2022-2023學年北京市高一上期末考試數學模擬試卷

選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）

1.（2021?新高考I）設集合4={x|-2<x<4},B=[2,3,4,5},貝）

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

2.（2020秋?東城區期末）下列函數中，既是奇函數，又在區間（0,1）上單調遞增的是（）

A.y=2~xB.y=InxC.y=—D.y=sinx

x

3.（2021秋?江門校級期中）已知點4（-2,-1）,8（a,3）且|/8|=5,則。等于（）

A.1B.-5C.1或-5D.其他值

4.（2021?靜安區二模）函數了=》2（》?0）的反函數為（）

A.y=-Vx（xHO）B.y=-4x（xT^））C.y=4x（x*0）D.y=-A/X（X*0）

5.已知。是直線45外一點，C,。是線段N8的三等分點，S.AC=CD=DB,如果

04=3^,礪=3瑟，則/=（）

2-1―、1-2―

A.e+2eB.2q+eDe+e

t22C?+-^2-jiy2

6.（2020秋?遼源期末）甲、乙、丙三人隨機排成一排，乙站在中間的概率是（）

4

7.（2021春?赤峰期末）若2*=6,log.3=貝L+2y的值是（）

A.3B.|C.log23D.-3

8.（2021?千陽縣校級模擬）江西省重點中學協作體于2020年進行了一次校際數學競賽，共

有100名同學參賽，經過評判，這100名參賽者的得分都在［40,90］之間，其得分的頻率

分布直方圖如圖，則下列結論錯誤的是（）

A.得分在［40,60）之間的共有40人

B.從這100名參賽者中隨機選取1人，其得分在［60,80）的概率為0.5

C.這100名參賽者得分的中位數為65

D.可求得。=0.005

9.（2019秋?湖北月考）a=2是向量而=（a,34-2）,方=（1,公共線的（）條件.

A.充分必要B.充分不必要

C.必要不充分D.既不充分也不必要

10.（2019秋?南康區校級期中）函數,f（x）=..V-1+2（*€［-2,1］）的值域是（）

A.g,10]

B.[1,10]C.[1,D.10]

填空題（共6小題，滿分30分，每小題5分）

11.（2021?宣城模擬）命題“叫>0,考+%-2021>0”的否定是.

12.若函數“X）在x=0處的導數等于-2,則1加"0+2聞-〃0）=_.

AXTO4AX

13.（2021?湖南學業考試）若x>0,則/（x）=4+2x的最小值為

x

14.（2021?新余二模）已知向量3=（1,2）,6=（0,-2）,c=（-l,2）,^（2a-b）//c,則實數

2=.

15.（2020秋?沈陽期末）某中學高三年級從甲、乙兩個班級各選出8名學生參加數學競賽,

他們取得的成績（滿分100分）的莖葉圖如圖所示，其中甲班學生成績的平均分是86,乙

班學生成績的中位數是83,則x+y的值為—.

甲Z

89764

65X2811y

649116

16.（2021春?深圳期末）已知函數/。）=1,-3招、?。有最大值，則實數。的取值范圍

-2x,x>a

是

三.解答題（共5小題，滿分70分，每小題14分）

17.（2020秋?焦作期中）已知集合。="|"_1|<2},B={x\l-m<x<2m+2］.

（I）當加=1時，求鳥（4|J8）；

第2頁共17頁

(H)若8g(力「|8),求，〃的取值范圍.

18.(2021秋?城關區校級月考)已知函數〃2x)=2x-4，+4,函數/(x)只有兩個零點，設

這兩個零點為西，<%2).

(1)證明：x,e(-4,-3),x2e(2,3).

(2)證明：-7<2"-2*<-5.

19.(2015?綏化校級二模)某校甲、乙兩個班級各有5名編號分別為1,2,3,4,5的學生

進行投籃訓練，每人投10次，投中的次數統計如下表：

學生1號2號3號4號5號

甲班65798

乙班48977

(1)從統計數據看，甲、乙兩個班哪個班的同學投籃水平更穩定(用數據說明)？

(2)在本次訓練中，從兩班中分別任選一個同學，比較兩人的投中次數，求甲班同學投中

次數多于乙班同學投中次數的概率.

20.(2020秋?瀘州期末)已知函數f(x)=(x-A)(x-4),其中％wR.

(I)求關于x的不等式〃x)>0的解集；

(H)對任意3],若關于x的不等式/(x)>44-5恒成立，求k的取值范圍.

21.(2020秋?海淀區校級月考)對非空數集4,B,定義/-8={x-川XG/,yeB},

記有限集7的元素個數為|T|.

(1)若/={1,3,5},5={1,2,4},求|4-川，|4-8|；

(2)若|川=4,AJN*,B={\,2,3,4},當|/-8|最大時，求/中最大元素的最小

值；

(3)若|川=網=5,|4-川=|5-8|=21,求的最小值.

第3頁共17頁

2022-2023學年北京市高一上期末考試數學模擬試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）

1.（2021?新高考I）設集合Z={x|-2<x<4},B={2,3,4,5},則）

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4）

【答案】B

【考點】交集及其運算

【專題】集合思想；定義法；集合；數學運算

【分析】直接利用交集運算得答案.

【解答】解：A={x\-2<x<4],B=[2,3,4,5},

/lp|S={x|-2<x<4}n{2,3,4,5}={2,3}.

故選：B.

【點評】本題考查交集及其運算，是基礎題.

2.（2020秋?東城區期末）下列函數中，既是奇函數，又在區間（0,1）上單調遞增的是（）

A.y=2~xB.y=InxC.y=—D.y=sinx

x

【答案】D

【考點】奇偶性與單調性的綜合

【專題】探究型；函數思想；綜合法；函數的性質及應用；邏輯推理

【分析】由基本初等函數的單調性和奇偶性逐一判斷即可.

【解答】解：對于/,夕=2-*為非奇非偶函數，不符合題意；

對于8,y=為非奇非偶函數，不符合題意；

對于C,>=’為奇函數，但在區間（0,1）上單調遞減，不符合題意；

X

對于。，y=sinx為奇函數，由正弦函數的圖象可知，y=sinx在區間（0,1）上單調遞增，符

合題意.

故選：D.

【點評】本題主要考查函數奇偶性與單調性的判斷，熟練掌握基本初等函數的性質是解題的

關鍵，屬于基礎題.

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3.(2021秋?江門校級期中)已知點/(—2,-1),8(凡3)且|/圻=5,則a等于()

A.1B.-5C.1或-5D.其他值

【答案】C

【考點】兩點間的距離公式

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；直線與圓

【分析】由已知條件直接利用兩點間距離公式直接求解.

【解答】解：?.?點Z(-2,-1),8(。,3)且|48|=5,

J(a+2>+(3+1>=5,

即(a+2>=9,

解得a=1或。=-5.

故選：C.

【點評】本題考查實數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意兩點間距離公式的合

理運用.

4.(2021?靜安區二模)函數了=/(》?0)的反函數為()

A.y=B.y=-4(xf?))C.y=-7x(%*0)D.y=—Jx(x*0)

【答案】B

【考點】反函數

【專題】函數的性質及應用

【分析】利用反函數的求法即可得出.

【解答】解：由夕=》2(》?0),解得x=-/7(y拜))，將x與y互換可得：y=-y/x(xT^)).

故選：B.

【點評】本題考查了反函數的求法，屬于基礎題.

5.已知。是直線外一點，C,。是線段N8的三等分點，S.AC=CD=DB,如果

OA=3et,OB=3^,則麗=()

r2-1—

C+-^2

【答案】A

【考點】平面向量的基本定理

第5頁共17頁

【專題】對應思想；定義法；平面向量及應用；數學抽象

【分析】根據向量運算法則進行化簡即可.

【解答】解：?.?方=礪一5=3自-1）,

—.2———.

AD=—AB=2（/—q），

OD=OA+AD=犯+2（.-ei）=e[+2e2,

故選：A.

【點評】本題主要考查平面向量的基本運算，利用向量的運算法則是解決本題的關鍵，是基

礎題.

6.（2020秋?遼源期末）甲、乙、丙三人隨機排成一排，乙站在中間的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

2346

【考點】C8：古典概型及其概率計算公式

【專題】11：計算題；34：方程思想；40：定義法；51：概率與統計；65：數學運算

【分析】三個人排成一排，利用列舉法求出所有情況有6種，其中乙在中間有2種，由此能

求出乙在中間的概率.

【解答】解：三個人排成一排的所有情況有：

甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙乙甲，丙甲乙，共6種，

其中乙在中間有2種，

，乙在中間的概率為P=4=上.

63

故選：B.

【點評】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎知識，考查運算求解能力，是

基礎題.

4

7.（2021春?赤峰期末）若2*=6,log」§=y,貝ljx+2y的值是（）

A.3B.|C.log,3D.-3

【答案】A

【考點】對數的運算性質：指數式與對數式的互化

【專題】方程思想；定義法；函數的性質及應用；數學運算

4

【分析】x+2y=log264-210g&-=/og4（36x—）=/og44',由此能求出結果.

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4

【解答】解：:2、=6,k>g4弓=y,

4

x+2y=log26+2log4—

,“,16

=log436+log4—

=/og&（36X?）

=，密4、

=3.

故選：A.

【點評】本題考查對數式、指數式化簡求值，考查對數、指數的定義、運算法則等基礎知識,

意在考查學生運算求解能力，屬于基礎題.

8.（2021?千陽縣校級模擬）江西省重點中學協作體于2020年進行了一次校際數學競賽，共

有100名同學參賽，經過評判，這100名參賽者的得分都在［40,90］之間，其得分的頻率

分布直方圖如圖，則下列結論錯誤的是（）

A.得分在［40,60）之間的共有40人

B.從這100名參賽者中隨機選取1人，其得分在［60,80）的概率為0.5

C.這100名參賽者得分的中位數為65

D.可求得a=0.005

【答案】C

【考點】頻率分布直方圖

【專題】數形結合；數形結合法；概率與統計；數學運算；數據分析

【分析】利用頻率分布直方圖的性質直接求解.

【解答】解：由頻率分布直方圖得：

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對于4,得分在[40,60)之間有:100x[1-(0.030+0.020+0.010)x10]=40A,故/正確;

對于8,從這100名參賽者中隨機選取1人，其得分在[60,80)的概率為：

(0.030+0.020)x10=0.5,故8正確；

對于。，(a+0.035+0.030+0.020+0.010)x10=1,解得。=0.005,故。正確；

對于C,[40,60)的頻率為(0.005+0.035)x10=0.4,

[60,70)的頻率為0.030x10=0.3,

.?.這100名參賽者得分的中位數為：60+”二絲X10。63.3,故C錯誤.

0.3

故選：C.

【點評】本題考查頻數、概率、中位數、頻率的求法，考查頻率分布直方圖等基礎知識，考

查運算求解能力、數據分析能力、數學應用意識等核心素養，是基礎題.

9.(2019秋?湖北月考)”=2是向量所=(a,3"-2),萬=(l,a)共線的()條件.

A.充分必要B,充分不必要

C.必要不充分D.既不充分也不必要

【考點】29：充分條件、必要條件、充要條件；96：平行向量(共線)

【專題】34：方程思想：5A：平面向量及應用；65：數學運算：5L：簡易邏輯

【分析】利用向量共線定理可得a,即可判斷出關系.

【解答】解：兩向量而，n共線0a2=3。—2=4=1或2,

a=2是兩向量比，為共線的充分不必要條件.

故選：B.

【點評】本題考查了向量共線定理、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬

于基礎題.

10.(2019秋?南康區校級期中)函數/(》)=(；y-(51+2。€[-2,1])的值域是()

A.(1,10]B.[1,10]C.[I,.D.g,10]

【考點】34：函數的值域；3”：函數的最值及其幾何意義；3廠：二次函數的性質與圖象

【專題】35：轉化思想：47?：轉化法：51：函數的性質及應用

2

【分析】令，=(；)*(X€[-2,1])，則reg，4],/(x)=g(/)=Z-2?+2(Ze[1,4]),結合二

次函數的圖象和性質，求出函數的最值，進而可得函數的值域.

【解答】解：令/=(；)'(xe[-2,1]),

第8頁共17頁

則feg,4],

/(x)=g(f)=*-2f+2(feg,4]),

由g(f)=*-2f+2的圖象是開口朝上，且以直線/=1為對稱軸的拋物線，

故當f=l時，函數取最小值1,

當f=4時，函數取最大值10,

故函數的值域為[1,10]，

故選：B.

【點評】本題考查的知識點是函數的最值，函數的值域，二次函數的圖象和性質，難度中檔.

二.填空題(共6小題，滿分30分，每小題5分)

11.(2021?宣城模擬)命題“叫)>0,片+x0-2021>0”的否定是LVX>02_

x2+X-2021*0^.

【答案】"Vx>0,X2+X-2021?0

【考點】命題的否定

【專題】轉化思想；定義法；簡易邏輯；邏輯推理

【分析】根據存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，寫出即可.

【解答】解：根據存在量詞命題的否定是全稱量詞命題知，

命題“土。>0,片+%-2021>0”的否定是"Vx>0,x2+X-2021?0\

故答案為：“Vx>0,r+X-2021?()”.

【點評】本題考查了存在量詞命題的否定是全稱量詞命題應用問題，是基礎題.

12.若函數/(x)在x=0處的導數等于-2,則Ii3(0+2Ax)-〃())=_一1一

-04AX

【答案】-1.

【考點】變化的快慢與變化率

【專題】函數思想：定義法：導數的概念及應用：數學運算

【分析】利用導數的定義進行分析求解即可.

，

【解答】W.：lim/(0+2^)-/(0)=limL/(0+2AX)-/(0)=./(0)=lx(-2)=-l.

“句4Ax“TO22Ax22

故答案為：-1.

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【點評】本題考查了導數定義的理解和應用，解題的關鍵在于將所求的式子進行變形，屬于

基礎題.

13.(2021?湖南學業考試)若x>0,則/(x)=4+2x的最小值為二_

x

【考點】7F：基本不等式及其應用

【專題】11：計算題；33：函數思想；49：綜合法；5T：不等式；65：數學運算

【分析】由x>0,根據基本不等式即可求出〃x)的最小值.

【解答】解：,/x>0?

/(X)=-+2XTOJ-.2X=4,當且僅當2=2X,即x=l時取等號，

XVxX

.??/(X)的最小值為4.

故答案為：4.

【點評】本題考查了函數最值的求法，根據基本不等式求最值的方法，考查了計算能力，屬

于基礎題.

14.(2021?新余二模)已知向量萬=(1,2),刃=(0,-2),c=(-l,A),若(2(-口//3,則實數

A.=_—3__.

【答案】-3.

【考點】平面向量共線(平行)的坐標表示

【專題】方程思想；定義法；平面向量及應用；數據分析

【分析】推導出=(2,6),由(2寸一&//1,列方程能求出4.

【解答】解：?.?向量石=(1,2),A=(0,-2),c=

2a_.=(2,6),

v^a-b)Uc,

,2_6

..---=—J

-12

解得A=-3.

實數；l=-3.

故答案為：-3.

【點評】本題考查實數值的求法，考查向量坐標運算法則、向量平行的性質等基礎知識，考

查運算求解能力等數學核心素養，是基礎題.

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15.(2020秋?沈陽期末)某中學高三年級從甲、乙兩個班級各選出8名學生參加數學競賽,

他們取得的成績(滿分100分)的莖葉圖如圖所示，其中甲班學生成績的平均分是86,乙

班學生成績的中位數是83,則x+y的值為13.

甲Z

89764

65X2811J

649116

【考點】莖葉圖

【專題】數形結合；綜合法；概率與統計；數學運算

【分析】根據平均數和中位數的定義和公式，分別進行計算即可得到結論.

【解答】解：?.?甲班學生成績的平均分是86,

.-.-8-7-4-6+x-l+0+8+10=0,即x=8.

乙班學生成績的中位數是83,故y=5.

x+y=\3.

故答案為：13.

【點評】本題主要根據莖葉圖計算中位數與平均數，屬基礎題.

16.(2021春?深圳期末)已知函數/。)=卜“對》?〃有最大值，則實數”的取值范圍是

\-2x,x>a

［-12_+<?)_?

【答案】［―1，+oo).

【考點】分段函數的應用

【專題】計算題；函數思想：轉化思想；定義法；函數的性質及應用；導數的概念及應用;

數學抽象；數學運算

【分析】令g(x)=x，-3x,則題意轉化為g(x)在(-00,上的最大值g(x),,3.開-2°,進而

再利用導數研究函數g(x)的最值建立不等式即可求解.

【解答】解：令g(x)=9-3x,貝Ijg，(x)=3x2-3=3(x2-l)=3(x-l)(x+l),

令g，(x)>0,解得x<-l或x>l；令g，(x)<0,解得

所以g(x)在(-8,-1)上單調遞增，在(-1,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，

因為函數/(x)有最大值，所以g(x)在(-8,4］上的最大值g。).,開-2a,

①當時，此時g(x)在(-co,a］上的最大值gNm?=g(a)=c?-3a開-2”,

第11頁共17頁

解得一或。開，又4?一1,所以0=-1；

②當一時，，此時g(x)在(TO,上的最大值g(x)g=g(-1)=2開-2〃，解得〃開-1,

又—所以—1<Q?1；

③當Q>1時，此時g(x)在(-8,上的最大值g(x)e=m〃x{/(-l),f(a)}開-2a,

即又即(2『-2二，解得一I.。.。或〃開，又°>1,所以。>1.

[f(a)fi-2a[八3a開-2a

綜上所述，a的取值范圍為[-1,+oo).

故答案為：[-1,+8).

【點評】本題考查分段函數的最值，考查利用導數研究函數單調性、最值，考查數學抽象和

數學運算的核心素養，屬于難題.

三.解答題(共5小題，滿分70分，每小題14分)

17.(2020秋?焦作期中)已知集合4={x||x_l|<2},B={x\l-m<x<2m+2].

(I)當機=1時，求a(NU^)；

(11)若8,求他的取值范圍.

【答案】(1)或x布}.

(2)(-co,1].

【考點】交、并、補集的混合運算

【專題】計算題；轉化思想；定義法；集合；數學運算

【分析】(I)根據集合的基本運算即可求電(N|j8；

(H)根據8=”,建立條件關系即可求實數切的取值范圍.

【解答】解：(I)當加=1時，B={x11-w<x<2/n+2}={%10<x<4},

集合4={x||x-l|<2}={x|-l<x<3}

則山8={劉-1<》<4}

.?.4(比8)="1*?-1或x用}.

(II)由81(/。的，可得

當8=0時，1-優開2〃z+2,可得加?；

3

第12頁共17頁

1一〃？<2〃？+2

當8W0時，要使成立，則，1?1一加,

2m+2*3

解得一!</???—,

32

綜上，可得實數機的取值范圍(Y0,1].

【點評】本題主要考查集合的基本運算，比較基礎.

18.(2021秋?城關區校級月考)已知函數/(2x)=2x-4'+4,函數〃x)只有兩個零點，設

這兩個零點為X1,x2(x,<x2).

(1)證明：x,e(-4,-3),x2e(2,3).

(2)證明：-7<2r'-2XJ<-5.

【考點】53：函數的零點與方程根的關系

【專題】33：函數思想；4R：轉化法；51：函數的性質及應用；65：數學運算

【分析】(I)求出/(x)的解析式，求出函數的零點范圍即可；(2)根據/(%)-/(%)=0以

及零點的范圍證明結論成立.

【解答】證明：(1)由/(2x)=2x-4'+4,則/(x)=x-2'+4,

f(-4)=-2^<0,/(-3)>0,f(2)>0,f(3)<0,

又函數/(x)只有兩個零點，這兩個零點為內，x2(x,<x2).

故X]e(-4,-3)，x2e(2,3);

(2)vx.,々(*<當)是函數〃x)的零點,

XX：

f(xi)=x]-2'+4=0,/(X2)=X2-2+4=0,

X

故f(x})—f(x2)=xt-x2-2'+2^=0,即2*'—2*2=x,-x2,

?/x,e(-4,-3);x2e(2,3),

—1

—7<X|—x2<—5,EP7<2'-2"<—5.

【點評】本題考查了函數的零點問題，考查不等式問題，是一道常規題.

19.(2015?綏化校級二模)某校甲、乙兩個班級各有5名編號分別為1,2,3,4,5的學生

第13頁共17頁

進行投籃訓練，每人投10次，投中的次數統計如下表:

學生1號2號3號4號5號

甲班65798

乙班48977

（1）從統計數據看，甲、乙兩個班哪個班的同學投籃水平更穩定（用數據說明）？

（2）在本次訓練中，從兩班中分別任選一個同學，比較兩人的投中次數，求甲班同學投中

次數多于乙班同學投中次數的概率.

【考點】眾數、中位數、平均數：極差、方差與標準差；列舉法計算基本事件數及事件發生

的概率

【專題】概率與統計

【分析】（1）根據兩組數據求出兩組數據的方差，比較可得哪組學生成績更穩定；

（2）分別計算在甲、乙兩班中各抽出一名同學及甲班同學投中次數多于乙班同學投中次數

的取法種數，代入古典概型概率公式，可得答案.

【解答】解：（1）兩個班數據的平均值都為7,……（2分）

甲班的方差其=；[（6-7）2+（5-7）2+（7-7）2+（9-7）2+（8-7月=2.....（3分）

乙班的方差爰=#（4-7）2+（8-7）2+（9-7）2+（7-7）2+（7-7）2]=?，……〃分）

因為際<5；,甲班的方差較小，所以甲班的投籃水平比較穩定…（6分）

（II）甲班1到5號記作a,b,c,d.e,乙班1到5號記作1,2,3,4,5,

從兩班中分別任選一個同學，得到的基本樣本空間為

Q={al>a2,a3,a4,a5>bl,bl,b3,b4>b5>cl,cl,c3,c4,c5>d\>d2,

d3,d4,d5,el,e2,e3,e4,e5},

共25個基本事件組成，這25個是等可能的；..…（8分）

將“甲班同學投中次數高于乙班同學投中次數”記作力,

則/={al,b\,cl,d\,（12,44,el,e4,e5},工由10個基本事件組成，……（10

分）

所以甲班同學投中次數高于乙班同學投中次數的概率為W=2…（12分）

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【點評】本題考查了方差的計算，古典概型概率計算公式，掌握古典概型概率公式：概率=

所求情況數與總情況數之比是解題的關鍵.

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20.(2020秋?瀘州期末)已知函數/(x)=(x-Ar)(x-4),其中％eR.

(I)求關于x的不等式〃x)>0的解集；

(H)對任意xe[l,3],若關于x的不等式/(x)>4k-5恒成立，求左的取值范圍.

【答案】(I)當k<4時，不等式的解集為(%,4)；

當左=4時，不等式的解集為(-co,4)U(4,+oo)；

當A>4時，不等式的解集為(4,4).

(II)(-00,25/5-4)

【考點】函數恒成立問題

【專題】計算題；分類討論：轉化思想；綜合法：函數的性質及應用；數學運算

【分析】(I)對k分類討論，即可求得一元二次不等式的解集；

(II)將不等式恒成立轉化為對任意xw[l,3],k<x+2-4恒成立，利用對勾函數的性

X

質求得y=X+3-4的最小值即可得解.

X

【解答】解：(I)不等式/(x)>0,即為不等式(x-Q(x-4)>0,

當&<4時，不等式的解集為(%,4)；

當左=4時，不等式的解集為(-co,4)U(4,+oo)；

當A>4時，不等式的解集為(4,我).

(H)對任意xw[l,3],不等式/(任>44-5恒成立,

所以對任意xe[l,3],不等式任-左)(x-4)>4%-5恒成立,

即對任意xe[l,3],%<x+2-4恒成立，

X

由對勾函數y=x+3-4在[1,6)單調遞減，在(右，3]單調遞增，

X

所以y=x+^-4在x=6處取得最小值為2癢4,

X

所以《<2行-4,

即A的取值范圍是(-co,2^5-4).

【點評】本題主要考查一元二次不等式的解法，不等式恒成立問題，考查分類討論與轉化的

數學思想，屬于中檔題.

21.(2020秋?海淀區校級月考)對非空數集N,B,定義N-8={x-川xw