本文發表在《中國數學教育》2010年12期共邊直角三角形的構造與應用本文發表在《中國數學教育》2010年12期張宜興（江蘇省沛縣初級中學221600）摘要：幾何課本里有全等三角形、相似三角形，而沒有共邊直角三角形，但共邊直角三角形在幾何圖形中出現的頻率卻很多，幾乎隨處可見，并且還有著廣泛的應用。特別是近幾年中考中，利用共邊直角三角形的特點去解應用題和證明幾何題頻頻出現，它及其貼近生活，充分調動了同學們“用數學”的意識。本文將對共邊直角三角形的三種情形的特點及應用做一剖析。關鍵詞：共邊直角三角形；構造與應用；用數學偉大的教育家陶行知先生的生活教育理論告誡我們：教育必須基于生活，源于生活，為了生活。現代教育理念也要求我們“教育不僅要使學生懂得知識，更要使他們學會應用”。翻閱近幾年的各地中考試題，就會發現很多試題的背景和現實生活密切聯系，如上海世博，哈爾濱冬奧會，校園安全等，充分體現了數學源于生活，服務于生活這一全新理念。特別是解直角三角形這一部分更是每年中考的必考知識點之一，它常以現實生活為背景，主要考查直角三角形的邊角關系及其應用，難度一般不會很大，但是卻能考查出考生應用知識解決問題的能力，尤其在構造具有公共邊的直角三角形解應用題和證明方面，更能體現學生“用數學”的能力和意識。數學家蘇步青認為：要學好數學，方法不外就是打好基礎、多做習題、多加思索和分析。從一般性的知識中找出共性，是一件事半功倍的事情。共邊直角三角形就是一類在解三角形和幾何證明題中經常應用的共性問題。共邊直角三角形的特點1、定義：如果兩個直角三角形有公共邊，稱為共邊直角三角形對，簡稱共邊直角三角形。2、特點：共邊直角三角形因是在兩個直角三角形中，并且有一條公共邊，因而我們常把這個公共邊作為“橋梁”，應用勾股定理和三角函數等數學知識建立兩個三角形中的邊的關系，從而贏得問題的求解。3、常見類型：公共直角邊和公共斜邊。二、共邊直角三角形的構造與應用（一）公共邊是直角邊的情形1、兩三角形在公共直角邊同側如圖，此時的兩共邊直角三角形有一個公共直角邊重合，另一條直角邊在同一條直線上，滿足BD-AD=BA。例1、如圖，在一次數學課外實踐活動中，要求測教學樓的高度AB．小剛在D處用高1.5m的測角儀CD，測得教學樓頂端A的仰角為30°，然后向教學樓前進40m到達E，又測得教學樓頂端A的仰角為60°．求這幢教學樓的高度AB．（眉山市2010年中考試題）分析：求旗桿高度、教學樓高度等是新課程要求同學們在綜合實踐課上要掌握的內容。本次考試就相當于一次作業檢查。本題中要求教學樓AB的高度，實際上只要求出AG的長度就可，而AG是共邊直角三角形AFG和ACG的公共邊，則由三角函數容易求得。解：在Rt△AFG中，∴在Rt△ACG中，∴又即∴∴（米）MNBA答：這幢教學樓的高度ABMNBA鞏固練習:《中華人民共和國道路交通管理條理》規定：“小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過千米/時．”如圖所示，已知測速站到公路的距離為30米，一輛小汽車在公路上由東向西行駛，測得此車從點行駛到點所用的時間為2秒，并測得，．計算此車從到的平均速度為每秒多少米（結果保留兩個有效數字），并判斷此車是否超過限速．（參考數據：，）2、兩三角形在公共邊兩側如圖，此時的兩共邊直角三角形有一個公共直角邊重合，另一條直角邊也在同一條直線上，但滿足BD+AD=BA。例2、為申辦2010年冬奧會，須改變哈爾濱市的交通狀況。在大直街拓寬工程中，要伐掉一棵樹AB，在地面上事先劃定以B為圓心，半徑與AB等長的圓形危險區，現在某工人站在離B點3米遠的D處，從C點測得樹的頂端A點的仰角為60°，樹的底部B點的俯角為30°.問：距離B點8米遠的保護物是否在危險區內？（2010年衡陽市中考試題）分析：本題聯系生活密切，趣味性強.在應用題中設計是否安全、合適等問題是十分常見的題型，比一般題目多了判斷的過程，千萬不要緊張。題目中要判斷保護物是否在危險區實際上就轉化為求樹高AB的長度，稍作分析可知，過C作AB的垂線，構造共邊直角三角形，通過簡單的三角形關系容易求得。解：過C作CE⊥AB，垂足為點E．∴CE∥DB∠CBD=∠ECB=30°∴四邊形BECD是矩形,BE=CD,CE=BD在Rt△BDC中，∵BD=3，∠CBD=30°．∴CD=BDtan∠30°==BE在Rt△ACE中，∵BD=CE=3∴AE=CEtan∠60°=3∴AB=AE+BE=3+=4≈6.928＜8∴保護物在危險區外BAC答：距離B點8米遠的保護物不在BAC鞏固練習:2009年首屆中國國際航空體育節在萊蕪雪野舉辦，期間在市政府廣場進行了熱氣球飛行表演.如圖，有一熱氣球到達離地面高度為36米的A處時，儀器顯示正前方一高樓頂部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°.為了安全飛越高樓，氣球應至少再上升多少米？（結果精確到0.1米（參考數據：）（二）公共邊是斜邊的情形如圖，此時的兩共邊直角三角形有一個公共斜邊重合，另兩條直角邊可在公共斜邊同側，也可在公共斜邊異側，均滿足AB+BD=AC+CD=AD。例3、如圖9，P是∠BAC內的一點，，垂足分別為點．求證：（1）；（2）點P在∠BAC的角平分線上．（2009年懷化市中考試題）分析：本題是一道幾何證明題，初看并沒有思路，但是稍作分析便會發現：欲證PE=PF,只需證PE、PF所在的三角形全等，但題目中沒有三角形，因此可連結AP構造兩個共邊直角三角形AEP和△AFP，證它們全等即可。這里AP作為橋梁，問題迎刃而解。（1）證之后，（2）則順手可得。證明：（1）如圖1，連結AP，∴∠AEP=∠AFP=又AE=AF，AP=AP，∴Rt△AEP≌Rt△AFP，∴PE=PF（2）△AEP≌Rt△AFP，∴∠EAP=∠FAP，∴AP是∠BAC的角平分線，故點P在∠BAC的角平分線上例4、如圖，已知：△ABC中，∠C=,D是BC的中點，DE⊥AB于E.求證：AE-BE=AC分析：AE、BE、AC不在同一個三角形中，勾股定理不好使用，如果連結AD，則構成共斜邊的兩個直角三角形，可用勾股定理連續證得。證明:連結AD,則AD是△ACD≌Rt△AED的公共邊，由勾股定理可得：AE+DE=AC+DC∴AE-(DC-DE)=AC在Rt△BED中，EB=BD-ED又CD=BD∴EB=BD-ED=CD-ED∴AE-EB=AC鞏固練習:如圖，四邊形ABDC中，∠ABD=∠ACD=，AB=BD=3，AC=4，求四邊形ABDC的面積。（三）公共邊是直角邊且兩個銳角互余的情形如圖，此時的兩共邊直角三角形除有一個公共直角邊重合外，且另一條直角邊也在同一條直線上，還有∠ACD+∠BCD=，這時圖形中有三對相似三角形，并且還有相應的邊角之間的關系。如圖，三角形之間有△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD，邊長之間有：AC=AD·AB，BC=BD·AB，CD=AD·BD，角與角之間有：∠A=∠BCD，∠B=∠ACD，它們常用于計算和證明。例5、如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，BD=4，求CD的長。分析：圖中共有6條線段，任知其二，我們可以順求其四。簡解：易知，Rt△ACD∽Rt△CBD，∴CD=AD·BD∴CD=1×4=4∴CD=2.例6、如圖所示，AD是△ABC斜邊上的高，DE⊥DF,且DE和DF分別交AB、AC于E、F.求證：=（2010年合肥市中考試題）分析：所證比利式中四條線段為△AFD與△BED的邊，只需證△AFD與△BED相似即可。簡證：由題易知，∠B=∠DAC，∠C=∠BAD.又因為∠ADF與∠BDE都是∠ADE的余角，∴∠ADF=∠BDE，∴△AFD∽△BED，∴=鞏固練習:如圖,已知Rt△ABC中,斜邊BC上的高AD＝4,cosB＝,求AC的長。公共邊是共邊三角形的橋梁和紐帶，它起著搭橋和牽線的作用。共邊直角三角形則是解決測旗桿、樓房、高山的高度、測量樓間距、判斷輪船是否觸礁，修建公路時判斷道路是否通過某一保護區、判斷噪音源能否影響某一地方等諸多問題和一類共斜邊直角三角形的證明問題的一個好抓手，基礎，典