2-3函數的奇偶性與周期性基礎鞏固強化1.(文)下列各函數中，()是R上的偶函數()A．y＝x2－2x B．y＝2xC．y＝cos2x D．y＝eq\f(1,|x|－1)[答案]C[解析]A、B不是偶函數，D的定義域{x∈R|x≠±1}不是R，故選C.(理)(2012·洛陽示范高中聯考)下列函數中，既是偶函數又在(0，＋∞)單調遞增的函數是()A．y＝x3 B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|[答案]B[解析]y＝x3是奇函數，y＝－x2＋1與y＝2－|x|在(0，＋∞)上為減函數，故選B.2．已知g(x)是定義在R上的奇函數，且在(0，＋∞)內有1007個零點，則f(x)的零點共有()A．2014個 B．2015個C．1007個 D．1008個[答案]B[解析]∵奇函數的圖象關于原點對稱，g(x)在(0，＋∞)上與x軸有1007個交點，故在(－∞，0)上也有1007個交點，又f(0)＝0，∴共有零點2015個．3．(文)若奇函數f(x)(x∈R)滿足f(3)＝1，f(x＋3)＝f(x)＋f(3)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))等于()A．0B．1C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)[答案]C[解析]在f(x＋3)＝f(x)＋f(3)中取x＝－eq\f(3,2)得，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＋f(3)，∵f(x)是奇函數，且f(3)＝1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝eq\f(1,2).[點評]解答此類題目，一般先看給出的值和待求值之間可以通過條件式怎樣賦值才能產生聯系，賦值時同時兼顧奇偶性或周期性的運用．(理)(2011·蘭州診斷)已知f(x)是定義在R上的偶函數，并滿足f(x＋2)＝－eq\f(1,fx)，當1≤x≤2時，f(x)＝x－2，則f(6.5)＝()A．4.5 B．－4.5C．0.5 D．－0.5[答案]D[解析]∵f(x＋2)＝－eq\f(1,fx)，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－eq\f(1,fx＋2)＝f(x)，∴f(x)周期為4，∴f(6.5)＝f(6.5－8)＝f(－1.5)＝f(1.5)＝1.5－2＝－0.5.4．函數y＝log2eq\f(2－x,2＋x)的圖象()A．關于原點對稱B．關于直線y＝－x對稱C．關于y軸對稱D．關于直線y＝x對稱[答案]A[解析]首先由eq\f(2－x,2＋x)>0得，－2<x<2，其次令f(x)＝log2eq\f(2－x,2＋x)，則f(x)＋f(－x)＝log2eq\f(2－x,2＋x)＋log2eq\f(2＋x,2－x)＝log21＝0.故f(x)為奇函數，其圖象關于原點對稱，故選A.5．(文)奇函數f(x)在(0，＋∞)上為增函數，且f(1)＝0，則不等式eq\f(fx－f－x,x)<0的解集為()A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)[答案]D[解析]∵f(x)為奇函數，∴不等式eq\f(fx－f－x,x)<0化為xf(x)<0，∵f(x)在(0，＋∞)上為增函數，且f(1)＝0，∴當0<x<1時，f(x)<0，當x>1時，f(x)>0，又f(x)為奇函數，∴當－1<x<0時，f(x)>0，當x<－1時，f(x)<0.∴不等式xf(x)<0的解集為0<x<1或－1<x<0.(理)(2012·河南洛陽統考)設函數f(x)是定義在R上的奇函數，若當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝lgx，則滿足f(x)>0的x的取值范圍是()A．(－1,0) B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[答案]B[解析]∵函數f(x)是定義在R上的奇函數，且x∈(0，＋∞)時，f(x)＝lgx，∴當x∈(－∞，0)時，f(x)＝－lg(－x)，且f(0)＝0，∴f(x)>0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,lgx>0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,－lg－x>0，))解得x>1或－1<x<0.6．(2012·河南商丘模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數，它的最小正周期為T，則f(－eq\f(T,2))的值為()A．－eq\f(T,2) B．0C.eq\f(T,2) D．T[答案]B[解析]∵f(－eq\f(T,2))＝－f(eq\f(T,2))，且f(－eq\f(T,2))＝f(－eq\f(T,2)＋T)＝f(eq\f(T,2))，∴f(eq\f(T,2))＝0，∴f(－eq\f(T,2))＝0.7．已知函數y＝f(x)是偶函數，y＝g(x)是奇函數，它們的定義域都是[－π，π]，且它們在x∈[0，π]上的圖象如圖所示，則不等式eq\f(fx,gx)<0的解集是________．[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))[解析]依據偶函數的圖象關于y軸對稱，奇函數的圖象關于原點對稱，先補全f(x)、g(x)的圖象，∵eq\f(fx,gx)<0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx<0，,gx>0.))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx>0，,gx<0.))觀察兩函數的圖象，其中一個在x軸上方，一個在x軸下方的，即滿足要求，∴－eq\f(π,3)<x<0或eq\f(π,3)<x<π.8．(文)函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1x>0，,ax＝0，,x＋bx<0.))是奇函數，則a＋b＝________.[答案]1[解析]∵f(x)是奇函數，且x∈R，∴f(0)＝0，即a＝0.又f(－1)＝－f(1)，∴b－1＝－(1－1)＝0，即b＝1，因此a＋b＝1.(理)若函數f(x)＝eq\f(a－ex,1＋aex)(a為常數)在定義域上為奇函數，則實數a的值為________．[答案]1或－1[解析]f(－x)＝eq\f(a－e－x,1＋ae－x)＝eq\f(aex－1,ex＋a)f(x)＋f(－x)＝eq\f(a－exa＋ex＋1＋aexaex－1,1＋aexex＋a)＝eq\f(a2－e2x＋a2e2x－1,1＋aexex＋a)＝0恒成立，所以a＝1或－1.9．(2012·衡陽六校聯考)已知實數a≠0，函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋a，x<1，,－x－2a，x≥1，))若f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為________．[答案]－eq\f(3,4)[解析]由a≠0得1－a≠1＋a.當a>0時，1－a<1<1＋a，則f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1，由f(1－a)＝f(1＋a)得a＝－eq\f(3,2)<0，舍去；當a<0時，1－a>1>1＋a，則f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋1，由f(1－a)＝f(1＋a)得a＝－eq\f(3,4)<0.綜上所述，a＝－eq\f(3,4).10．(2012·揚州模擬)已知函數f(x)對任意x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0時，f(x)<0，f(1)＝－2.(1)求證：f(x)是奇函數；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．[解析](1)證明：令x＝y＝0，知f(0)＝0；再令y＝－x，則f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數．(2)解：對任意x1、x2∈[－3,3]，設x1<x2，則x2－x1>0，∴f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)<0，∴f(x)為減函數．而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f∴f(x)max＝f(－3)＝6，f(x)min＝f(3)＝－6.能力拓展提升11.(文)f(x)是定義在R上的奇函數且滿足f(x＋2)＝f(x)，當x∈(0,1)時，f(x)＝2x－1，則f(logeq\f(1,2)6)＝()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,6)D．6[答案]B[解析]∵logeq\f(1,2)6＝－log26<0，且f(x)為奇函數，∴f(logeq\f(1,2)6)＝－f(log26)．又∵f(x＋2)＝f(x)，∴f(log26)＝f(log26－2)＝f(log2eq\f(3,2))，而log2eq\f(3,2)∈(0,1)．∴f(log2eq\f(3,2))＝2log2eq\f(3,2)－1＝eq\f(3,2)－1＝eq\f(1,2).∴f(logeq\f(1,2)6)＝－eq\f(1,2).(理)(2012·吉林延吉市質檢)函數f(x)的定義域為R，且滿足f(x)是偶函數，f(x－1)是奇函數，若f(0.5)＝9，則f(8.5)等于()A．－9 B．9C．－3 D．0[答案]B[解析]∵f(x)是偶函數，∴f(－x)＝f(x)，∵f(x－1)是奇函數，∴f(－x－1)＝－f(x－1)，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，在此式中以x＋1代替x得f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期為4，∴f(8.5)＝f(0.5)＝9.[點評]令F(x)＝f(x－1)，∵F(x)為奇函數，∴F(－x)＝－F(x)，∴f(－x－1)＝－f(x－1)．12．(文)已知函數f(x)是R上的偶函數，g(x)是R上的奇函數，且g(x)＝f(x－1)，若g(1)＝2，則f(2014)的值為()A．2 B．0C．－2 D．±2[答案]C[解析]由已知：g(－x)＝f(－x－1)，又g(x)、f(x)分別為R上的奇、偶函數，∴－g(x)＝f(x＋1)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的周期T＝4，∴f(2014)＝f(2)＝g(－1)＝－g(1)＝－2，故選C.(理)已知函數f(x)滿足：f(1)＝2，f(x＋1)＝eq\f(1＋fx,1－fx)，則f(2015)等于()A．2B．－3C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)[答案]C[解析]由條件知，f(2)＝－3，f(3)＝－eq\f(1,2)，f(4)＝eq\f(1,3)，f(5)＝f(1)＝2，故f(x＋4)＝f(x)(x∈N*)．∴f(x)的周期為4，故f(2015)＝f(3)＝－eq\f(1,2).[點評]嚴格推證如下：f(x＋2)＝eq\f(1＋fx＋1,1－fx＋1)＝－eq\f(1,fx)，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝eq\f(1,－fx＋2)＝f(x)．即f(x)周期為4.故f(4k＋x)＝f(x)，(x∈N*，k∈N*)，13．(2012·合肥二模)已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－a2)>f(2a)，則實數a[答案](－3,1)[解析]依題意得，函數f(x)＝x2＋2x在[0，＋∞)上是增函數，又因為f(x)是R上的奇函數，所以函數f(x)是R上的增函數，要使f(3－a2)>f(2a)，只需3－a2>2a.由此解得－3<a<1，即實數14．(2012·福州質檢)已知集合M是滿足下列條件的函數f(x)的全體：(1)f(x)既不是奇函數也不是偶函數；(2)函數f(x)有零點．那么在函數①f(x)＝|x|－1，②f(x)＝2x－1，③f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2，x>0，,0，x＝0，,x＋2，x<0，))④f(x)＝x2－x－1＋lnx中，屬于M的有________．(寫出所有符合條件的函數序號)[答案]②④[解析]對于①，∵f(－x)＝|－x|－1＝|x|－1，∴f(x)＝|x|－1是偶函數，∴①不符合條件；易知f(x)＝2x－1既不是奇函數也不是偶函數，且有一個零點x＝0，∴②符合條件；對于③，令x>0，則－x<0，∴f(x)＝x－2，f(－x)＝－x＋2＝－(x－2)，即f(x)＝－f(－x)，又f(0)＝0，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2，x>0，,0，x＝0，,x＋2，x<0，))是奇函數，∴③不符合條件；對于④，函數f(x)＝x2－x－1＋lnx的定義域為(0，＋∞)，故它既不是奇函數也不是偶函數，∵f′(x)＝2x－1＋eq\f(1,x)＝eq\f(2x2－x＋1,x)＝eq\f(2x－\f(1,4)2＋\f(7,8),x)>0，∴函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，又f(1)＝1－1－1＋0＝－1<0，f(e)＝e2－e－1＋1＝e(e－1)>0，∴函數f(x)在(1，e)上存在零點，∴④符合條件．故應選擇②④.15．已知集合M是滿足下列性質的函數f(x)的全體：存在非零常數T，對任意x∈R，有f(x＋T)＝Tf(x)成立．(1)函數f(x)＝x是否屬于集合M？說明理由；(2)設f(x)∈M，且T＝2，已知當1<x<2時，f(x)＝x＋lnx，當－3<x<－2時，求f(x)的解析式．[解析](1)假設函數f(x)＝x屬于集合M，則存在非零常數T，對任意x∈R，有f(x＋T)＝Tf(x)成立，即x＋T＝Tx成立．令x＝0，得T＝0，與題目矛盾．故f(x)?M.(2)f(x)∈M，且T＝2，則對任意x∈R，有f(x＋2)＝2f(x設－3<x<－2，則1<x＋4<2.又f(x)＝eq\f(1,2)f(x＋2)＝eq\f(1,4)f(x＋4)，且當1<x<2時，f(x)＝x＋lnx，故當－3<x<－2時，f(x)＝eq\f(1,4)[x＋4＋ln(x＋4)]．16．(文)已知函數f(x)＝logaeq\f(1－mx,x－1)(a>0且a≠1)是奇函數．(1)求m的值；(2)判斷f(x)在區間(1，＋∞)上的單調性并加以證明；(3)當a>1，x∈(1，eq\r(3))時，f(x)的值域是(1，＋∞)，求a的值．[解析](1)∵f(x)是奇函數，x＝1不在f(x)的定義域內，∴x＝－1也不在函數定義域內，令1－m·(－1)＝0得m＝－1.(也可以由f(－x)＝－f(x)恒成立求m)(2)由(1)得f(x)＝logaeq\f(x＋1,x－1)(a>0且a≠1)，任取x1、x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，令t(x)＝eq\f(x＋1,x－1)，則t(x1)＝eq\f(x1＋1,x1－1)，t(x2)＝eq\f(x2＋1,x2－1)，∴t(x1)－t(x2)＝eq\f(x1＋1,x1－1)－eq\f(x2－1,x2－1)＝eq\f(2x2－x1,x1－1x2－1)，∵x1>1，x2>1，x1<x2，∴x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0.∴t(x1)>t(x2)，即eq\f(x1＋1,x1－1)>eq\f(x2＋1,x2－1)，∴當a>1時，logaeq\f(x1＋1,x1－1)>logaeq\f(x2＋1,x2－1)，即f(x1)>f(x2)；當0<a<1時，logaeq\f(x1＋1,x1－1)<logaeq\f(x2＋1,x2－1)，即f(x1)<f(x2)，∴當a>1時，f(x)在(1，＋∞)上是減函數，當0<a<1時，f(x)在(1，＋∞)上是增函數．(3)∵a>1，∴f(x)在(1，eq\r(3))上是減函數，∴當x∈(1，eq\r(3))時，f(x)>f(eq\r(3))＝loga(2＋eq\r(3))，由條件知，loga(2＋eq\r(3))＝1，∴a＝2＋eq\r(3).(理)已知函數f(x)＝－x2＋8x，g(x)＝6lnx＋m.(1)求f(x)在區間[t，t＋1]上的最大值h(t)；(2)是否存在實數m，使得y＝f(x)的圖象與y＝g(x)的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．[解析](1)f(x)＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，當t＋1<4，即t<3時，f(x)在[t，t＋1]上單調遞增，h(t)＝f(t＋1)＝－(t＋1)2＋8(t＋1)＝－t2＋6t＋7；當t≤4≤t＋1，即3≤t≤4時，h(t)＝f(4)＝16；當t>4時，f(x)在[t，t＋1]上單調遞減，h(t)＝f(t)＝－t2＋8t.綜上，h(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t2＋6t＋7，t<3，,163≤t≤4，,－t2＋8t，t>4.))(2)函數y＝f(x)的圖象與y＝g(x)的圖象有且只有三個不同的交點，即函數φ(x)＝g(x)－f(x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個不同的交點．∵φ(x)＝x2－8x＋6lnx＋m，∴φ′(x)＝2x－8＋eq\f(6,x)＝eq\f(2x2－8x＋6,x)＝eq\f(2x－1x－3,x)(x>0)．當x∈(0,1)時，φ′(x)>0，φ(x)是增函數；當x∈(1,3)時，φ′(x)<0，φ(x)是減函數；當x∈(3，＋∞)時，φ′(x)>0，φ(x)是增函數；當x＝1或x＝3時，φ′(x)＝0.∴φ(x)極大值＝φ(1)＝m－7，φ(x)極小值＝φ(3)＝m＋6ln3－15.∵當x充分接近0時，φ(x)<0；當x充分大時，φ(x)>0.∴要使φ(x)的圖象與x軸正半軸有三個不同的交點，必須且只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(φx極大值＝m－7>0，,φx極小值＝m＋6ln3－15<0.))即7<m<15－6ln3.所以存在實數m，使得函數y＝f(x)與y＝g(x)的圖象有且只有三個不同的交點，m的取值范圍為(7,15－6ln3)．1．下列函數中既是奇函數，又在區間[－1,1]上單調遞減的是()A．f(x)＝sinx B．f(x)＝－|x＋1|C．f(x)＝eq\f(1,2)(ax＋a－x) D．f(x)＝lneq\f(2－x,2＋x)[答案]D[解析]y＝sinx與y＝lneq\f(2－x,2＋x)為奇函數，而y＝eq\f(1,2)(ax＋a－x)為偶函數，y＝－|x＋1|是非奇非偶函數．y＝sinx在[－1,1]上為增函數．故選D.2．(2012·南昌二中月考)函數f(x)的定義域為R，若f(x＋1)與f(x－1)都是奇函數，則()A．f(x)是偶函數 B．f(x)是奇函數C．f(x)＝f(x＋2) D．f(x＋3)是奇函數[答案]D[解析]由于f(x＋1)是奇函數，則函數f(x)的對稱中心為(1,0)，∴f(1＋x)＝－f(1－x)，即f(x)＝－f(2－x)．又f(x－1)是奇函數，則函數f(x)的對稱中心為(－1,0)，∴f(－1＋x)＝－f(－x－1)，即f(x)＝－f(－2－x)，∴f(2－x)＝f(－2－x)，∴f(4－x)＝f(x)．可知4為函數f(x)的周期，則f(x＋3)是奇函數，故選D.3．已知f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的偶函數，且在(－∞，0]上是增函數，設a＝f(log47)，b＝f(logeq\f(1,2)3)，c＝f(0.20.6)，則a、b、c的大小關系是()A．c<b<a B．b<c<aC．b<a<c D．a<b<c[答案]C[解析]由題意知f(x)＝f(|x|)．∵log47＝log2eq\r(7)>1，|logeq\f(1,2)3|＝log23>log2eq\r(7)，0<0.20.6<0.20＝1，∴|logeq\f(1,2)3|>|log47|>|0.20.6|.又∵f(x)在(－∞，0]上是增函數，且f(x)為偶函數，∴f(x)在[0，＋∞)上是減函數．∴b<a<c.故選C.4．若f(x)是偶函數，且當x∈[0，＋∞]時，f(x)＝x－1，則不等式f(x－1)<0的解集是()A．{x|－1<x<0} B．{x|x<0或1<x<2}C．{x|0<x<2} D．{x|1<x<2}[答案]C[解析]∵f(x)為偶函數，x∈[0，＋∞)時，f(x)＝x－1，∴當x∈(－∞，0]時，f(x)＝f(－x)＝－x－1，∴f(x－1)<0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－1－1<0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1<0，,－x－1－1<0，))解之得0<x<2.5．若函數f(x)、g(x)分別是R上的奇函數、偶函數，且滿足f(x)－g(x)＝ex，則有()A．f(2)<f(3)<g(0) B．g(0)<f(3)<f(2)C．f(2)<g(0)<f(3) D．g(0)<f(2)<f(3)[答案]D[解析]由已知，f(－x)－g(－x)＝－f(x)－g(x)＝e－x，∴f(x)＋g(x)＝e－x，又f(x)－g(x)＝ex，故f(x)＝eq\f(ex－e－x,2)，g(x)＝－eq\f(ex＋e－x,2).∵f′(x)＝eq\f(ex＋e－x,2)>0，故f(x)單調遞增，∴f(3)>f(2)且f(2)＝eq\f(e2－e－2,2)>0>g(0)＝－1，故選D.6．給出下列三個等式：f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(x＋y)＝eq\f(fx＋fy,1－fxfy).下列函數中不滿足其中任何一個等式的是()A．f(x)＝3x B．f(x)＝sinxC．f(x)＝log2x D．f(x)＝tanx[答案]B[解析]選項A，滿足f(x＋y)＝f(x)f(y)；選項C滿足f(xy)＝f(x)＋f(y)；選項D，滿足f(x＋y)＝eq\f(fx＋fy,1－fxfy).7．(2012·東北三校聯考)若定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1,1]時，f(x)＝1－x2，函數g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx，x>0，,0，x＝0，,－\f(1,x)，x<0.))則函數h(x)＝f(x)－g(x)在區間[－5,5]內的零點的個數是()A．5B．7C．8D．10[答案]C[解析]依題意得，函數f(x)是以2為周期的函數，在同一直角坐標系內分別畫出函數y＝f(x)與函數y＝g(x)的圖象(如圖所示)，結合圖象得，當x∈[－5,5]時，它們的圖