2022-2023學年高三上數學期末模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.在正方體AB。。-中，球。?同時與以A為公共頂點的三個面相切，球。2同時與以q為公共頂點的三個

面相切，且兩球相切于點F.若以尸為焦點，4用為準線的拋物線經過。，設球4,。的半徑分別為4，小則工=

r2

()

A.B.V3-V2C.1-—D.2-V3

22

2.為了加強“精準扶貧”，實現偉大復興的“中國夢”，某大學派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同學參加A、B、C三個貧

困縣的調研工作，每個縣至少去1人，且甲、乙兩人約定去同一個貧困縣，則不同的派遣方案共有()

A.24B.36C.48D.64

3.在聲學中，聲強級L(單位：dB)由公式乙=10值(備)給出，其中/為聲強(單位：W/n?)/=60dB,

L,=75dB,那么2=()

一A

4433

A.6B.1()-iC.--D.1()-i

4.偶函數.f(x)關于點(1,0)對稱，當—IWXWO時，/(x)=-x2+l,求“2020)=()

A.2B.0C.-1D.1

5.若復數z=匕"(/?cRz'為虛數單位)的實部與虛部相等，則〃的值為()

2+z

A.3B.±3C.-3D.±73

6.已知函數/(幻=卜'-1)若f(a)>f(b),則下列不等關系正確的是()

lnx,x>1

11LL

A?—~~7B?布〉孤

a+1。+1

C.a2<abD.In,?+1）>皿伊+i）

7.已知加，“表示兩條不同的直線，a,/?表示兩個不同的平面，且"2_1_。,〃<=尸,則“a_L/7”是“〃?〃〃”的（）條

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

8.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

5

D.

6

9.定義域為R的偶函數/(x)滿足任意xwR,有/(x+2)=/(x)—/⑴，且當xe[2,3]時，/(x)=-2x2+12x-18.

若函數y=/（無）-108“。+1）至少有三個零點，則。的取值范圍是（

10.設/(x)=JL點0(0,0),A((),l),4("，/(〃))，〃@N*，設NAQA“=e,，對一切〃GN*都有不等式

也色+匯員+?粵+……+獨=％<產一2,-2成立，則正整數，的最小值為（）

I22232n2

A.3B.4C.5D.6

11.《九章算術》勾股章有一“引葭赴岸”問題“今有餅池徑丈，葭生其中，出水兩尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，

葭各幾何？”，其意思是：有一個直徑為一丈的圓柱形水池，池中心生有一顆類似蘆葦的植物，露出水面兩尺，若把它

引向岸邊，正好與岸邊齊，問水有多深，該植物有多高？其中一丈等于十尺，如圖若從該葭上隨機取一點，則該點取

自水下的概率為（）

B,

ft

IVI

12132114

A.—B.—C.—D.—

13142915

12.已知數列｛二二）滿足二/=3,且二二+/=4二二+3（二e二）則數列｛二二｝的通項公式為（）

A.22--1+iB.21--1-1C.級二+1D.^--1

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.請列舉用0,1,2,3這4個數字所組成的無重復數字且比210大的所有三位奇數：.

14.在四棱錐P-ABCD中，Q46是邊長為2G的正三角形，ABCO為矩形，AD=2,PC=PO=岳.若四棱

錐ABC。的頂點均在球。的球面上，則球。的表面積為.

15.在（x+a）6的展開式中的/系數為160,則。=.

16.為了抗擊新型冠狀病毒肺炎，某醫藥公司研究出一種消毒劑，據實驗表明，該藥物釋放量乂，密/加3）與時間t（h）

kt,0<?<-

的函數關系為y=（］12（如圖所示），實驗表明，當藥物釋放量y<0.75（〃《/%3）對人體無害.（1）

t>-

kt,2

k=；（2）為了不使人身體受到藥物傷害，若使用該消毒劑對房間進行消毒，則在消毒后至少經過_____分鐘

人方可進入房間.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.（12分）已知橢圓C：1（a>6>0）的離心率為,右焦點為拋物線）2=4x的焦點

（1）求橢圓C的標準方程；

4

（2）。為坐標原點，過。作兩條射線，分別交橢圓于“、N兩點,若OM、ON斜率之積為-二，求證：△MON

的面積為定值.

18.（12分）為了響應國家號召，促進垃圾分類，某校組織了高三年級學生參與了“垃圾分類，從我做起”的知識問卷

作答隨機抽出男女各20名同學的問卷進行打分，作出如圖所示的莖葉圖，成績大于70分的為“合格”.

男女

6936799

951080156

9944273457778

885110607

4332525

（I）由以上數據繪制成2x2聯表，是否有95%以上的把握認為“性別”與“問卷結果”有關？

男女總計

合格

不合格

總計

（U）從上述樣本中，成績在6（）分以下（不含60分）的男女學生問卷中任意選2個，記來自男生的個數為X,求X

的分布列及數學期望.

附:

P（內認）0.1000.0500.0100.001

k。2.7063.8416.63510.828

K'———n=a+b+c+d

+b)(c4-d)(a+c)(h+d)

19.（12分）如圖，在正四棱柱ABC。-中，已知AB=1,BB[=2.

（1）求異面直線4。與直線A2所成的角的大小;

（2）求點C到平面A與。的距離.

20.(12分)已知函數/(x)=16-|2x-l|.

(1)解不等式/(x)<|x+2］；

(2)若函數丁=/(?-。存在零點，求”的求值范圍.

21.(12分)據《人民網》報道，美國國家航空航天局(NASA)發文稱，相比20年前世界變得更綠色了，衛星資料

顯示中國和印度的行動主導了地球變綠.據統計，中國新增綠化面積的42%來自于植樹造林，下表是中國十個地區在

去年植樹造林的相關數據.(造林總面積為人工造林、飛播造林、新封山育林、退化林修復、人工更新的面積之和)

單位：公頃

造林方式

造林總面

地區

新封山育退化林修

積

人工造林飛播造林人工更新

林復

內蒙61848431105274094136006903826950

河北5833613456253333313507656533643

河南14900297647134292241715376133

重慶2263331006006240063333

陜西297642184108336026386516067

甘肅325580260144574387998

新疆2639031181056264126647107962091

青海178414160511597342629

寧夏91531589602293882981335

北京1906410012400039991053

(1)請根據上述數據分別寫出在這十個地區中人工造林面積與造林總面積的比值最大和最小的地區；

(2)在這十個地區中，任選一個地區，求該地區新封山育林面積占造林總面積的比值超過50%的概率；

(3)在這十個地區中，從退化林修復面積超過一萬公頃的地區中，任選兩個地區，記X為這兩個地區中退化林修復

面積超過六萬公頃的地區的個數，求X的分布列及數學期望.

22.(10分)已知等差數列｛為｝的前"項和為S"，蠟=8q+l,公差d>0,5、S-九成等比數列，數列也,｝

滿足log?4=(a?-l)log2Vx.

(1)求數列｛%｝,｛<｝的通項公式;

1,、

(2)已知%=-----,求數列｛c“+2｝的前〃項和T?,

anan+\

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

由題先畫出立體圖，再畫出平面處的截面圖，由拋物線第一定義可知，點。2到點尸的距離即半徑外，也即

點。2到面的距離，點。2到直線的距離即點。2到面AB4A的距離因此球。2內切于正方體，設弓=1,

兩球球心和公切點都在體對角線AG上，通過幾何關系可轉化出彳，進而求解

【詳解】

根據拋物線的定義，點。2到點F的距離與到直線4瓦的距離相等，其中點O?到點尸的距離即半徑5，也即點。2到

面CORG的距離，點。2到直線AB1的距離即點Q到面AMA的距離，因此球。2內切于正方體，不妨設弓=1，兩

個球心Or和兩球的切點尸均在體對角線AG上，兩個球在平面處的截面如圖所示，則

O2F=r2=},AO2=學=招，所以4尸=4。2_02尸=6_1.又因為4尸=/10|+0|尸=6{+八，因此(6+1){=e_1,

得12-6,所以"=2-

故選：D

【點睛】

本題考查立體圖與平面圖的轉化，拋物線幾何性質的使用，內切球的性質，數形結合思想，轉化思想，直觀想象與數

學運算的核心素養

2、B

【解析】

根據題意，有兩種分配方案，一是3:1:1,二是2:2:1,然后各自全排列，再求和.

【詳解】

當按照3:1:1進行分配時，則有=18種不同的方案；

當按照2：2:1進行分配，則有C；6=18種不同的方案.

故共有36種不同的派遣方案，

故選：B.

【點睛】

本題考查排列組合、數學文化，還考查數學建模能力以及分類討論思想，屬于中檔題.

3、D

【解析】

由￡=10必（焉］得lg/=J12,分別算出乙和乙的值，從而得到《的值.

）10，2

【詳解】

L=10(lgI-IglO-'2)=10(lg/+12),

當A,=60時，1g4=4—12=竺—12=-6,人=10-6,

11010

當￡,=75時，1g/,=2—12="—12=-4.5,=1()45,

2101()

故選：D.

【點睛】

本小題主要考查對數運算，屬于基礎題.

4、D

【解析】

推導出函數y=/(x)是以4為周期的周期函數，由此可得出/(2020)=〃0),代值計算即可.

【詳解】

由于偶函數y=」(x)的圖象關于點(1,0)對稱,貝(I于(一%)=/(%),/(2+x)+/(-x)=0,

〃x+2)=-/(-x)=-/(%),則/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

所以，函數y=/(x)是以4為周期的周期函數，

由于當一IWXWO時，=+1,則4202())="4x505)="0)=1.

故選：D.

【點睛】

本題考查利用函數的對稱性和奇偶性求函數值，推導出函數的周期性是解答的關鍵，考查推理能力與計算能力，屬于

中等題.

5、C

【解析】

利用復數的除法，以及復數的基本概念求解即可.

【詳解】

z=U，bY2b+,又z的實部與虛部相等，

2+z5

."-2=?+1,解得b=—3.

故選:C

【點睛】

本題主要考查復數的除法運算，復數的概念運用.

6、B

【解析】

利用函數的單調性得到。力的大小關系，再利用不等式的性質，即可得答案.

【詳解】

???/(X)在R上單調遞增，且/(a)>/S),.'.a〉》.

力的符號無法判斷，故a?與/，/與"的大小不確定，

對A,當。=11=一1時，一一=-一,故A錯誤；

礦+1b+\

對C,當a=l1=-1時，a2=l,ab=-l,故C錯誤；

對D,當a=l,b=-l時，ln(a2+i)=ln(〃+l),故D錯誤；

對B,對a>6,則媯>⑸故3正確.

故選：B.

【點睛】

本題考查分段函數的單調性、不等式性質的運用，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算

求解能力，屬于基礎題.

7、B

【解析】

根據充分必要條件的概念進行判斷.

【詳解】

對于充分性：若aL0,則加,〃可以平行，相交，異面，故充分性不成立；

若m//則〃_La,〃u/?,可得a_L/7,必要性成立.

故選：B

【點睛】

本題主要考查空間中線線，線面，面面的位置關系，以及充要條件的判斷，考查學生綜合運用知識的能力.解決充要條

件判斷問題，關鍵是要弄清楚誰是條件，誰是結論.

8,A

【解析】

利用已知條件畫出幾何體的直觀圖，然后求解幾何體的體積.

【詳解】

幾何體的三視圖的直觀圖如圖所示，

則該幾何體的體積為：^xlxlx2=1.

33

故選：A.

【點睛】

本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關鍵.

9、B

【解析】

由題意可得Ax)的周期為2,當xe[2,3]時，/(》)=一2*2+12*一18,令800=1。8“(*+1),貝!)，。)的圖像和8(幻

的圖像至少有3個交點，畫出圖像，數形結合，根據g(2)>/(2),求得。的取值范圍.

【詳解】

/(%)是定義域為R的偶函數，滿足任意xeR,

f(x+2)=f(x)-f(1),令x=-1J(l)=/(-I)-/(I),

又/(-I)=/(D,.-./(l)=Q,f(x+2)=f(x),

???/(x)為周期為2的偶函數，

當xe[2,3]時，/(%)=-2x2+12x-18=-2(x—3)2,

當xe[0,1],x+2e[2,3]J(x)=f(x+2)=-2(x-I)2,

當xw|-l,0],_xe[O,l]J(x)=/(-x)=-2(x+l)2,

作出/(x),g(x)圖像，如下圖所示：

函數y=/(x)-log?(x+l)至少有三個零點，

則/(x)的圖像和g(x)的圖像至少有3個交點，

-.■/(x)<0,若心1,

/(幻的圖像和g(x)的圖像只有1個交點，不合題意，

所以0<。<1,/(幻的圖像和g(x)的圖像至少有3個交點，

則有g(2)>/(2),即log?(2+1)>/(2)=-2,log“3>-2,

1a21八1.c,6

a233

故選:B.

【點睛】

本題考查函數周期性及其應用，解題過程中用到了數形結合方法，這也是高考常考的熱點問題，屬于中檔題.

10、A

【解析】

先求得半%=，_=]___1_,再求得左邊的范圍，只需『一2t一2NI，利用單調性解得t的范圍.

〃nn+1

【詳解】

n.sin2^_1_11

由題意知sin9〃-??------———----------------------

\/n2n~n~+nnn+1

.sin2asin源sin2asin?。,，,1111111,1.一H.工

----T-L+—T-2-+—....+—7-i=1一一+-----+-----+...+--------=1------,隨n的1Vl增大而增大,

I22232n222334nn+1n+1

Ar2-2r-2>l?即*-2/-120,又f(t)=r-2f—l在t21上單增，f(2)=-l<0,f(3)=2>0,

???正整數/的最小值為3.

【點睛】

本題考查了數列的通項及求和問題，考查了數列的單調性及不等式的解法，考查了轉化思想，屬于中檔題.

11、C

【解析】

由題意知：BC=2,B'C=5,設AC=x,則AB=AB'=x+2,在RtAACB'中，列勾股方程可解得工，然后由

Y

p=——得出答案.

x+2

【詳解】

解：由題意知：BC=2,B'C=5,設AC=x,則AB=A8'=x+2

在RjACB'中，列勾股方程得：52+X2=(%+2)\解得X=1

21

Y~T21

所以從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為P=--=-^―=—

x+221+229

4

故選C.

【點睛】

本題考查了幾何概型中的長度型，屬于基礎題.

12、D

【解析】

試題分析：因為二二+/=4二二+3,所以二二+?+，=4(二二+7),即與告=4,所以數列｛二二+」｝是以二,，+1=4為首項,

公比為4的等比數列，所以二二+/=4X4--1=4~=?=,即二二=T--1,所以數列｛二二｝的通項公式是二二=廣-i,

故選D.

考點：數列的通項公式.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、231,321,301,1

【解析】

分個位數字是1、3兩種情況討論，即得解

【詳解】

0,1,2,3這4個數字所組成的無重復數字比210大的所有三位奇數有：

(1)當個位數字是1時，數字可以是231,321,301；

(2)當個位數字是3時數字可以是1.

故答案為：231,321,301,1

【點睛】

本題考查了分類計數法的應用，考查了學生分類討論，數學運算的能力，屬于基礎題.

14、28乃

【解析】

做A0中點F，8C的中點G,連接PF,PG,FG,由已知條件可求出Pf=3,PG=/§，運用余弦定理可求

ZPFG=120,從而在平面PPG中建立坐標系，則P,尸,G以及AEW的外接圓圓心為。?和長方形43。的外接

圓圓心為。2在該平面坐標系的坐標可求，通過球心。滿足OQ_LPF,。。？即可求出。的坐標，從而可求球

的半徑，進而能求出球的表面積.

【詳解】

解：如圖做AO中點尸，8c的中點G,連接PF,PG,FG,由題意知

PF±AD,PG±BC,則PE=2百xsin60=3,PG=122-3=V19

2

設^PAD的外接圓圓心為。|,則。1在直線PF上且PO】=3PF

設長方形ABCD的外接圓圓心為02,則Q在FG上且FO2=GO2.設外接球的球心為。

32+72-191

在APFG中，由余弦定理可知cosNPFG=^-------------=——,ZPFG=120%

2x3x22

在平面尸尸G中，以尸為坐標原點，以FG所在直線為x軸，以過尸點垂直于x軸的直

線為y軸，如圖建立坐標系，由題意知，。在平面PFG中且OQ

G373

設0(l,y),則。［界竽y---------------

,因為。O|_LPF,所以:一2_=-|-

1+—

22

故答案為：284.

本題考查了幾何體外接球的問題，考查了球的表面積.關于幾何體的外接球的做題思路有：一是通過將幾何體補充到長

方體中，將幾何體的外接球等同于長方體的外接球，求出體對角線即為直徑，但這種方法適用性較差；二是通過球的

球心與各面外接圓圓心的連線與該平面垂直，設半徑列方程求解；三是通過空間、平面坐標系進行求解.

15、2

【解析】

首先求出(x+。)6的展開項中X3的系數，然后根據V系數為160即可求出a的取值.

【詳解】

由題知(+1=。>6-，優，

當r=3時有7；=C>3/=160/=c；/=160,

解得a=2.

故答案為：2.

【點睛】

本題主要考查了二項式展開項的系數，屬于簡單題.

16、240

【解析】

(1)由，=1時，y=l,即可得出攵的值；

2

2

(2)解不等式組”,即可得出答案.

—<0.75

12/

【詳解】

1-!_=1-±,Z-=7

(1)由圖可知，當/=—時，y=l,即，1一K—Z

2KX—

2

[/>1

?2

(2)由題意可得?,解得，>—

1<0.753

[2t

2

則為了不使人身體受到藥物傷害，若使用該消毒劑對房間進行消毒，則在消毒后至少經過一x60=40分鐘人方可進入

3

房間.

故答案為：(1)2；(2)40

【點睛】

本題主要考查了分段函數的應用，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17、(1)工+匕=1；(2)見解析

54

【解析】

(1)由條件可得c=I,再根據離心率可求得。力，則可得橢圓方程；

(2)當MN與x軸垂直時，設直線MN的方程為：*=?-石＜/＜石,/70),與橢圓聯立求得M,N的坐標，通

過OM、ON斜率之積為-1■列方程可得/的值，進而可得△MON的面積；當MN與x軸不垂直時，設M(x，y),

N(&,%),MN的方程為丫=履+相，與橢圓方程聯立，利用韋達定理和。例、ON斜率之積為-1■可得

再利用弦長公式求出MN,以及。到的距離，通過三角形的面積公式求解

(1)拋物線產二以的焦點為尸(1,0),

C=1,

亞cV5

?/e=-，—=—，

5a5

.\a=59b=29

22

橢圓方程為工+匕=1;

54

(2)(i)當MN與x軸垂直時，設直線MN的方程為：x=f(-W<f<6,f工0)

代入^~+?=1得:M>N

,

tt5r

45-/_4

..?c—，

5t25

,5

解得：t2=~,

2

S&MON=；,1小=75；

(ii)當MN與x軸不垂直時，設N(X2,J2),MN的方程為＞="+〃7

y=kx+m

由’fy2=>（4+5左2）/+10^?u+5/n2-20=0,

—+—=1

54

由AAOnSr+d〉加2①

IQkm5m2-20

…=一鼠加‘玉"2=下記

4

^OM'^ON

5

5yly2+4中2=。

%x25

即（5公+4）%?%+5/成（％+9）+5m2=0

W-20\Gkm]

(5女2+4卜+5mk--+5/?2=0

4+5/4+5二）

整理得：2>=5爐+4

代入①得：m^O

\MN\=，1+心

=J]+y.

4+5公

Im

0到MN的距離d=-11

yjl+k2

2y/5|/H|\!5k2+4-M

-4+5公

25/5|m|V2m2-m2

2m2

綜上：2巾咖=6為定值?

【點睛】

本題考查橢圓方程的求解，考查直線和橢圓的位置關系，考查韋達定理的應用，考查了學生的計算能力，是中檔題.

4

18、（I）填表見解析，有95%以上的把握認為“性別”與“問卷結果”有關；（D）分布列見解析，一

3

【解析】

（I）根據莖葉圖填寫列聯表，計算長2=郎~3.956〉3.841得到答案.

1Q7

（II）X=0,1,2,計算P（x=o）={,P（X=1）=],P（X=2）=（,得到分布列，再計算數學期望得到答案.

【詳解】

（I）根據莖葉圖可得：

男女總計

合格101626

不合格10414

總計202040

^=40(10X4-10X16)-=360%3956>3841>

26x14x20x2091

故有95%以上的把握認為“性別”與“問卷結果””有關.

（口）從莖葉圖可知，成績在60分以下（不含60分）的男女學生人數分別是4人和2人，從中任意選2人，基本事

件總數為C；=15,X=0,1,2

…年噂…P(X=2)==—=2,

15155

X012

182

P

?515

…、0xl+lx8+2x64

七(X)——?

153

【點睛】

本題考查了獨立性檢驗，分布列，數學期望，意在考查學生的綜合應用能力.

730.

19、(1)arccos

lo";(2)?

【解析】

(1)建立空間坐標系,通過求向量束與向量隔的夾角，轉化為異面直線AC與直線A。所成的角的大?。?2)

先求出面AAA的一個法向量，再用點到面的距離公式算出即可.

【詳解】

以A為原點，44，44A所在直線分別為X,XZ軸建系，

設A(0,0,0),C(l,1,2),A(0,0,2),￡),(0,1,0)

所以而=(1,1,2),葩'=(0,1,-2)

cos<ACAD>-40叫-lxl+2x(-2)V30

lo-

所以異面直線4c與直線AQ所成的角的余弦值為嚕,異面直線4c與直線所成的角的大小為arccos零.

(2)因為皿=(0,1,-2),^=(-1,1,0),設，?=(x,y,z)是面A4A的一個法向量,

n?AD]-0y-2z=01一1

所以有_L即,令x=ly=l,z=-,故〃=(l/w),

而?BQ=0-X+y=0

lxl+2x1

4

又麻二(M),2),所以點C到平面AqR的距離為

3

【點睛】

本題主要考查向量法求異面直線所成角的大小和點到面的距離，意在考查學生的數學建模以及數學運算能力.

17,

20、(1){x|x4—或5}；(2)“<16.

【解析】

(1)通過討論x的范圍，將絕對值符號去掉，轉化為求不等式組的解集，之后取并集，得到原不等式的解集;

(2)將函數零點問題轉化為曲線交點問題解決，數形結合得到結果.

【詳解】

(1)有題不等式可化為|X+2|+|2X-1|216,

當xW—2時，原不等式可化為一x—2—2x+1216,解得——；

3

當—2<x4一時，原不等式可化為x+2—2x+lN16,解得13,不滿足，舍去；

2

當%>,時，原不等式可化為x+2+2x—1216,解得工三5,

2

所以不等式的解集為卜|x4或x251.

17—2.x,x2—

(2)因為/(x)=

15+2x,x<一