專題1.24特殊平行四邊形折疊專題（基礎(chǔ)篇）

（專項練習）

一、單選題

【知識點一】菱形折疊問題

1.如圖，將長方形紙片折疊，使A點落8C上的尸處，折痕為BE,若沿E尸剪下，則

折疊部分是一個正方形，其數(shù)學原理是（）

，/

A.鄰邊相等的矩形是正方形

B.對角線相等的菱形是正方形

C.兩個全等的直角三角形構(gòu)成正方形

D.軸對稱圖形是正方形

2.如圖，將矩形紙片A8C。按如圖所示的方式折疊，得到菱形AECF,若AB=6,則

BC的長為（）

A.2B.2&C.4D.2g

3.如圖，把菱形45co沿A”折疊，使8點落在BC上的E點處，若NB=70。，貝ijNEOC

的大小為（).

A.15°B.20°C.30°D.25°

4.如圖，在菱形紙片ABC。中，NA=60°,點E是邊3c上的一點，將紙片沿OE折疊,

點C落在C'處，DC'恰好經(jīng)過的中點P,則/DEC的度數(shù)是（）

【知識點二】矩形將折疊問題

5.如圖，將矩形ABC。沿對角線8。折疊，點C落在點E處,BE交AD于點F,已知

ZBDC=62°,則/OFE的度數(shù)為（）

C.62°D.56°

6.如圖，在矩形紙片48CQ中，AB=12,BC=5,點E在43上，將△D4E沿OE折疊,

使點A落在對角線80上的點4處，則AE的長為（）

C.3D.4

7.如圖，把矩形O4BC放入平面直角坐標系中，點8的坐標為（10,8）,點。是OC

上一點，將△88沿8。折疊，點C恰好落在OA上的點E處，則點。的坐標是（)

A.(0,4)B.(0,5)

C.(0,3)D.(0,2)

8.如圖，將矩形ABC。沿EF折疊，使點8落在邊AO上的點M處，點C落在點N處,

已知NDMN=30。，連接BM,則NAMB的度數(shù)為（）

C.80°D.85°

【知識點三】正方形折疊問題

9.如圖，將正方形紙片ABCQ折疊，使頂點B落在邊AO上的點E處，折痕交AB于

點F,交CO于點G.若A￡=l,ZAFE=3QP,則AB的長為（）

A.2B.1+GC.26D.2+V3

10.如圖，AC是正方形ABC。的對角線，E是BC上的點，BE=\,將ZVIBE沿AE折

疊，使點8落在AC上點尸處，則AB的長為（）

C.1+72D.1+5/3

11.把一個面積為4的正方形,通過沿虛線折疊得到一個新正方形，它的邊長是（)

A.2B.也C.1D.1.414

12.將一張正方形紙片ABC。按如圖所示的方式折疊，CE、CF為折痕，點8、。折疊

后的對應(yīng)點分別為B'、D',若/ECF=21。，則/EC。的度數(shù)為（）

A.35°B.42°C.45°D.48°

二、填空題

【知識點一】菱形折疊問題

13.如圖，在菱形紙片A8C￡＞中，乙4=60°,折疊菱形紙片A8CO,使點C落在OP（P

為AB的中點）所在的直線上，得到經(jīng)過點。的折痕DE,則/DEC的度數(shù)為.

14.如圖，在菱形48co中，E是AO上一點，沿8E折疊/XABE,點A恰好落在8。上

的點尸處，連接CF,若NQFC=110。，則NA=.

15.將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，恰好得到菱形AECF.若AB=3,則

菱形AECF的面積為

16.如圖，將平行四邊形進行折疊，折疊后恰好經(jīng)過點C得到AD,若

NBAC=90°,DE=5,CE=4,貝lj線段AC的長度為

【知識點二】矩形將折疊問題

17.如圖所示，把一張矩形紙片按如圖所示方法進行兩次折疊，得到等腰放△ABC,若

SAABC=2,則SAC￡>=_.

18.如圖，將矩形紙片ABC。折疊（AOAB）,使AB落在AO上，AE為折痕，然后將

矩形紙片展開鋪在一個平面上，E點不動，將BE邊折起，使點8落在AE上的點G處，連

接。E,若DE=EF,CE=1,貝IJA￡>=.

19.如圖，在矩形ABC。中，A8=4,3c=6,點E是3c的中點，點F在AD上運動，

沿直線環(huán)折疊四邊形CCFE,得到四邊形GHFE,其中點C落在點G處，連接4G,AH,

則AG的最小值是_.

H

20.矩形ABC。中，AB=5,AD=3,P為CD上一點、,將△AOP沿AP所在的直線折疊,

得到AAEP,當8、E、P三點共線時，tanND4P=

【知識點三】正方形折疊問題

21.如圖，小明將一張正方形紙片對折，使得AB與CZ）重合，折痕為￡尸，展開后再沿

8H折疊，使得點C剛好落在折痕E尸上的。處，若C”=lcm,則8C=_____cm.

22.如圖.將正方形紙片ABCC折疊，使邊AB、CB均落在對角線8。上，得折痕BE、

BF,則/E8F的大小為

23.如圖，在一次綜合實踐活動中，小明將一張邊長為10cm的正方形紙片ABCO

,沿著2C邊上一點E與點A的連線折疊,點*是點B的對應(yīng)點，延長EB'交OC于點G，

24.如圖，先將正方形紙片對折，折痕為MN,再把B點折疊在折痕MN上，折痕為AE,

點B在上的對應(yīng)點為H,則/m3c的度數(shù)為.

三、解答題

25.如果我們身旁沒有量角器或三角尺，又需要作60。，30。，15。等大小的角，該怎么

辦呢？

小西進行了以下操作研究（如圖1）：

CB

第1步：對折矩形紙片ABCD,使AO與8c重合，得到折痕EE把紙片展平.

第2步：再次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點B,得到折痕同時

得到了線段BN.

小雅在小西研究的基礎(chǔ)上，再次動手操作（如圖2）：

將MN延長交8C于點G,將A8MG沿MG折疊，點B剛好落在A力邊上點H處，連接

GH,把紙片再次展平.

請根據(jù)小西和小雅的探究，完成下列問題:

①直接寫出BE和BN的數(shù)量關(guān)系：；

②根據(jù)定理：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對

的銳角是30。，請求出NA8M的度數(shù)；

③求證：四邊形3GHM是菱形.

26.如圖所示，在矩形ABCO中，AB=5,AO=8,點E,尸分別是邊AO,8c上的動點,

且AE=CF,連接EF,將矩形ABCO沿EF折疊，使點C落在點G處，點。落在點，處，

若EH與CB的延長線交于點P.

(1)求證：PH=PB；

(2)若NPEAM5。，求AE的長度.

AED

PBFC

G

27.【教材呈現(xiàn)】人教八年級下冊數(shù)學教材第59頁的部分內(nèi)容.

圖1圖2

如圖1,把一張矩形紙片按如圖那樣折一下，就可以裁出正方形紙片，為什么？

(1)【問題解決】如圖1,已知矩形紙片ABCQ(AO>AB),將矩形紙片沿過點A的直線折

疊，使點3落在邊上，點8的對應(yīng)點為凡折痕為AE,點E在上.

求證：四邊形48EF是正方形.(請完成以下填空)

證明：；四邊形ABCD是矩形，.?./84。=/8=90。，

:折疊，NAFE=NB=9Q°,

，四邊形ABEF是矩形()

*??折疊，),

；?四邊形ABE尸是正方形()

(2)【問題拓展】如圖2,已知平行四邊形紙片ABC￡>(4￡?AB),將平行四邊形紙片沿過

點A的直線折疊，使點8落在邊4力上，點3的對應(yīng)點為尸，折痕為AE,點E在邊8c上.

①求證：四邊形ABE廠是菱形.

②連結(jié)BF,若AE=5,BF=10,求菱形ABEF的面積.

28.如圖，E、尸分別是正方形48CO邊AB、A3的中點，將AABF沿B尸折疊，點A

落在點。處，連接尸。并延長，交0c于G點.

(1)求證：CE=BF；

(2)若AB=4,求GF的值.

參考答案

1.A

【分析】

將長方形紙片折疊，使A點落BC上的F處，可得至折痕為8E,沿EF剪下，

故四邊形ABFE為矩形，且有一組鄰邊相等，故四邊形A8FE為正方形.

解：???將長方形紙片折疊，4落在BC上的尸處，

；.BA=BF,

:折痕為BE,沿EF剪下，

.?.四邊形48正為矩形，

二四邊形48EF為正方形.

故用的判定定理是；鄰邊相等的矩形是正方形.

故選：A.

【點撥】本題考查了正方形的判定定理，關(guān)鍵是根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形和翻折變

換解答.

2.D

【分析】

根據(jù)菱形及矩形的性質(zhì)可得到/A4c的度數(shù)，從而根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得3c的長.

解：???四邊形4ECF為菱形，

AZFCO^ZECO,EC=AE,

由折疊的性質(zhì)可知，ZECO=ZBCE,

又ZFCO+ZECO+ZBCE=90°,

：.ZFCO=ZECO-ZBCE=30°,

在/?/△EBC中，EC=2EB,

又,：EC=AE,AB=AE+EB=6,

：.EB=2,EC=4,

RSBCE中，BC=ylEC2-EB2=2y/3，

故選：D.

【點撥】

本題主要考查r菱形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)折疊以及菱形的性

質(zhì)發(fā)現(xiàn)特殊角，根據(jù)30。的直角三角形中各邊之間的關(guān)系求得8c的長.

3.A

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)，已知菱形的對角相等，故推出NWC=ZB=70。，從而得出

ZAED=ZADE.又因為故NQ4E=NAE8,ZADE=ZAED,易得解.

解：根據(jù)菱形的對角相等得加心=々=70。.

-.-AD^AB=AE,

:.ZAED=ZADE.

根據(jù)折疊得ZAEB=N8=70°.

vAD//BC,

:.ZDAE=ZAEB=70°,

ZADE=ZAED=(180°-ND4E)+2=55。.

.-.ZEDC=70°-55°=15°.

故選：A.

【點撥】此題要熟練運用菱形的性質(zhì)得到有關(guān)角和邊之間的關(guān)系.在計算的過程中，綜

合運用了等邊對等角、三角形的內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì).注意：折疊的過程中，重合

的邊和重合的角相等.

4.A

【分析】

連接BD,由菱形的性質(zhì)及NA=60。，得到三角形ABD為等邊三角形，P為AB的中

點，利用三線合一得到DP為角平分線，得到NADP=30。，NADC=120。，ZC=60°,進

而求出/PDC=90。，由折疊的性質(zhì)得到NCDE=NPDE=45。，利用三角形的內(nèi)角和定理即

可求出所求角的度數(shù).

解：連接BD,

?.?四邊形ABCD為菱形，ZA=60°,

.'.△ABD為等邊三角形，ZADC=120°,ZC=60°,

為AB的中點，

...DP為NADB的平分線，即NADP=NBDP=30。，

.?./PDC=90。，

/?由折疊的性質(zhì)得到/CDE=NPDE=45。，

在△DEC中，ZDEC=180°-(ZCDE+ZC)=180°-(45°+60°)=75°.

故選：A.

【點撥】本題考查了折疊問題，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及內(nèi)角和定理，熟

練掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

5.D

【分析】

先利用互余計算出/尸。8=28。，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得NCBr>=NFCB=28。，接著根據(jù)

折疊的性質(zhì)得NFBD=ZC8/A28。，然后利用三角形外角性質(zhì)計算/DFE的度數(shù).

解：：四邊形ABCD為矩形，

AAD//BC,ZADC=90°,

Q?BDC62?,

ZFDB=90°-ZBDC=90°-62°=28°,

；AD//BC,

：.ZCBD=ZFDB=2S0,

?..矩形ABCD沿對角線BD折疊，

二ZFBD=ZCBD=2S°,

：.ZDFE=ZFBD+ZFDB=280+28°=56O.

故選：D.

【點撥】

本題考查了平行線的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟練的

利用軸對稱的性質(zhì)得到相等的角是解本題的關(guān)鍵.

6.A

【分析】

首先利用勾股定理計算出8。的長，再根據(jù)折疊可得AZ）=AZ>=5,進而得到43的長，

再設(shè)AE=x,則A'￡=x,BE=12-x,再在用△中利用勾股定理可得方程：（12-x）2=3+82,

解出x的值，可得答案.

解：'：AB=]2,BC=5,

：.AD=5,

???80=必丁=13，

根據(jù)折疊可得：AD—A,1）=:5,

.?.48=13-5=8,

設(shè)AE=x,貝（JA'E-x,BE=12-x,

在中：（12-%）2=^+82,

解得：kg.

故選：A.

【點撥】此題主要考查了圖形的翻折變換，關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變

換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.

7.C

【分析】

由題意可得AO8c=10,48=OC=8,DE=CD,BE=BC=IO,在R/&WE中，由勾股定

理可求得4E=6,OE=4,設(shè)O0=x,則。E=CD=8-x,然后在中，由勾股定理即可

求得0￡>=3,繼而求得點D的坐標.

解：..?點8的坐標為（10,8）,

：.AO=BC=\0,A8=OC=8,

由折疊的性質(zhì)，可得：DE=CD,BE=BC=\0,

在孜△A8E中，由勾股定理得：AE=ylBE2-AB2=710^=6?

，OE=AO-AE=10-6=4,

設(shè)OD=x,則。E=C7)=8-x,

在RfAODE中,由勾股定理得：OD2+OE2=DE2,

222

即:X+4=（8-X）,

解得：x=3,

：.0D^3,

???點。的坐標是（0,3）.

故選：C.

【點撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

8.B

【分析】

由四邊形A8CO是矩形，得/A=/ABC=90。，根據(jù)矩形A8C。沿E尸折疊，使點8落在

邊4。上的點何處，點C落在點N處，得NMWE=NA8C=90。，ME=BE,而NOMN=30。，

即知/AME=60°,ZAEM=30°,即/EMB+NEBM=30°,可得NEMB=NEBM=15°,故

ZAMB=ZAME+ZEMB=15°.

解：???四邊形48co是矩形，

,N4=NA8C=90。，

?..矩形ABC。沿EF折疊，使點B落在邊A￡＞匕的點M處，點C落在點N處，

NNME=NABC=90。,ME=BE,

'：ZDMN=30°,

：.NAME=18O0-NNME-NDMN=60°,

：.ZAEM=900-ZAME=30°,

：.ZEMB+ZEBM=30°,

〈ME=BE,

:"NEMB=NEBM=15°,

：.NAMB=NAME+NEMB=75°,

故選：B.

【點撥】本題考查了矩形中的折疊問題，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)：折疊前后能夠

重合的線段相等、能夠重合的角相等.

9.D

【分析】

先求出AF和EF的長，再根據(jù)翻折變換的知識得到EF=BF,進而求出AB的長.

解：???四邊形48C3是正方形，

AZA=90°,AE=1,ZAFE=30°

：.EF=2,AF=g,

V正方形紙片ABCD折疊，使頂點B落在邊AO上的點E處，

EF=BF,

BF=2,

：.AB^AF+,

故選：D.

【點撥】本題主要考查了翻折變換以及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)翻折變換得到

EF=BF,此題難度不大.

10.C

【分析】

由正方形的性質(zhì)得AB=BC,NBCD=NB=90。,ZECF=ZBCD=45°,由折疊的

性質(zhì)得ZAFE^NB=90。,FE=3E=1,證出△CEF1是等腰直角三角形，則CE=&FE=0,

進而得出答案.

解：???四邊形A8CD是正方形，

：.AB=BC,ZBCD=ZB=90°,NECF=；N8C7)=45°,

由折疊的性質(zhì)得：N4FE=NB=90。，F(xiàn)E=BE=1,

：.NCFE=90。，

.??△CEF是等腰直角三角形，

:.CE=&FE=4i,

：.BC=BE+CE=l+y/2<

；.AB=8C=1+亞：

故選：C.

【點撥】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等

知識；熟練掌握翻折變換和正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.B

【分析】

由原正方形的面積是4,可求得原正方形的邊長為2,由勾股定理可出新正方形邊長.

解：:原正方形的面積是4,

...原正方形的邊長=〃=2,

二由折疊可得四角是等腰直角三角形，其腰長為1，

由勾股定理得：新正方形邊長=廬下=也，

故選:B.

【點撥】本題考查折疊問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，掌握運用勾股定理是解題的關(guān)

鍵.

12.D

【分析】

可以設(shè)/ECB，=a,ZFCD'=p,根據(jù)折疊可得NQCE=NQ'CE,NBCF=NB'CF,進

而可求解.

解：設(shè)/EC8'=a,NFCD=B，

根據(jù)折疊可知：

ZDCE=ZD'CE,ZBCF=ZB'CF,

"：NECF=21°,

：.ZD'CE=2}°+p,ZB'CF=2\0+a,

：四邊形ABC。是正方形，

ZBCD=90°,

：.ZD'CE+ZECF+ZB'CF=90°

.?.21°+P+21°+21°+a=90°,

：.a+fi=2T,

：.NB'CO'=ZECB'+ZECF+ZFCD'=a+21°+f)=21°+27°=48°

則NBCD的度數(shù)為48。.

故選：D.

【點撥】本題考查了正方形與折疊問題，解決本題的關(guān)鍵是熟練運用折疊的性質(zhì).

13.75°

【分析】

連接8。，先證明△45。為等邊三角形，然后根據(jù)三線合一定理得到

NADP=ZB￡)P=30°即可得到NPZ>C=90。，則NCDE=/尸￡史=45°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和

定理求解即可.

解：連接20.

：四邊形A8CQ為菱形，

：.AD=AB,NC=/A=60°，AB〃CD,

AZA+ZADC=180?

ZADC=120

VZA=60,

△ABD為等邊三角形，

:尸為A3的中點,

DP為ZADB的平分線，即ZADP=ZBDP=30°，

ZPDC=90,

由折疊的性質(zhì)得到NCDE=ZPDE=45。，

在ADEC中，NDEC=180n-(ZCDE+ZC)=75".

故答案為：75°.

【點撥】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，三角形

內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.

14.100°

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)得至|JA8=8C=C￡>=D4,AD//BC,NADB=NCBF=NABD,再根據(jù)折疊

的性質(zhì)得到/BFC=/8CF,由三角形內(nèi)角和與外角的性質(zhì)得到結(jié)果.

解：???四邊形A8C。是菱形，

:.AB=BC=CD=DA,AD//BC,

，ZADB=ZCBF=ZABD,

???七是AO上一點，沿8石折疊△ABE,點A恰好落在80上的點尸處，

：.BA=BFf/A=NBFE,

：.BF=BC,

：.NBFC=NBCF,

VZDFC=110°,

：.NBFC=NBCF=72。,

：.NADB=NCBF=40。,

??ZA=180°-2ZADB=180°-80°=100°,

故答案為：100。.

【點撥】本題主要考查了菱形的基本性質(zhì)與折疊的基本性質(zhì)，根據(jù)菱形的基本性質(zhì)與折

疊的基本性質(zhì)得到邊相等是解題的關(guān)鍵.

15.243

【分析】

根據(jù)菱形AECF,得NFCO=NECO,再利用NECO=NEC'可通過折疊的性質(zhì)，結(jié)

合直角三角形勾股定理求得BC的長，則利用菱形的面積公式即可求解.

解：.??四邊形AEC尸是菱形，AB=39

設(shè)BE=x,則AE=3-xfCE=3-x,

丁四邊形AECF是菱形，

工NFCO=NECO,

?:/ECO=/ECB,

AZECO=ZECB=ZFCO=30°,

；.2BE=CE,

:?CE=2x,

A2x=3-x,

解得：x=l,

：.CE=29利用勾股定理得出：

BC2+BE2=EC2,

BC=NBC?_BE2=43

)L'：AE=AB-BE=3-1=2,

則菱形的面積=A￡>8C=243.

故答案為2^3.

【點撥】此題主要考查了折疊問題以及勾股定理等知識，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種

對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中

折疊前后角相等.

16.12

【分析】

由平行四邊形的性質(zhì)可得AQ=BC,AB=CD=DE+CE=9,ABHCD,可得NEC￡>'=

90°,由折疊的性質(zhì)可得D'E=OE=5,AD=AD',由勾股定理可求CD'的長，AC的長.

解：：四邊形48CD是平行四邊形

：.AD=BC,AB=CD=DE+CE=9,ABHCD

...NBAC=NAC￡)=90。

NECD=90。

Y將平行四邊形488進行折疊，折疊后恰好經(jīng)過點C得到A。，

：.D'E=DE=5,AD=AD'

CD'=>]D'E2-CE2=3

：.AD'=AC+3^AD=BC

'：BC2^AB2+AC2,

：.(AC+3)2=81+AC2,

：.AC=\2

故答案為：12.

【點撥】本題考查了翻折變換，平行四邊形的性質(zhì)，求出的長是本題的關(guān)鍵.

17.4&+4

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得S“CD=SQEC，分別求出。E,EC,求出S,°EC，即可得出

q

MAC。?

解：如圖：過點A作丁?點尸,

?.?△ABC是等腰直角三角形，S&BC=2.

，S,ABC=gABBC=2,HPAB=BC=2,

AC=V22+22=2y/2>

???折疊，

AC=CE=25/2?S,°AC=S.DEC>

???紙片為矩形，

..?折疊后/m4=45。，ZDFA=90°,

是等腰直角三角形，

;.DF=FA=EC+CB=2如+2,

-.AB=EF=2,

:.DE=DF+FE=2g+2+2=4+2亞，

???久皿=S皿c=:QExEC=gx(4+2夜卜2啦=4&+4,

故答案為：4夜+4.

【點撥】本題考查了折疊問題，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形，三角形的面積，勾股定

理，通過折疊得出S“皿=比是解題的關(guān)鍵.

18.2+0##&+2

【分析】

證明Rt^EBF^Rt^EB'D(HL),推出8尸=￡>夕，再證明DB'=EC=BF=1,想辦法求出AB',

可得結(jié)論.

解：由翻折的性質(zhì)可知，EB=EB',ZB=ZAB'E=ZEB'D=90°,

IEB=EB'

在RaEBF和田△E8'O中，^八，

[EF=ED

:.RtAEBFtRsEB'D(HL),

：.BF=DB',

?.?四邊形ABC。是矩形，

NC=NCDB'=NEB'D=90°,

四邊形ECQ夕是矩形，

：.DB'=EC=\,

:.BF=EC=1,

由翻折的性質(zhì)可知，BF=FG=\,ZMG=45°,NEG產(chǎn)=N8=N4GF=90°,

：.AG=FG=\,

：.AF=^2.

：.AB=AB'=\+42，

：.AD^AB'+DB'=2+y/2，

故答案為：2+0.

【點撥】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰宜角三角形

的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題.

19.2

【分析】

如圖，當A、G、E共線時，AG最小，先求出AE,根據(jù)4G=AE-EG即可解決問題.

解：如圖，依題意：點G在以點E為圓心，長為半徑的圓上運動，當A、G、E

共線時，4G最小,

?.?四邊形A8CD是矩形,

，N8=90°,BE=EC=3,48=4,

?'-AE=4AB-+BE2="+不=5.

此時AG=AE-EG=5-3=2.

故答案為2.

【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，點到圓的距離，明確點和圓的位置關(guān)系是

解決本題的關(guān)鍵.

20.-

3

【分析】

由翻折可得AI)=AE,在/?/△ABE中可求出BE,設(shè)DP=EP=x,表示出BP和CP,在

R/ABC尸中，通過勾股定理即可列出等式，解出方程，從而求出答案.

解：矩形ABC。中，A3=5,AD=3,

則CD=5,BC=3,

△AOP沿AP所在的直線折疊，得到且8、E、P三點共線，

，易證△AOPTZSAEP,

：.AE=AD,DP=EP,ZADP=ZAEP=90°,

在中，AB=5,AE=3,

，8E=4；

設(shè)DP=EP=x,則8P=4+x,CP=5-x,

在BCP中,BC2+CP2=BP2,

即3?+(5—X)2=(4+X/，解得X=1,

：.DP=[,

DP1

在心△4OP中，tan/QA/三一=一.

AD3

故答案為：P

【點撥】本題主要考查翻折問題，直角三角函數(shù)和勾股定理，找準線段之間的關(guān)系，并

準確計算是解題的關(guān)鍵.

21.百

【分析】

連接CC,證明△BCC是等邊三角形，再由折疊的性質(zhì)得到/HBC=/HBC=30。，利用

含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可解決問題.

由折疊的性質(zhì)知，折痕為￡尸是BC的垂直平分線，

:.BC=CC;

又由折疊的性質(zhì)知，BC=BC\NHBC=NHBC,

:?BC=CC=BC,

???△8CC是等邊三角形，

ZCBC=60°,

ZHBC=ZHBC=30°1

在放中，ZWBC=30°,C/7=lcm,

HB=2cmf

:.BC川Btf-CH?二物-產(chǎn)=&(cm),

故答案為：x/3.

【點撥】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解決本題

的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì).

22.45°##45度

【分析】

首先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得Nl+/2+/3+/4=NABC=90。,再根據(jù)折疊可得N1=N2

_1_

~2

ZABD,N3=N4=進而可得/2+N3=45°,即/EBF=45°.

解：???四邊形A8CD是正方形，

,ZABC=90°,

根據(jù)折疊可得/I=Z2=yZABD,Z3=Z4=gNDBC,

'：Zl+/2+N3+N4=NA8C=90。，

.../2+N3=45°,

即/EBF=45°,

故答案為：45。.

【點撥】此題主要考查了圖形的翻折變換和正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是找準圖形翻折后，哪

些角是相等的.

?40.…1

23.—##13—

33

【分析】

根據(jù)題意，BE=FE，進而求得EC,勾股定理求得CG,即可求得AECG的面積.

解：?.?折疊，

BE=BE

20

BE=2cm,B'G=—cm,

3

2026

:.EG=2+——=——cm,EC=BC-BE=Scm

33

?.?四邊形48。是正方形

/.ZC=90°

Rt/XEGC中

CG=4EG1-EC1=J停J*=ycm.

c1"▽1°I。402

??5A￡CG=-x￡CCG=2X8XT=Tcm~,

故答案為：—

【點撥】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

24.15°

【分析】

由翻折的性質(zhì)MN垂直平分A￡>,于是得到OH=AH=A8=AO,故此△ADH

為等邊三角形，由△為等邊三角形可知/HAB=30。，在△ABH中可求得乙48H=75。，

故此可求得/”8C=15。.

解：；MN垂直平分AO,

：.DH=AH.

由翻折的性質(zhì)可知：AH=AB.

；正方形4BCO中，

：.AH=AD=DH.

.?.△AZ)”是一個等邊三角形.

ZDAH=60°.

：.ZHAB=30°.

"：AB=AH,

；.NABH=*x(180°-30°)=75°.

ZHBC=ZABC-ZABH=90°-15°^15°.

故答案是：15。.

【點撥】本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和

判定、等腰三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，證得AAOH是一個等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

25.①BE=；BN；②NA8M=30。；③見分析.

【分析】

(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)可得8E=3AB,從而得到BN,即可求解；

(2)根據(jù)在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的

銳角是30。，可得/8NE=30。，即可求解；

(3)由②得NA8M=30。，從而得到ABMG是等邊三角形，進而得到8M=8G,再有

折疊的性質(zhì)，即可求證.

解：①解：???對折矩形紙片4BC。，使AO與BC重合，得到折痕律,

.,.BE=^AB,

???再次折疊紙片，使點A落在E尸上，并使折痕經(jīng)過點B,得到折痕8例，

同時得到了線段BM

：.AB=BN,

；.BE=gBN；

②解：：山折疊的性質(zhì)得：NBEN=NAEN=90。,

；BE=；BN,

：.NBNE=30。,

：.NABN=60°,

由折疊的性質(zhì)得：NABM=^NA8N=30。：

③證明：由②得/ABM=30。，

:四邊形48co是矩形，

NA=/4BC=90。，

...NAMB=NBMN=60。，NMBG=60。，

...△BMG是等邊三角形，

:.BM=BG,

由折疊得8例=例"，BG=GH,

:.BM=MH=BG=GH,

二四邊形3GMW是菱形.

【點撥】本題主要考查了圖形的變換——折疊，矩形的性質(zhì)，菱形的判定等，熟練掌握

圖形折疊前后對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

26.(1)見分析(2)AE的長度為！3二5立.

2

【分析】

(1)mZPEF=ZPFE,證明再根據(jù)折疊的性質(zhì)EO=EH,DE=BF,進一步

計算即可證明PH=PB；

(2)先證明ME。和"P。都是等腰直角三角形，設(shè)AE=b=x,則PQ=&

(5-x),利用戶后P尸代出方程求解即可.

解：(1)證明：???四邊形ABC。是矩形，

：.AD//BC,

：.ZDEF=ZPFE,

由翻折變換可知，ZDEF=ZPEF,

：.NPEF=NPFE,

:.PE=PF-

?：AD=BC,AE=FC,

：.ED=BF,

由折疊性質(zhì)得E/AE”，

:.BF=EH,

：?PE-EH=PF-BF,

:?PH=PB；

(2)解：設(shè)PE交AB于點Q,

AE=CF=X,則。尸=8?JG

VZPEA=45°,ZA=ZABC=ZABP=90°,

???ZAEQ=ZAQE=ZPBQ=ZQPB=45°,

MAEQ和△8PQ都是等腰直角三角形，

:.BQ=PB=5?x,

由勾股定理得：EQ=y[2xf。。=血(5-幻，

*：PE=PF,

；?PQ+EQ=PB+BF,即&(5-x)+V2尸5-X+8-X,

解得：戶'-5應(yīng)

2

???4￡的長度為生逑.

2