k=4因為過圓外一點作圓得切線應該有兩條，可見另一條直線的斜率不存在．易求另一條切線為本題還有其他解法，例如把所設的切線方程代入圓方程，用判別式等于0解決(也要注意漏解)．還可以運用xx+yy=r2，求出切點坐標x、y的值來解決，此時沒有漏解．0000例6兩圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0與C：x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于A、B兩11112222太繁．為了避免求交點，可以采用“設而不求”的技巧．CC的任一交點坐標為(x,y)，則有：1200x2+y2+Dx+Ey+F=00010101x2+y2+Dx+Ey+F=00020202①②①－②得：(DD)x+(EE)y+FF=0．12012012∵A、B的坐標滿足方程(DD)x+(EE)y+FF=0．121212∴方程(DD)x+(EE)y+FF=0是過A、B兩點的直線方程．121212∴兩圓C、C的公共弦AB所在直線的方程為(DD)x+(EE)y+FF=0．12121212求它，而是利用曲線與方程的概念達到了目標．從解題的角度上說，這是一種“設而不求”的技巧，從知識內容的角度上說，還體現了對曲線與方程的關系的深刻理解以及對直線方程是一次方程的本廣泛．B∵圓心(1,0)到切線l的距離等于半徑2，4Mx，52、過坐標原點且與圓x2+y24x+2y+=0相切的直線的方程為2解：設直線方程為y=kx，即kxy=0.∵圓方程可化為(x2)2+(y+1)2=，∴圓心為(2，2102k+1101-1)，半徑為.依題意有=，解得k=3或k=，∴直線方程為y=3x或2k2+1231352+122類型三：弦長、弧問題3333解：依題意得，弦心距d=3，故弦長AB=2r2一d2=2，從而△OAB是等邊三角形，故截得的劣弧所對的圓心角為三AOB=.3類型四：直線與圓的位置關系分析：借助圖形直觀求解．或先求出直線l、l的方程，從代數計算中尋找解答．12132+42yl12d11212d==3，d==1．132+42232+42∴l與O相切，與圓O有一個公共點；l與圓O相交，與圓O有兩個公共點．即符合題意的121132+421r兩個交點，而不能說明圓上有兩點到此直線的距離為1．到一條直線的距離等于定值的點，在與此直線距離為這個定值的兩條平行直線上，因此題中所求的點就是這兩條平行直線與圓的公共點．求直線與圓的公共點個數，一般根據圓與直線的位置關系來判斷，即根據圓心與直線的距離和半徑的大小比較來判斷．2xxyk是.k33(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個r=22，圓心到直線的距離為2，所以在圓上共有三個點到直線的距離等于2，所以選C．即根據dr有2整理得解得yyxEP43類型五：圓與圓的位置關系Cxy+2x6y26=0與圓C:x2+y24x+2y+4=0的位置關系，1212半徑r=2，∴OO=5,r+r=3,rr=1.∵rr<OO<r+r，∴兩圓相交.共有22121221211212練習 值集合是. 解：∵圓(xm)2+y2=4的圓心為O(m,0)，半徑r=2，圓(x+1)2+(y2m)2=9的圓心為11O(1,2m)，半徑r=3，且兩圓相切，∴OO=r+r或OO=rr，∴221212122152m.2解：設所求圓的圓心為O(a,b)，則所求圓的方程為(xa)2+(yb)2=20.∵兩圓外切于點P，1313類型六：圓中的對稱問題x的直線與圓C：x2+y24x4y+7=0相切(1)求光線l和反射光線所在的直線方程．(2)光線自A到切點所經過的路程．根據d=r，即求出圓C的切線的斜率為3k=或k=34進一步求出反射光線所在的直線的方程為最后根據入射光與反射光關于x軸對稱，求出入射光所在直線方程為yyMANGOBA’x圖類型七：圓中的最值問題xydr2(d+r)(dr)=2r=62.xy1x1x1=26+6cos9+8sin9=26+10cos(90)(其中tan0=4)．3maxminmaxmindd的最小值d2等于圓心到原點的距離d1'減去半徑1．以d=32+42+1=6．1d1=4．2maxmin所以d=36．d=maxmin23t=sin(90)133t3+3．t44所以t=t=．所以t=t=．即的最大值為，最小值為．即的最大值為，最小值為．x144所以x2y的最大值為2+5，最小值為25．x1兩條切線的斜率分別是最大、最小值．由k4所以的最大值為，最小值為．所以的最大值為，最小值為．x1445所以x2y的最大值為2+5，最小值為25．例20：已知A(2,0)，B(2,0)，點P在圓(x3)2+(y4)2=4上運動，則PA2+PB2的最小值是.OPminkyk3x一233(2)設2x+y=m，則m表示直線2x+y=m在y軸上的截距.當該直線與圓相切時，m取得最52設點P(x,y)是圓x2+y2=1是任一點，求u=的取值范圍．．1u2+134此直線與圓x2+y2=1有公共點，可確定出u的取值范圍．直線的距離d1．u1u2+1解得：u-．4由〈(y-2=u(x+1)消去y后得：(u2+1)x2+(2u2+4u)x+(u2+4u+3)=0，x2+y2=1此方程有實根，故=(2u2+4u)2-4(u2+1)(u2+4u+3)>0，4u有關知識來求解．或者是利用其幾何意義轉化成斜率來求解，使問題變得簡捷方便．最大值和最小值.類型八：軌跡問題例21、基礎訓練：已知點M與兩個定點O(0,0)，A(3,0)的距離的比為1，求點M的軌跡方程.2的中點M的軌跡方程.分析：按常規求軌跡的方法，設H(x,y)，找x,y的關系非常難．由于H點隨B，C點運動而運動，可考慮H，B，C三點坐標之間的關系．HxyCxy，連結AH，CH，|x'=x.所以x2+(y2)2=4(x0)即是所求軌跡方程．說明：題目巧妙運用了三角形垂心的性質及菱形的相關知識．采取代入法求軌跡方程．做題時應注意分析圖形的幾何性質，求軌跡時應注意分析與動點相關聯的點，如相關聯點軌跡方程已知，Q在直角三角形AOM中，若設Q(x,y)，則M(x+a,y+b)．22224也即x2+y2=2r2(a2+b2)，這便是Q的軌跡方程．QxyAxy、B(x,y)，則x2+y2=r2，x2+y2=r2．11221122(xa)2+(yb)2=(xx)2+(yy)2=2r22(xx+yy)．①12121212又AB與PQ的中點重合，故x+a=x+x，y+b=y+y，即12(x+a)2+(y+b)2=2r2+2(xx+yy)②1212①＋②，有x2+y2=2r2(a2+b2)．①②又由PA」PB有rsinab聯立①、②、③消去a、，即可得Q點的軌跡方程為x2+y2=2r2(a2+b2)．本題給出三種解法．其中的解法一是幾何方法，它充分利用了圖形中隱含的數量關系．而解法二與解法三，從本質上是一樣的，都可以稱為參數方法．解法二涉及到了x、x、y、y四個參1212，故只需列出三個方程便可．上述三種解法的共同之處是，利用了圖形的幾何特征，借助數形結 的軌跡方程是. y練習鞏固：設A(c,0),B(c,0)(c>0)為兩定點，動點P到A點的距離與到B點的距離的比為定值a(a>0)，求P點的軌跡.BP(x_2)2+y2=4，∴點P的軌跡是以(2，0)為圓心，2為半徑的圓，∴所求面積為4".3解：設M(x,y),A(x,y).∵AM=1MB，∴(x_x,y_y)=1(3_x,_y)，113113y_y1=_yy1=y11(4x_1)2+(4y)2=1，即(x_3)2+y2=9，∴點M的軌跡方程是(x_3)2+y2=9.33416416軌跡方程是.11MBOB33③③邊形OAPB，求點P的軌跡方程.解：設P(x,y)，AB的中點為M.∵OAPB是平行四邊形，∴M是OP的中點，∴點M的坐標為222222222類型九：圓的綜合應用1122