2022-2023學年高三上數學期末模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知水平放置的△ABC是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B'O'=C'O'=1,A'O'=—,那么原△ABC

2

的面積是（）

3.某人用隨機模擬的方法估計無理數。的值，做法如下：首先在平面直角坐標系中，過點A（l,0）作x軸的垂線與曲線

^="相交于點3,過B作y軸的垂線與y軸相交于點C（如圖），然后向矩形。LBC內投入〃粒豆子，并統計出

這些豆子在曲線丁=/上方的有N粒（N<M）,則無理數e的估計值是（）

M-NM

D.—

N

4-若復數2=^在復平面內對應的點在第二象限，則實數。的取值范圍是，

A.(-U)B.C.0,+8)D.(0,+8)

(x-2)(x—e，)+3,(x2In2)

5.已知函數/(%)=,當xe[>〃,+c。)時,f(x)的取值范圍為(F,e+2],則實數m的

3-2x,(x<In2)

取值范圍是()

C.寧,1D.[In2,1]

A.B.(-oo,1J

6.過拋物線C的焦點且與c的對稱軸垂直的直線/與c交于A，B兩點，|AB|=4,尸為C的準線上的一點，則小鉆尸

的面積為()

A.1B.2C.4D.8

7.設i為虛數單位，z為復數，若且+i為實數加，則加=()

Z

A.-1B.0C.1D.2

2

8.已知雙曲線C:一一去=ip>0)的一條漸近線方程為y=2缶，G，尸2分別是雙曲線C的左、右焦點，點尸

在雙曲線C上，且附1=3,則|?閭=()

A.9B.5C.2或9D.1或5

9.若函數/(x)的圖象如圖所示，則/(x)的解析式可能是()

10.過拋物線y2=2px(〃>0)的焦點廠的直線與拋物線交于A、8兩點，且衣=2而，拋物線的準線/與x軸交

于C,A4CF的面積為80，貝111ABl=()

A.6B.9c.9V2D.672

11.已知集合A={x|x<a,aeR}5={x[2*<16},若AB,則實數”的取值范圍是()

A.0B.RC.(-oo,4]D.(-oo,4)

12.以下兩個圖表是2019年初的4個月我國四大城市的居民消費價格指數(上一年同月=100)變化圖表，則以下說

圖表一圖表二

(注：圖表一每個城市的條形圖從左到右依次是1、2、3、4月份；圖表二每個月份的條形圖從左到右四個城市依次是

北京、天津、上海、重慶)

A.3月份四個城市之間的居民消費價格指數與其它月份相比增長幅度較為平均

B.4月份僅有三個城市居民消費價格指數超過102

C.四個月的數據顯示北京市的居民消費價格指數增長幅度波動較小

D.僅有天津市從年初開始居民消費價格指數的增長呈上升趨勢

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

22

13.已知雙曲線［-4=1(。>0,6>0)的一條漸近線經過點(1,2),則該雙曲線的離心率為.

a"b~

14.已知a是第二象限角，且sina=(,tan(?+/?)=-2,則tan￡=.

15.如圖，在三棱錐P-ABC中，PC,平面ABC,AC1CB,已知AC=2,PB=2遍,則當24+AB最大時,

三棱錐P—ABC的體積為.

16.在中，2AB=3AC,4D是N84C的角平分線，設=則實數〃，的取值范圍是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面A5CD是直角梯形，AD//BC,AB1AD,AZ>=2AB=2BC=2,

△PCD是正三角形，PCVAC,E是Q4的中點.

(1)證明：AC±BEt

(2)求直線3P與平面8DE所成角的正弦值.

18.(12分)隨著現代社會的發展，我國對于環境保護越來越重視，企業的環保意識也越來越強.現某大型企業為此建

立了5套環境監測系統，并制定如下方案：每年企業的環境監測費用預算定為120()萬元，日常全天候開啟3套環境監

測系統，若至少有2套系統監測出排放超標，則立即檢查污染源處理系統；若有且另有1套系統監測出排放超標，則

立即同時啟動另外2套系統進行1小時的監測，且后啟動的這2套監測系統中只要有1套系統監測出排放超標，也立

即檢查污染源處理系統.設每個時間段(以1小時為計量單位)被每套系統監測出排放超標的概率均為“(0<〃<1),

且各個時間段每套系統監測出排放超標情況相互獨立.

(1)當〃=g時，求某個時間段需要檢查污染源處理系統的概率；

(2)若每套環境監測系統運行成本為300元/小時(不啟動則不產生運行費用)，除運行費用外，所有的環境監測系統

每年的維修和保養費用需要100萬元.現以此方案實施，問該企業的環境監測費用是否會超過預算(全年按9000小時計

算)？并說明理由.

19.(12分)已知函數/(x)=|2x-l|+|2x+l|,記不等式〃x)<4的解集為

(1)求M;

⑵設a,be",證明：附-同一忖+1>0.

20.(12分)為迎接2022年冬奧會,北京市組織中學生開展冰雪運動的培訓活動，并在培訓結束后對學生進行了考核.記

X表示學生的考核成績，并規定X285為考核優秀.為了了解本次培訓活動的效果，在參加培訓的學生中隨機抽取了

30名學生的考核成績，并作成如下莖葉圖：

(I)從參加培訓的學生中隨機選取1人，請根據圖中數據，估計這名學生考核優秀的概率；

(II)從圖中考核成績滿足Xe［80,89］的學生中任取2人，求至少有一人考核優秀的概率；

(IH)記尸3表示學生的考核成績在區間［a,句的概率，根據以往培訓數據，規定當常卜120.5時

培訓有效.請根據圖中數據，判斷此次中學生冰雪培訓活動是否有效，并說明理由.

21.(12分)在最新公布的湖南新高考方案中，“3+1+2”模式要求學生在語數外3門全國統考科目之外，在歷史和物

理2門科目中必選且只選1門，再從化學、生物、地理、政治4門科目中任選2門，后三科的高考成績按新的規則轉

換后計入高考總分.相應地，高校在招生時可對特定專業設置具體的選修科目要求.雙超中學高一年級有學生1200人，

現從中隨機抽取40人進行選科情況調查，用數字1~6分別依次代表歷史、物理、化學、生物、地理、政治6科，得到

如下的統計表：

序號選科情況序號選科情況序號選科情況序號選科情況

1134112362115631235

2235122342223532236

3235131452324533235

4145141352423534135

5156152362525635156

6245162362615636236

7256171562713437156

8235182362823538134

9235191452924639235

10236202353015640245

(1)雙超中學規定：每個選修班最多編排50人且盡量滿額編班，每位老師執教2個選修班(當且僅當一門科目的選

課班級總數為奇數時，允許這門科目的1位老師只教1個班).已知雙超中學高一年級現有化學、生物科目教師每科各

8人，用樣本估計總體，則化學、生物兩科的教師人數是否需要調整？如果需要調整，各需增加或減少多少人？

(2)請創建列聯表，運用獨立性檢驗的知識進行分析，探究是否有99%的把握判斷學生“選擇化學科目”與“選擇物理

科目”有關.

n(ad-be)一

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k]0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

(3)某高校A在其熱門人文專業8的招生簡章中明確要求，僅允許選修了歷史科目，且在政治和地理2門中至少選

修了1門的考生報名.現從雙超中學高一新生中隨機抽取3人，設具備A高校B專業報名資格的人數為X,用樣本的

頻率估計概率，求X的分布列與期望.

22.(10分)已知集合4={1,2,.??/},neN*,n>2,將4的所有子集任意排列，得到一個有序集合組

其中加=2".記集合MK中元素的個數為4，kwN：k<m,規定空集中元素的個數為0.

(1)當〃=2時，求ai+a?"1------的值；

(2)利用數學歸納法證明：不論〃(〃22)為何值，總存在有序集合組("1,加2,…,M,“)，滿足任意ieN*,iWm—l,

都有|q_4+J=l.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

先根據已知求出原△ABC的高為40=百，再求原AABC的面積.

【詳解】

由題圖可知原△ABC的高為AO=6,

SAABC——xBCxOA=—x2x^3=y/3，故答案為A

22

【點睛】

本題主要考查斜二測畫法的定義和三角形面積的計算，意在考察學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.

2、D

【解析】

討論x的取值范圍，然后對函數進行求導，利用導數的幾何意義即可判斷.

【詳解】

當天之0時，y=sinx+x,則,'=<：05%+120,

所以函數在［0,2可上單調遞增，

令g(x)=cosx+l,則g［x)=-sinx,

根據三角函數的性質，

當x?0,句時，g,(x)=-sinx<0,故切線的斜率變小，

當乃,2句時，g'(x)=-sinx>0,故切線的斜率變大，可排除A、B；

當尤<()時，y=-sinx+x,貝！|y'=-cosx+120,

所以函數在［-2肛0］上單調遞增，

令/z(x)=-cosx+l,〃'(x)=sinx,

當xw［-2肛一句時，〃'(x)=sinx>0,故切線的斜率變大，

當xe［-4,0］時，〃'(x)=sinx<0,故切線的斜率變小，可排除C,

故選：D

【點睛】

本題考查了識別函數的圖像，考查了導數與函數單調性的關系以及導數的幾何意義，屬于中檔題.

3、D

【解析】

利用定積分計算出矩形OABC中位于曲線y=e"上方區域的面積，進而利用幾何概型的概率公式得出關于e的等式，

解出e的表達式即可.

【詳解】

在函數y=，的解析式中，令x=l,可得N=e,則點3(1,e),直線8c的方程為y=6,

1

矩形OABC中位于曲線y=，上方區域的面積為S=*一爐加=(〃—/)「=1,

0

矩形Q4BC的面積為lxe=e,

N1M

由幾何概型的概率公式得不■=一，所以，e.

MeN

故選：D.

【點睛】

本題考查利用隨機模擬的思想估算e的值，考查了幾何概型概率公式的應用，同時也考查了利用定積分計算平面區域

的面積，考查計算能力，屬于中等題.

4,B

【解析】

復數2=0二=3=一"1"在復平面內對應的點在第二象限，可得關于a的不等式組，解得a的范圍.

【詳解】

a-ia—1o+1.

z--------=-----------------1,

1+z22

由其在復平面對應的點在第二象限，

故選：B.

【點睛】

本題考查了復數的運算法則、幾何意義、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

5、C

【解析】

求導分析函數在x21n2時的單調性、極值，可得x21n2時，/(x)滿足題意，再在x<ln2時，求解/(x)4e+2的

X的范圍，綜合可得結果.

【詳解】

當Mln2時，/'(x)=-(x-l)(^-2),

令尸(x)>0,則ln2<x<l；/'(x)<0,則％>1,

函數/(x)在(ln2,1)單調遞增，在(1,+o))單調遞減.

A函數/(力在x=1處取得極大值為/⑴=e+2,

；.xiln2時，/(x)的取值范圍為(，》,e+2],

**-ln2<m<l

又當x<ln2時，令/(x)=3-2xme+2,則xN寧，即寧Wx<ln2,

]—e

/?-----<"z<2

2

綜上所述，加的取值范圍為寧，1.

故選C.

【點睛】

本題考查了利用導數分析函數值域的方法，考查了分段函數的性質，屬于難題.

6、C

【解析】

設拋物線的解析式y2=2px(p>0),得焦點為對稱軸為x軸，準線為x=->|,這樣可設A點坐標為

(5,2),代入拋物線方程可求得“，而P到直線A3的距離為。，從而可求得三角形面積.

【詳解】

設拋物線的解析式y?=2px(p>0),

則焦點為尸對稱軸為x軸，準線為1=-彳，

???直線/經過拋物線的焦點，A,3是/與C的交點，

又AB'x軸，.?.可設A點坐標為[§,21，

I，7

代入丁=2內,解得〃=2,

又二?點P在準線上，設過點P的A3的垂線與AB交于點。，\DP\=^+--^=p=2,

???S3；|OP|.|A8|=；X2X4=4?

故應選C.

【點睛】

本題考查拋物線的性質，解題時只要設出拋物線的標準方程，就能得出A點坐標，從而求得參數，的值.本題難度一

般.

7、B

【解析】

\z\Q+(J+b~—b\i_______

可設z=a+4(aSeR),將□化簡，得到V),由復數為實數，可得77壽-匕=0,解方程即

zyla2+b2

可求解

【詳解】

2

設z=a+bi(a,beR),則目+j=協+〃+/=址+*的+.=a+^a+b--by.

za+bia2+b2\Ja2+b2

由題意有《儲+〃-b=Ona=O,所以加=0.

故選：B

【點睛】

本題考查復數的模長、除法運算，由復數的類型求解對應參數，屬于基礎題

8、B

【解析】

根據漸近線方程求得匕，再利用雙曲線定義即可求得

PF2.

【詳解】

由于2=2及，所以b=2桓,

a

又忸KH//1=2且|「用Nc-a=2,

故選：B.

【點睛】

本題考查由漸近線方程求雙曲線方程，涉及雙曲線的定義，屬基礎題.

9、A

【解析】

由函數性質，結合特殊值驗證，通過排除法求得結果.

【詳解】

1-V-2

對于選項B,/（x）=L_L為奇函數可判斷B錯誤；

X

Pr-X

對于選項C,當XV—1時，/（%）=--^<0,可判斷《錯誤；

對于選項D,/（X）=尊=,+與,可知函數在第一象限的圖象無增區間，故D錯誤；

XXX

故選:A.

【點睛】

本題考查已知函數的圖象判斷解析式問題，通過函數性質及特殊值利用排除法是解決本題的關鍵，難度一般.

10、B

【解析】

設點A（%,yJ、3（積%），并設直線的方程為％=叼+々，由/=2而得,=-2%，將直線AB的方程代

入韋達定理，求得M|,結合AACF的面積求得，的值，結合焦點弦長公式可求得|A@.

【詳解】

設點A（X1,y）、3（￡,必），并設直線AB的方程為％=/取+P,

P

.x=my-\——,

將直線AB的方程與拋物線方程聯立1-2,消去x得y2o-2p,〃y-p2=O,

丁=2px

2

由韋達定理得X+%=2〃〃z,y\y2=-p,

曰一%,一兇］,FB=^X2'Q涔=2FB，二一丁|=2%，，%=-2%，

；?=-2賢=-p?,可得回|=孝.，聞=2帆|=夜夕，

拋物線的準線/與x軸交于。［-

AACF的面積為gxpx正p=［p2=80,解得〃=4,則拋物線的方程為>2=8x,

所以'|A8|=%+/+P=+4=<+p=9。

2：oo

故選：B.

【點睛】

本題考查拋物線焦點弦長的計算，計算出拋物線的方程是解答的關鍵，考查計算能力，屬于中等題.

11、D

【解析】

先化簡3={x[2，<16}={x|x<4},再根據A={x[x<a,aeR},且A8求解.

【詳解】

因為8={x12*<16}={x|x<4},

又因為A={x|xwa,awR},且AB,

所以a<4.

故選：D

【點睛】

本題主要考查集合的基本運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.

12、D

【解析】

采用逐一驗證法，根據圖表，可得結果.

【詳解】

A正確，從圖表二可知，

3月份四個城市的居民消費價格指數相差不大

B正確，從圖表二可知，

4月份只有北京市居民消費價格指數低于102

C正確，從圖表一中可知，

只有北京市4個月的居民消費價格指數相差不大

D錯誤，從圖表一可知

上海市也是從年初開始居民消費價格指數的增長呈上升趨勢

故選：D

【點睛】

本題考查圖表的認識，審清題意，細心觀察，屬基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、垂)

【解析】

根據雙曲線方程，可得漸近線方程，結合題意可表示匕=2。，再由雙曲線a,b,c關系表示c=Ga，最后結合雙曲

線離心率公式計算得答案.

【詳解】

因為雙曲線為二-與=1(。>0,6>0),所以該雙曲線的漸近線方程為y^+-x.

a~h~a

又因為其一條漸近線經過點(1,2),即2=&,則》=2a,

a

由此可得c=Va2+b~=舊ane=￡=\[5.

a

故答案為：V5.

【點睛】

本題考查由雙曲線的漸近線構建方程表示系數關系進而求離心率，屬于基礎題.

3

14、——

4

【解析】

由a是第二象限角，且sina=(,可得tana,由tan(a+/7)=-2及兩角和的正切公式可得tan△的值.

【詳解】

解：由a是第二象限角，且sina=45,可得cosa=-2舊,tantz=——,

552

/-tana+tan0八1

由tan(a+4)=-2,可得■；--------------=-2,代入tana=一一,

')l—tanaxtan42

3

可得tan/3——9

4

3

故答案為：一二.

4

【點睛】

本題主要考查同角三角函數的基本關系及兩角和的正切公式，相對不難，注意運算的準確性.

15、4

【解析】

設BC=x，則PCMJPB?-BC?=，24-f，PA=A/PC2+AC2=>/28-x2.AB=A/4+X2?

PA+AB=V28-X2+V4+x2<^2［（28-X2）+（4+X2）］=8,當且僅當28-f=4+Y,即x=2jj時，等號成

立.

%-48c=gxgxACxBCxPC=gx；x2x26x26=4,

故答案為4

【解析】

設AB=3r,AC=It,ABAD=ACAD=a,由SMAD+SMA。=S△必—用面積公式表示面積可得到"?=gcosa,

利用即得解.

【詳解】

設AB=3r,AC=2r,Nft4D=NC4D=a,

由S^BND+S^CAD=S△班（7得：

--3f??sina+'?2f?2mt-sin?=—?3f-2r-sin2a,

222

化簡得〃2=（cosa,

由于a,

故機

故答案為：^0,—'j

【點睛】

本題考查了解三角形綜合，考查了學生轉化劃歸，綜合分析，數學運算能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)見證明；(2)巫

13

【解析】

(1)設尸是PO的中點，連接功、CF,先證明BCEE是平行四邊形，再證明AC_L平面PCD,即ACLBE

(2)以。為坐標原點，配的方向為x軸的正方向，建空間直角坐標系，分別計算各個點坐標，計算平面BDE法向

量，利用向量的夾角公式得到直線3P與平面BDE所成角的正弦值.

【詳解】

(1)證明：設E是PO的中點，連接EE、CF,

?.?6是24的中點，；.歷//4。，EF=-AD,

2

vAD//BC,AD=2BC,：.EF//BC,EF=BC,

BCRE是平行四邊形，.?.3E//C戶，

vAD//BC,AB±AD,：.ZABC=ZBAD=9G°,

-.AB=BC,ZCAD=45°,AC=血,

由余弦定理得CD。=AC2+AD2-2AC-AD-cosZCAZ)=2,

AC2+CD2^4^AD2,:.AC±CD,

???PD上AC,.

AC±BE；

(2)由(1)得ACJ_平面PCD,C￡)=夜，，平面ABC￡>_L平面PCD,

過點P作POLCD,垂足為。，.?.OP,平面ABC。，以。為坐標原點，祝的方向為工軸的正方向，建立如圖的

空間直角坐標系。一肛z,

則小,0用,D一與0,0,Ba,一日,0,E亨，—母，手

3&工拒n

---------x+——y=0

mBD=O2----2.

設沅=(x,y,z)是平面BDE的一個法向量，貝上

m-BE-03V276

---------x+——z=0n

44

令x=1,貝(b'.?.身=(1,3,6),

???直線5P與平面BDE所成角的正弦值為叵

13

【點睛】

本題考查了線面垂直，線線垂直，利用空間直角坐標系解決線面夾角問題，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.

25

18、(1)—；(2)不會超過預算，理由見解析

32

【解析】

(1)求出某個時間段在開啟3套系統就被確定需要檢查污染源處理系統的概率為

C；(g)2x；+C；(g)3=C；(g)3+C；g)3=g,某個時間段在需要開啟另外2套系統才能確定需要檢查污染源處理系

統的概率為Cj(1)3[l-(1)2]=,可得某個時間段需要檢查污染源處理系統的概率；

(2)設某個時間段環境監測系統的運行費用為X元，則X的可能取值為90(),1500.求得P(X=150())=

p(X=9()())=l—。；〃(1一〃)2,求得其分布列和期望E(X)=900+1800p(l—p)2,對其求導，研究函數的單調性,

可得期望的最大值，從而得出結論.

【詳解】

(1)???某個時間段在開啟3套系統就被確定需要檢查污染源處理系統的概率為

%)2X1+*)3=C拈)3+*)3=1,

某個時間段在需要開啟另外2套系統才能確定需要檢查污染源處理系統的概率為

C(1)3口-(!f]=盤某個時間段需要檢查污染源處理系統的概率為-+—=

223223232

(2)設某個時間段環境監測系統的運行費用為X元，則X的可能取值為900,1500.

???P(X=1500)=C；Ml-P)2,P(x=900)=1-C；p(l-p)2

/.E(X)=900X[1-c^(l-p)2]+1500XC\p(l-p)2=900+1800p(l-p)2

令g(P)=P(1-PA,pG(0,1)，則g'(p)=(1-p)2-2pQ_p)=(3p-i)(p-1)

當pe(0,；)時，g'(p)>0,g(p)在(0,；)上單調遞增；

當peg/)時，g'(p)<0,g(p)在上6,1)單調遞減，

14

，g(p)的最大值為g(§)=藥，

4

，實施此方案，最高費用為100+9000x(900+1800x—)x10-4=1150(萬元)，

27

v1150<1200,故不會超過預算.

【點睛】

本題考查獨立重復事件發生的概率、期望，及運用求導函數研究期望的最值，由根據期望值確定方案，此類題目解決

的關鍵在于將生活中的量轉化為數學中和量，屬于中檔題.

19、(1){x|-l<x<l}；(2)證明見解析

【解析】

(1)利用零點分段法將/(另表示為分段函數的形式，由此解不等式求得不等式的解集

(2)將不等式坐標因式分解，結合(1)的結論證得不等式成立.

【詳解】

-4元,x<--

2

(1)解：/(x)=<2,——<x<—,

4x,x>—

2

由/(x)<4,解得一

故M={x|—1<X<1}.

⑵證明：因為所以同<1,同<1,

所以附-(同+網)+1=侗一1)(內一1)>0,

所以附_同一回+1>0.

【點睛】

本小題主要考查絕對值不等式的解法，考查不等式的證明，屬于基礎題.

73

20、(I)一(n)—(皿)見解析

305

【解析】

（I）根據莖葉圖求出滿足條件的概率即可；

（n）結合圖表得到6人中有2個人考核為優，從而求出滿足條件的概率即可;

X—85

（ni）求出滿足一^-wi的成績有16個，求出滿足條件的概率即可.

【詳解】

解：（I）設這名學生考核優秀為事件A,

由莖葉圖中的數據可以知道，30名同學中，有7名同學考核優秀，

7

所以所求概率P（A）約為布

（H）設從圖中考核成績滿足Xe［80,89］的學生中任取2人，

至少有一人考核成績優秀為事件B,

因為表中成績在［80,89］的6人中有2個人考核為優，

所以基本事件空間。包含15個基本事件，事件3包含9個基本事件，

93

所以P（B）=x=g

（ni）根據表格中的數據，滿足一行二K1的成績有16個，

%—85史上>。.5

所以P<1

1073015

所以可以認為此次冰雪培訓活動有效.

【點睛】

本題考查了莖葉圖問題，考查概率求值以及轉化思想，是一道常規題.

21、（1）不需調整（2）列聯表見解析；有99%的把握判斷學生“選擇化學科目”與“選擇物理科目”有關（3）詳見解析

【解析】

（D可估計高一年級選修相應科目的人數分別為120,2,推理得對應開設選修班的數目分別為15,1.推理知生物科

目需要減少4名教師，化學科目不需要調整.（2）根據列聯表計算觀測值，根據臨界值表可得結論.（3）經統計，樣

12

本中選修了歷史科目且在政治和地理2門中至少選修了一門的人數為12