專題11:平行四邊形(簡答題專練)

1.如圖，在長方形48。中，AB=CD=6cm,8C=/0cw,點尸從點8出發，以2。掰/秒的速度沿

8C向點°運動，設點尸的運動時間為‘秒：

(1)PC=CW7.(用/的代數式表示)

(2)當,為何值時，"BP*DCP?

(3)當點P從點B開始運動,同時，點。從點0出發，以丫。加/秒的速度沿8向點。運動，當點P到

達C點或點Q到達D點時，P、Q運動停止，是否存在這樣n的值，使得△ZB尸與△PQC全等？若存在,

請求出丫的值；若不存在，請說明理由.

(1)PC=10-2t.(2)t=2.5,理由見解析；(3)存在，v=2.4或者v=2.

【分析】⑴根據S=vt計算線段BP=2t,利用BP+PC=BC求PC即可;

5

(2)根據三角形全等，得BP=PC=5,所以t=2秒；

(3)分BP=CQ和BA=°。兩種情形討論求解.

(1)點P從點8出發，以2。〃/秒的速度沿8C向點C運動，點尸的運動時間為/秒，

*-*BP=2tf

?,.PC=10—2/.

(2)當，=2.5時，&ABP*DCP

理由：當f=2.5時，BP=25x2=5

PC=10—5=5

?.?在△/AP和A。。尸中

"AB=DC

*NB=NC=90°

BP=CP

."BP*DCP(SAS)

*，

(3)①當8P=C。時，N8=PC時，"BP沁DCP；

；AB=6,

，尸C=6,

,-8P=10-6=4，

/.2,=4,

解得r=2,

.CQ=BP=4

所以2V=4,

v-2.

②當BA=CQ,PB=PC時，AABP*DCP.

PB=PC

PB=pc=-BC=5

：.2,

2t=5,

解得1=2.5,

...CQ=BA=6

解得v=2.4；

綜上所述，當v=2.4或者v=2時尸與△℃.

【點評】本題考查了矩形中的動點問題，熟練掌握三角形全等，靈活運用分類思想是解題的關鍵.

1

2.如圖，在正方形48C。中，E是ZO的中點，尸是上一點，且//=4/8.

求證：CEVEF.

證明見解析

【分析】利用正方形的性質得出AB=BC=CD=DA,AA=ZB=ZBCD=ND=90,設出邊長為

a，進一步利用勾股定理求得CE、EF、C戶的長，再利用勾股定理逆定理判定即可.

連接W，

為正方形

???AB=BC=CD=DA，ZA=NB=/BCD=ND=90。

設AB=BC=CD=DA=a

AF=-AB

是/O的中點，且4

AE=ED=—aAF=—a

：.2,4

BF=-a

4

在RtACDE中,由勾股定理可得

1\5

CE2=CD2+DE2=a2+—a=-a2

214

a2

同理可得:

CF2=BF-

--EF2+CE2=CF2

.?.△CEF為直角三角形

；.NCEF=90°

???CE1EF?

【點評】此題考查勾股定理的逆定理，正方形的性質和勾股定理，解題關鍵在于設出邊長為。.

3.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,CB=CD,E是CD上一點，BE交AC于點F,連接DF.

(1)求證：ZBAC=ZDAC,ZAFD=ZCFE；

(2)若AB〃CD,試證明四邊形ABCD是菱形；

(3)在(2)的條件下，試確定E點的位置，使NEFD=NBCD,并說明理由.

(1)證明見解析(2)證明見解析(3)當BE_LCD時，ZEFD=ZBCD

【分析】(1)先判斷出aABC絲ZXADC得到NBAC=NDAC,再判斷出4ABF絲Z\ADF得出

ZAFB=ZAFD,最后進行簡單的推算即可；

(2)先由平行得到角相等，用等量代換得出/DAC=NACD,最后判斷出四邊相等；

(3)由(2)得到判斷出△BCFgZxDCF,結合BE_LCD即可.

(1)證明：在AABC和aADC中，

AB=AD

<CB=CD

AC=AC

AAABC^AADC(SSS),

AZBAC=ZDAC,

ffiAABF和4ADF中，

AB=AD

<ZBAF=NDAF

AF=AF

?二△ABF之△ADF(SAS),

AZAFB=ZAFD,

VZCFE=ZAFB,

AZAFD=ZCFE,

?,.NBAC=NDAC,ZAFD=ZCFE；

(2)證明:VAB/7CD,

AZBAC=ZACD,

VZBAC=ZDAC,

???NBAC=NACD,

AZDAC=ZACD,

?,.AD=CD,

VAB=AD,CB=CD,

???AB=CB=CD=AD,

，四邊形ABCD是菱形；

(3)BEJ_CD時，ZBCD=ZEFD；理由如下:

丁四邊形ABCD是菱形，

ABC=CD,ZBCF=ZDCF,

VCF=CF,

AABCF^ADCF,

AZCBF=ZCDF,

「BE_LCD,

.".ZBEC=ZDEF=90°,

/.ZBCD=ZEFD.

4.如圖，平行四邊形488的對角線/C、8。相交于點。，EF過點。且與48、CD分別相交于點

E、F,連接EC.

(1)求證：OE=OF；

(2)EFLAC,△8EC的周長是10,求平行四邊形/8CD的周長.

(1)證明見解析；(2)20.

【分析】(1)根據平行四邊形的性質得出OD=OB,DC〃AB,推出/FDO=/EBO,證△DFOgZ\BEO即

可；

(2)由平行四邊形的性質得出AB=CD,AD=BC,OA=OC,由線段垂直平分線的性質得出AE=CE,由已

知條件得出BC+AB=10,即可得出平行四邊形ABCD的周長.

解：(1)I?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.OD=OB,DC〃AB,

.,.ZFDO=ZEBO,

ZFDO=/EBO

{OD=OB

在△DFO和ZXBEO中，NFOD=ZEOB,

.".△DFO^ABEO(ASA),

.,.OE=OF.

(2)解：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

AAB=CD,AD=BC,OA=OC,

VEF±AC,

；.AE=CE,

VABEC的周長是10,

；.BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10,

，平行四邊形ABCD的周長=2(BC+AB)=20.

5.如圖I,已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,E是AC上一點，連結EB,過點A作AM

-LBE,垂足為M,AM交BD于點F.

(1)求證：OE=OF：

(2)如圖2,若點E在AC的延長線上，AM工BE于點M,交DB的延長線于點F,其它條件不變，則

結論"OE=OF”還成立嗎.如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由.

(1)證明見解析；(2)成立，證明見解析.

解：(I)二?四邊形ABCD是正方形.

.".ZBOE=ZAOF=90°,OB=OA,

又；AM_LBE,

ZMEA+ZMAE=90°=ZAFO+ZMAE

.".ZMEA=ZAFO,

ARtABOE^RtAAOF

，OE=OF

(2)OE=OF成立

???四邊形ABCD是正方形，

...NBOE=/AOF=90。，OB=OA

又：AM_LBE,

，ZF+NMBF=90°=ZE+ZOBE

又：NMBF=NOBE

，NF=NE

，RtABOE^RtAAOF

.*.OE=OF

6.如圖將矩形/8CQ沿對角線/C對折，使△/2C落在的位置，且CE與4)相交于點尸，求證:

EF=DF.

E

【分析】先由四邊形為矩形，得出/E=C。，NE=ND,再由對頂角相等，即可證明△/E尸名△8尸即

可.

?.?四邊形/BCD是矩形，

AZD=ZE,AE=CD,

又；NAFE=NCFD,

在/和尸中，

Z=ND

<NAFE=NCFD

AE=CD

9

：."EF之△CDF(AAS),

:.EF=DF.

7.(1)如圖矩形的對角線ZC、BD交于點0,過點。作DP"",且DP=。。,連接CP,

判斷四邊形c°°尸的形狀并說明理由.

(2)如果題目中的矩形變為菱形，結論應變為什么？說明理由.

(3)如果題目中的矩形變為正方形，結論又應變為什么？說明理由

目密圖

091圖2圖3

(1)四邊形的形狀是菱形，理由見解析；(2)四邊形CO?尸的形狀是矩形，理由見解析；

(3)四邊形的形狀是正方形，理由見解析.

【分析】(1)根據矩形的性質證得，再由有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證得四邊形CODP

是平行四邊形，根據有一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形即可證得結論；(2)根據菱形的性質可得

ZDOC=90°,再由有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證得四邊形CODP是平行四邊形，根據有

一個角為直角的平行四邊形為矩形即可證得結論；（3）根據正方形的性質可得OD=OC,ZDOC=90°,再

由有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形CODP是平行四邊形，根據正方形的判定即可

證得結論.

（1）四邊形尸的形狀是菱形，

理由是：：四邊形N8CZ）是矩形，

sccOA=OC=-ACOB=OD=~BD

:.AC=BD,2,2,

???OC=OD，

?,DPIIOCDP=OC

*，，

二四邊形CODP是平行四邊形，

???OC=OD,

，平行四邊形COO尸是菱形；

（2）四邊形COOP的形狀是矩形，

理由是：?.?四邊形Z8CO是菱形，

???AC1BD，

*-*ZDOC=90°，

..DPHOCDP=OC

?，，

???四邊形C。。尸是平行四邊形，

??-ZZ）OC=90°,

平行四邊形COOP是矩形；

（3）四邊形COOP的形狀是正方形,

理由是：?..四邊形Z8CO是正方形，

OA=OC=-ACOB=OD=-BD

???ACLBD，AC=BD，22

???ZDOC=90"，OD=OC，

.?.DPIIOC，DP=OC

四邊形CODP是平行四邊形,

???4DOC=90，OD=OC

，平行四邊形COD尸是正方形.

【點評】本題考查了平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質和判定，考查學生的猜想能力和推理能力,

綜合性較強.

8.在平行四邊形ABCD中，點E在AD邊上，連接BE、CE,EB平分NAEC,

(1)如圖1,判斷4BCE的形狀，并說明理由；

(2)如圖2,若/A=90。，BC=5,AE=1,求線段BE的長.

(1)證明見解析：(2)回

(1)如圖1中，結論：4BCE是等腰三角形.

證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.BC〃AD,

.".ZCBE=ZAEB,

VEB平分NAEC,

；./AEB=NBEC,

.,.ZCBE=ZBEC,

；.CB=CE,

AACBE是等腰三角形；

(2)如圖2中，；四邊形ABCD是平行四邊形，ZA=90°,

...四邊形ABCD是矩形，

.\ZA=ZD=90°,BC=AD=5,

在Rt^ECD中，VZD=90o,ED=AD-AE=4,EC=BC=5,

AB=CD=飛EC。-DE。=V52-42=3,

在Rt/EB中，vZA=90°,AB=3.AE=1,

，BE=^AB2+AE2=A/32+12=M.

9.如圖，在"BCD中，DE=CE,連接AE并延長交BC的延長線于點F.

(1)求證：AADE^AFCE；

(2)若AB=2BC,ZF=36°,求NB的度數.

(1)見解析；(2)108°

【分析】(1)利用平行四邊形的性質得出AD〃BC,AD=BC,證出ND=NECF,由ASA即可證出4

ADE^AFCE：

(2)證出AB=FB,由等腰三角形的性質和三角形內角和定理即可得出答案.

證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

，AD〃BC,AD=BC,

.\ZD=ZECF,

在4ADE和4FCE中，

ND=/ECF

<DE=CE

ZAED=NFEC

.".△ADE^AFCE(ASA)；

(2)VAADE^AFCE,

，AD=FC,

；AD=BC,AB=2BC,

.*.AB=FB,

.*.ZBAF=ZF=36°,

.".ZB=180°-2x36°=108°.

【點評】運用了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質、三角形內角和定理;

熟練掌握平行四邊形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵.

10.如圖，在Rt/X/BC中，ZACB=90°,過點C的直線MV〃28,D為4B邊上一點,過點。作

DELBC,交直線MV于E,垂足為F,連接CD、BE.

(1)求證：CE=AD-,

(2)當。在N8中點時，四邊形8EC。是什么特殊四邊形？說明你的理由；

(3)若。為中點，則當//的大小滿足什么條件時，四邊形8ECA是正方形？請說明你的理由.

(1)見解析；(2)四邊形8ECD是菱形，理由見解析；(3)當/4=45。時，四邊形8ECD是正方形，

理由見解析

【分析】(1)根據兩組對邊平行，證明四邊形/OEC是平行四邊形，再根據平行四邊形的性質得到

CE=AD；

(2)先根據一組對邊平行且相等，證明四邊形5EC。是平行四邊形，再根據直角三角形斜邊上的中線等

于斜邊的一半證明CD=BD,從而證明四邊形8ECZ)是菱形；

(3)當/4=45。時，四邊形8ECZ)是正方形，證明是等腰直角三角形，再利用“三線合一”的性質

證明CD_L/3,從而證明四邊形8ECZ)是正方形.

(1)證明：,：DE±BC,

：./DFB=90。,

ZACB=<)0°,

：.NACB=NDFB,

J.AC//DE,

?:MN"AB,即CE//AD,

四邊形ADEC是平行四邊形，

；.CE=AD；

(2)解：四邊形8EC。是菱形，

理由是：?..。為中點，

：.AD=BD,

；CE=4D,

：.BD=CE,

'：BD//CE,

四邊形BECD是平行四邊形，

VZACB=90°,D為4B中點,

：.CD=BD（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），

，四邊形BECD是菱形；

（3）當N/=45。時，四邊形3ECQ是正方形，理由是：

解：VZACB=90°,ZA=45°,

：.ZABC^ZJ=45°,

：.AC=BC,

；D為BA中點，

J.CDVAB,

:.NCDB=90°,

???四邊形8ECZ）是菱形，

菱形8ECD是正方形，

即當NZ=45。時，四邊形BEC。是正方形.

【點評】本題考查平行四邊形的性質和判定，菱形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性質，直角三角

形斜邊上中線的性質，解題的關鍵是熟練利用這些性質和判定進行證明.

11.如圖，在△ABC中，點F是BC的中點，點E是線段AB的延長線上的一動點，連接EF,過點C作

AB的平行線CD,與線段EF的延長線交于點D,連接CE,BD.

（1）求證：四邊形DBEC是平行四邊形.

（2）若N/8C=120°,AB=BC=4,則在點E的運動過程中：

①當BE=時，四邊形BECD是矩形，試說明理由；

②當BE=時，四邊形BECD是菱形.

（1）見解析；（2）①2,理由見解析；②4

【分析】（1）先證明△EBFg/XDCF,可得DC=BE,可證四邊形BECD是平行四邊形；

（2）①根據四邊形BECD是矩形時，ZCEB=90°,再由/ABC=120。可得NECB=30。，再根據直角三角形

的性質可得BE=2；

②根據四邊形BECD是菱形可得BE=EC,再由NABC=120。，可得/CBE=60。，進而可得4CBE是等邊三

角形，再根據等邊三角形的性質可得答案.

（1）：AB〃CD,

.,.ZCDF=ZFEB,ZDCF=ZEBF,

丁點F是BC的中點，

；.BF=CF,

"CDF=4BEF

<NDCF=NEBF

FC-BF

在4DCF和4EBF中，〔，

AAEBF^ADCF（AAS）,

；.DC=BE,

又；DC//BE,

...四邊形BECD是平行四邊形；

（2）①BE=2,

:當四邊形BECD是矩形時，ZCEB=90°,

VZABC=120°,

.".ZCBE=60°；

.\ZECB=3O0,

]_

；.BE=2BC=2,

故2；

②BE=4,

:四邊形BECD是菱形時，BE=EC,

VZABC=120°,

.\ZCBE=60°,

ACBE是等邊三角形，

，BE=BC=4.

故4.

【點評】本題主要考查了菱形和矩形的性質，以及平行四邊形的判定，關鍵是掌握菱形四邊相等，矩形四

個角都是直角.

12.如圖，在4ABC中，點D是AB邊的中點，點E是CD邊的中點，過點C作CF〃AB交AE的延長線于點

F,連接BF.

⑴求證:DB=CF；(2)如果AC=BC,試判斷四邊形BDCF的形狀，并證明你的結論.

(1)證明見解析：(2)四邊形BDCF是矩形，理由見解析.

(1)證明：VCF/7AB,

，NDAE=/CFE.又：DE=CE,ZAED=ZFEC,

AAADE^AFCE,，AD=CF.VAD=DB,；.DB=CF.

(2)四邊形BDCF是矩形.

證明：由(1)知DB=CF,又DB〃CF,

四邊形BDCF為平行四邊形.

：AC=BC,AD=DB,ACD±AB.

，四邊形BDCF是矩形.

13.閱讀下面材料：

在數學課上，老師請同學思考如下問題：如圖1,我們把一個四邊形ABCD的四邊中點E,F,G,H依次

連接起來得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎.

小敏在思考問題時，有如下思路：連接AC.

融、F分別是三角形.

AB.AC的中點

中儂謔i

點G、H分別是二角形

rnADMC3占

中位線定理

結合小敏的思路作答：

(I)若只改變圖1中四邊形ABCD的形狀(如圖2),則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎？說明理由，參

考小敏思考問題的方法解決一下問題;

（2）如圖2,在（1）的條件下，若連接AC,BD.

①當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形，寫出結論并證明;

②當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是矩形，直接寫出結論.

（1）是平行四邊形；（2）①AC=BD；證明見解析；②ACJ_BD.

【分析】（1）如圖2,連接AC,根據三角形中位線的性質及平行四邊形判定定理即可得到結論；

（2）①由（1）知，四邊形EFGH是平行四邊形，且FG=2BD,HG=2AC,于是得到當AC=BD時,

FG=HG,即可得到結論；

②若四邊形EFG”是矩形，則N4GF=90。，即G4_LGF,又GHHAC,GF//BD,JJIlJACYBD.

解：：（1）是平行四邊形.證明如下：

如圖2,連接AC,

圖2

；E是AB的中點，F是BC的中點，

，EF〃AC,EF=2AC,同理HG/7AC,HG=2AC,

綜上可得：EF〃HG,EF=HG,

故四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）@AC=BD.

理由如下：

J_j_

由（1）知，四邊形EFGH是平行四邊形，且FG=2BD,HG=2AC,

.?.當AC=BD時,FG=HG,

，平行四邊形EFGH是菱形；

②當AC_LBD時，四邊形EFGH為矩形.

理由如下：

同（1）得：四邊形EFGH是平行四邊形，

VAC±BD,GH〃AC,

AGHIBD,

：GF〃BD,

AGH1GF,

.".ZHGF=90°,

，四邊形EFGH為矩形.

【點評】此題主要考查了中點四邊形，關鍵是掌握三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊且等

于第三邊的一半.

14.圖1、圖2是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1,每個小正

方形的頂點叫做格點.

（1）在圖1中畫出等腰直角三角形MON,使點N在格點上，且NMON=90。；

（2）在圖2中以格點為頂點畫一個正方形ABCD,使正方形ABCD面積等于（1）中等腰直角三角形

MON面積的4倍，并將正方形ABCD分割成以格點為頂點的四個全等的直角三角形和一個正方形，且正

方形ABCD面積沒有剩余（畫出一種即可）.

圖1圖2

（1）作圖參見解析；（2）作圖參見解析.

試題分析：（1）過點0向線段0M作垂線，此直線與格點的交點為N,連接MN即可；（2）根據勾股

定理畫出圖形即可.

試題解析：（1）過點0向線段0M作垂線，此直線與格點的交點為N,連接MN,如圖1所示；

(2)等腰直角三角形MON面積是5,因此正方形面積是20,如圖2所示；于是根據勾股定理畫出圖3：

圖2圖3

考點：1.作圖〕應用與設計作圖：2.勾股定理.

15.已知：如圖，在aABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交于BE

的延長線于點F,且AF=DC,連接CF.

(1)求證：D是BC的中點；

(2)如果AB=AC,試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論.

(1)見詳解；(2)四邊形ADCF是矩形；證明見詳解.

【分析】(1)可證AAFE也ZXDBE,得出AF=BD,進而根據AF=DC,得出D是BC中點的結論；

(2)若AB=AC,則AABC是等腰三角形，根據等腰三角形三線合一的性質知ADLBC；而AF與DC平

行且相等，故四邊形ADCF是平行四邊形，又ADLBC,則四邊形ADCF是矩形.

(1)證明：：E是AD的中點，

，AE=DE.

；AF〃BC,

.\ZFAE=ZBDE,ZAFE=ZDBE.

在4AFE和4DBE中，

ZFAE=NBDE

<ZAFE=NDBE

AE=DE

.'.△AFE^ADBE(AAS).

，AF=BD.

VAF=DC,

；.BD=DC.

即：D是BC的中點.

(2)解：四邊形ADCF是矩形；

證明：VAF=DC,AF〃DC,

四邊形ADCF是平行四邊形.

VAB=AC,BD=DC,

AAD1BC即NADC=90°.

平行四邊形ADCF是矩形.

【點評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，平行四邊形、矩形的判定等知識

綜合運用.解題的關鍵是熟練掌握矩形的判定方法，以及全等三角形的判定和性質進行證明.

16.如圖1,已知銳角△48C中，CD、8E分別是48、4C邊上的高，/、N分別是線段8C、OE的中

點.

(2)連結。M,ME,猜想//與NOME之間的關系，并證明猜想.

(3)當/Z變為鈍角時，如圖2,上述(1)(2)中的結論是否都成立，若結論成立，直接回答，不需證

明；若結論不成立，說明理由.

(1)詳見解析；(2)/。加￡=180。-2/4詳見解析：(3)結論(1)成立，結論(2)不成立，詳見解

析

DM=LBCME=工BC

【分析】（1）連接DM,"E,根據直角三角形的性質得到2,2，得到

DM=ME,根據等腰直角三角形的性質證明；

（2）根據三角形內角和定理、等腰三角形的性質計算；

（3）仿照（2）的計算過程解答.

（1）證明：如圖，連接，ME,

CD、8E分別是45、4c邊上的高，”是8C的中點,

:.DM^-BCME=-BC

2,2,

DM=ME,

又〈N為DE中點、,

MNIDE.

(2)在根8。中，N/3C+NZC8=180°-N4,

?;DM=ME=BM=MC,

：/BMD=180°-2ZABC,ACME=180°-2ZACB,

ZBMD+ACME=(180°-2ZABC)+(180°-2Z4CB)

=360°-2(ZABC+ZACB)

=360°-2(180°-Z^)

=2ZAf

ZZ)A/E=180°-2Zy4.

C3）結論（1）成立，結論（2）不成立,

理由如下：如圖，

D

N

A

⑵

同理（1）可知：MN工DE,故結論（i）正確;

DM=ME=BM=MC9

：.2BME=2NACB,乙CMD=2N4BC,

在中，ZABC+ZACB^\80°-ZJ,

???NBME+^CMD=2AACB+2NABC=2(180。-4)=360。-24,

ZDME=180°-(360°-2ZA)=2ZA-180°,故結論(2)不正確.

【點評】本題考查了直角三角形的性質、三角形內角和定理，掌握直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊

的一半是解題的關鍵.

17.閱讀理解:

二次根式的除法，要化去分母中的根號，需將分子、分母同乘以一個恰當的二次根式.

1

例如：化簡夜一1.

血+

1_1=V2+1

解：將分子、分母同乘以/+1得:V2-1(72-1)(72+1)

類比應用:

1

（1）化簡：2V3-VTT；

1__1?]1_

化簡：+l+V2V9+V8.

拓展延伸：

寬與長的比是2的矩形叫黃金矩形.如圖①，已知黃金矩形的寬/8=1.

（1）黃金矩形ABCD的長BC=；

（2）如圖②，將圖①中的黃金矩形裁剪掉一個以為邊的正方形/8EF,得到新的矩形。CM,猜想矩

形。CE尸是否為黃金矩形，并證明你的結論;

B

圖①

(3)在圖②中，連結ZE,則點。到線段/￡的距離為

_逐+1

類比應用：(1)20+而；(2)2；拓展延伸：(1)2.(2)矩形OCE尸為黃金矩形，理由見

屈+C

解析；(3)4

【分析】類比應用：

(1)仿照題干中的過程進行計算；

(2)仿照題干中的過程進行計算；

拓展延伸：

(1)根據黃金矩形的定義結合AB=1進行計算；

舊-1

(2)根據題意算出AD的長，從而得出DF,證明DF和EF的比值為2即可；

(3)連接AE,DE,過D作DGLAE于點G,根據4AED的面積不同算法列出方程，解出DG的長即可.

解：類比應用：

(1)根據題意可得：

12e+而

訴而=&百-布*百+而)=2向+而；

(2)根據題意可得：

111

―|--J-???—|—

x/2+1V3+V2V9+V8

V2-1V3-V2V9—Vs

+

_(72+1)^/2-1)(73+72)(73-72)(V9+V8)(V9-V8)

-V2—1+y/3—5/2+…+^9-y/S

=亞-1

=2；

拓展延伸：

(1)?.?寬與長的比是2的矩形叫黃金矩形，

若黃金矩形ABCD的寬AB=\,

1

V5-12亞+1

則黃金矩形Z8CZ)的長5C=2=75-1=2.

(2)矩形。。￡尸為黃金矩形，理由是：

由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1,

,V5-1V5+1

根據黃金矩形的性質可得：AD=BC=22

V5+1V5-1

1------

，FD=EC=AD-AF=2-----=2---,

DFV5-1,V5-1

--------+1=-----

:.EF=2---------2,

故矩形QCEF為黃金矩形：

(3)連接AE,DE,過D作DGLAE于點G,

石+1

VAB=EF=1,AD=2,

.?.AE=JF+12=6,

在AAED中，

-xADxEF=-xAExDG

SAAED=22,

立止x1=aDG

即力DxEF=/ExOG,貝ij2

廂+正

解得DG=4,

M+垃

...點。到線段/E的距離為4.

【點評】本題考查了二次根式的性質，平方差公式，矩形的性質，正方形的性質，三角形的面積，此類問

題要認真閱讀材料，理解材料中的知識.

18.四邊形/8CZ)為正方形，點￡為線段4C上一點，連接0E,過點E作EF,DE,交射線于

點尸，以DE、防為鄰邊作矩形。瓦G,連接CG.

(1)如圖，求證：矩形是正方形；

(2)若Z8=2,CE=后，求CG的長度：

(3)當線段與正方形"88的某條邊的夾角是30。時，直接寫出/EFC的度數.

(1)證明見解析(2)CG=J5(3)當QE與”。的夾角為30°時，=120°.當DE與QC的

夾角為3。°時,/ERC=30°

【分析】⑴過E作EP'CO于點p,"Q18C于點0,ijE0jjRt^EQF^Rt^EPD,得到班'=瓦)，

根據正方形的判定定理證明即可;

（2）通過計算發現E是4c中點，點尸與C重合，由（1）可知四邊形OMG是正方形，由此即可解決

問題.

（3）分兩種情形考慮問題即可；

解：（1）證明：過E作EP上CD于點P,EQ16C于點。，如圖：

..?四邊形/8CO為正方形

Z.DCA=NBCA=45°

..EP=EQ

'：EF1DE

NDEF=90°

?/APED+NEFC=90°-NPEC=45°

...ZQEF+ZFEC=45°

...NQEF=APED

，在RSEQF和R^EPD

ZQEF=APED

<EP=EQ

NEQF=NEPD

.RtAEQFMR，AEPD(ASA)

/.EF=ED

二矩形QEFG是正方形.

（2）如圖:

D

:由（1）可知，在中，AB=BC=2

:.AC=2五

;CE=6

AE=CE=LAC=6

.2

c與R重合

?.?四邊形Z)EFG是正方形

...CG=CE=y/2_

(3)①當DE與"。的夾角為30°時，如圖:

???NADE=30°，ZDAE=45°

〃￡。=30。+45。=75°

ZFEC=900-75°=15°

NEFC=180°-15°-45°=120°；

②當。E與。C的夾角為30。時、如圖:

B

?*?NCDE=30°，ZDEF=90°

...NDHE=90°—30°=60。

NCHF=60°

:ZDCF=90°

NEFC=30。.

???綜上所述，/跖0=120。或/或(=30。

故答案是：(1)證明見解析(2)CG=g(3)當OE與/O的夾角為30°時，/即0=120°：當

與0c的夾角為30°時，ZEFC=30°

【點評】本題考查正方形的性質、矩形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵

是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題.

19.猜想與證明：如圖①擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF,使B,C,G三點在一條直線上，CE在

邊CD上.連結AF,若M為AF的中點，連結DM,ME,試猜想DM與ME的數量關系，并證明你的結

論.

拓展與延伸：

⑴若將“猜想與證明”中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF,其他條件不變，則DM和ME

的關系為;

(2)如圖②擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF,使點F在邊CD上，點M仍為AF的中點，試證

明(1)中的結論仍然成立.［提示：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半］

猜想與證明：猜想DM與ME的數量關系是：DM=ME,證明見解析；拓展與延伸：(1)

DM=ME,DM_LME；(2)證明見解析

【分析】猜想：延長EM交AD于點H,利用aFME絲△AMH,得出HM=EM,再利用直角三角形中，斜

邊的中線等于斜邊的一半證明.

(1)延長EM交AD于點H,利用△FMEg^AMH,得出HM=EM,再利用直角三角形中，斜邊的中線

等于斜邊的一半證明，

（2）連接AC,AC和EC在同一條直線上，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明,

解：猜想與證明：

猜想DM與ME的數量關系是：DM=ME.

證明：如圖①，延長EM交AD于點H.

,?*四邊形ABCD、四邊形ECGF都是矩形,

，AD〃BG,EF〃BG,ZHDE=90°.

，AD