15/152021北京高三二模數學匯編：數列一．選擇題（共2小題）1．（2021?昌平區二模）中國歷法推測遵循以測為輔，以算為主的原則．例如《周髀算經》里對二十四節氣的晷影長的記錄中，冬至和夏至的晷影長是實測得到的，其它節氣的晷影長則是按照等差數列的規律計算得出的．二十四節氣中，從冬至到夏至的十三個節氣依次為：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種、夏至．已知《周髀算經》中記錄某年的冬至的晷影長為13尺，夏至的晷影長是1.48尺，按照上述規律，那么《周髀算經》中所記錄的立夏的晷影長應為（）A．3.4尺 B．4.36尺 C．5.32尺 D．21.64尺2．（2021?西城區二模）記Sn為等比數列{an}的前n項和，已知a1＝8，a4＝﹣1，則數列{Sn}（）A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項 C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項二．填空題（共3小題）3．（2021?朝陽區二模）在等差數列{an}中，已知a2＝5，a5＝2，則a3+a5+a7+a9＝．4．（2021?海淀區二模）已知數列{an}滿足a1＝2，an+1﹣2an＝0（n＝1，2，?），則{an}的前6項和為．5．（2021?順義區二模）已知{an}為等差數列，Sn為其前n項和，若a1＝6，S3＝2a1，則公差d＝，Sn的最大值為．三．解答題（共7小題）6．（2021?西城區二模）設A是正整數集的一個非空子集，如果對于任意x∈A，都有x﹣1∈A或x+1∈A，則稱A為自鄰集．記集合An＝{1，2，?，n}（n≥2，n∈N）的所有子集中的自鄰集的個數為an．（Ⅰ）直接寫出A4的所有自鄰集；（Ⅱ）若n為偶數且n≥6，求證：An的所有含5個元素的子集中，自鄰集的個數是偶數；（Ⅲ）若n≥4，求證：an≤2an﹣1．7．（2021?豐臺區二模）設數集S滿足：①任意x∈S，有x≥0；②任意x，y∈S，有x+y∈S或|x﹣y|∈S，則稱數集S具有性質P．（Ⅰ）判斷數集A＝{0，1，2，4}是否具有性質P，并說明理由；（Ⅱ）若數集B＝{a1，a2，?，an}且ai＜ai+1（i＝1，2，?，n﹣1）具有性質P．（ⅰ）當n＝2021時，求證：a1，a2，?，an是等差數列；（ⅱ）當a1，a2，?，an不是等差數列時，寫出n的最大值．（結論不需要證明）8．（2021?東城區二模）已知等比數列{an}滿足a1+a2＝3，a4+a5＝24．（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求數列{bn}的前n項和Sn．條件①：設bn＝log2a2n﹣1；條件②：設bn＝an+2n．9．（2021?昌平區二模）已知數列{an}的前n項和為Sn，n∈N*，從條件①、條件②和條件③中選擇兩個作為已知，并完成解答：（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）設等比數列{bn}滿足b2＝a4，b3＝a7，求數列{an+bn}的前n項和Tn．條件①：a1＝﹣3；條件②：an+1﹣an＝2；條件③：S2＝﹣4．10．（2021?房山區二模）已知數列{an}是一個公比為q（q＞0，q≠1）的等比數列，a1＝1，Sn是數列{an}的前n項和，再從條件①、②、③這三個條件中選擇一個作為已知，解答下列問題：（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）令bn＝2log2an﹣7，求數列{bn}的前n項和Tn的最小值．條件①：4a2，3a3，2a4成等差數列；條件②：Sn＝2an﹣1；條件③：S3＝7．11．（2021?豐臺區二模）已知數列{an}中，a1＝1，且滿足_____．（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）求數列{an+2n﹣1}的前n項和Sn．從①an+1＝2an（n∈N*）；②an+1﹣an＝2（n∈N*）；③an+1+an＝2（n∈N*）這三個條件中選擇一個，補充在上面的問題中并作答．12．（2021?順義區二模）已知數列{an}（an∈N），記Sn＝a1+a2+?+an，首項a1＝n0＞0，若對任意整數k≥2，有0≤ak≤k﹣1，且Sk是k的正整數倍．（Ⅰ）若a1＝21，寫出數列{an}的前10項；（Ⅱ）證明：對任意n≥2，數列{an}的第n項an由a1唯一確定；（Ⅲ）證明：對任意正整數n0，數列{Sn}從某一項起為等差數列．

2021北京高三二模數學匯編：數列參考答案一．選擇題（共2小題）1．【分析】由題意可得等差數列的a1＝13，a13＝1.48，求解公差，再由通項公式求a10．【解答】解：由題意，冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種、夏至的晷影長構成以a1＝13，a13＝1.48的等差數列，設公差為d，則d＝，立夏的晷影長為a10＝a1+9d＝13+9×（﹣0.96）＝4.36．故選：B．【點評】本題考查等差數列的通項公式，是基礎的計算題．2．【分析】根據題意，由等比數列的通項公式求出數列的公比q，進而求出Sn的表達式，分n為奇數和偶數兩種情況討論，分析{Sn}的最大項和最小項，即可得答案．【解答】解：根據題意，等比數列{an}中，a1＝8，a4＝﹣1，則q3＝＝﹣，則q＝﹣，則Sn＝＝＝[1﹣（﹣）n]，若n為奇數，則Sn＝[1+]，此時有S1＞S3＞……＞Sn＞，若n為偶數，則Sn＝[1﹣]，此時有S2＜S4＜……＜Sn＜，故S1最大，S2最小，故選：A．【點評】本題考查等比數列的求和，關鍵是求出數列的公比，屬于基礎題．二．填空題（共3小題）3．【分析】直接利用已知條件建立方程組求出數列的通項公式．【解答】解：（1）設等差數列{an}公差為d，∵a2＝5，a5＝2，∴，解得a1＝6，d＝﹣1，∴an＝7﹣n，∴a3+a5+a7+a9＝4a6＝4，故答案為：4．【點評】本題考查的知識要點：數列的通項公式的求法及應用，屬于基礎題．4．【分析】根據題意判斷數列{an}是等比數列，再計算其前6項和．【解答】解：數列{an}中，a1＝2，an+1﹣2an＝0，所以＝2，所以數列{an}是公比為2的等比數列，其前6項和為S6＝＝＝27﹣2＝126．故答案為：126．【點評】本題考查了等比數列的定義與前n項和公式計算問題，是基礎題．5．【分析】由已知結合等差數列的求和公式可求d，然后結合求和公式及二次函數的性質可求．【解答】解：因為{an}為等差數列，a1＝6，S3＝2a1，所以3×6+3d＝12，則d＝﹣2，Sn＝6n+＝7n﹣n2，結合二次函數的性質可知，當n＝3或n＝4時，Sn取最大值12．故答案為：﹣2，12．【點評】本題主要考查了等差數列的通項公式及求和公式的應用，二次函數性質的應用，屬于基礎題．三．解答題（共7小題）6．【分析】（Ⅰ）通過題意可寫出在A4所有自鄰集即在4范圍內組成的集合．（Ⅱ）利用配對原則證明對于An的含5個元素的自鄰集B＝{x1，x2，x3，x4，x5}，不妨設x1＜x2＜x3＜x4＜x5．構造集合C＝{n+1﹣x5，n+1﹣x4，n+1﹣x3，n+1﹣x2，n+1﹣x1}，它們是不相鄰的集合也是自鄰集，這樣可得證結論．（Ⅲ）自鄰集中最大元素為k的自鄰集的個數為bk，k＝1，2，3，?，n．n≥4，an﹣1＝b2+b3+?+bn﹣1，an＝b2+b3+?+bn﹣1+bn，an＝an﹣1+bn，下面只需要證明：bn≤an﹣1．①自鄰集含有n﹣2，n﹣1，n這三個元素②自鄰集含有n﹣1，n這兩個元素，不含n﹣2，且不只有n﹣1，n這兩個元素，③自鄰集只含有n﹣1，n這兩個元素，這樣的自鄰集只有1個．可得bn與an﹣1的關系，【解答】解：（Ⅰ）A4的所有自鄰集有：{1，2，3，4}，{1，2，3}，{2，3，4}，{1，2}，{2，3}，{3，4}．（Ⅱ）證明：對于An的含5個元素的自鄰集B＝{x1，x2，x3，x4，x5}，不妨設x1＜x2＜x3＜x4＜x5．因為對于?xi∈B，都有xi﹣1∈B或xi+1∈B，i＝1，2，3，4，5，所以x2＝x1+1，x4＝x5﹣1，x3＝x2+1或x3＝x4﹣1．對于集合C＝{n+1﹣x5，n+1﹣x4，n+1﹣x3，n+1﹣x2，n+1﹣x1}，因為1≤x1＜x2＜x3＜x4＜x5≤n，所以1≤n+1﹣xi≤n，i＝1，2，3，4，5，n+1﹣x5＜n+1﹣x4＜n+1﹣x3＜n+1﹣x2＜n+1﹣x1，所以C?An．因為x2＝x1+1，x4＝x5﹣1，x3＝x2+1或x3＝x4﹣1．所以n+1﹣x2＝（n+1﹣x1）﹣1，n+1﹣x4＝（，n+1﹣x3）+1，n+1﹣x3＝（n+1﹣x4）+1或n+1﹣x3＝（n+1﹣x2）﹣1，所以對于任意n+1﹣xi+1∈C或n+1﹣xi﹣1∈C，i＝1，2，3，4，5，所以集合C也是自鄰集．因為當n為偶數時，x3≠n+1﹣x3，所以B≠C．所以對于集合An的含5個元素的自鄰集，在上述對應方法下會存在一個不同的含有5個元素的自鄰集與其對應．所以，An的所有含5個元素的子集中，自鄰集的個數是偶數．（Ⅲ）證明：記自鄰集中最大元素為k的自鄰集的個數為bk，k＝1，2，3，?，n．當n≥4時，an﹣1＝b2+b3+?+bn﹣1，an＝b2+b3+?+bn﹣1+bn，顯然an＝an﹣1+bn．下面證明：bn≤an﹣1．①自鄰集含有n﹣2，n﹣1，n這三個元素，記去掉的這個自鄰集中的元素的集合為D，因為n﹣1．n﹣2∈D，所以D仍是自鄰集，且集合D中的最大元素是n﹣1，所以含有n﹣2，n﹣1，n這三個元素的自鄰集的個數為bn﹣1．②自鄰集含有n﹣1，n這兩個元素，不含n﹣2，且不只有n﹣1，n這兩個元素，記自鄰集除n﹣1，n之外最大元素為m，則2≤m≤n﹣3，每個自鄰集去掉n﹣1，n這兩個元素后，仍為自鄰集．此時的自鄰集的最大元素為m，可將此時的自鄰集分為n﹣4；含有最大數為2的集合個數為b2，含有最大數為3的集合個數為b3，，??，含有最大數為n﹣3的集合個數為bn﹣3．則這樣的集合共有b2+b3+?+bn﹣3個．③自鄰集只含有n﹣1，n這兩個元素，這樣的自鄰集只有1個．綜上可得bn＝b2+b3+?+bn﹣3+bn﹣1+1≤b2+b3+?+bn﹣3+bn﹣1+bn﹣2＝an，所以bn≤an﹣1，所以若n≥4，求證：an≤2an﹣1．故n≥4時，an≤2an﹣1得證．【點評】本題為集合與數列的綜合類考題，是集合類的新定義，關鍵理解新定義并通過新定義進行求解．7．【分析】（Ⅰ）推導出4+1?A，|4﹣1|?A，由此推導出數集A不具有性質P．（Ⅱ）（i）由a2021+a2021＝2a2021＞a2021，得a2021+a2021?B，從而|a2021﹣a2021|＝0∈B，則a1＝0．由ai＜ai+1（i＝1，2，?，2020），得到a2021+ai?B（i＝2，3，?，2020）．a2021﹣ai∈B（i＝2，3，?，2020）．推導出a2021﹣ai＝a2022﹣i（i＝2，3，?，2020），a2020﹣ai＝a2021﹣i（i＝3，?，2019）．從而a3﹣a2＝a4﹣a3＝?＝a2019﹣a2018＝a2．由此能證明a1，a2，?，an是等差數列．（ii）n的最大值是4．【解答】解：（Ⅰ）因為4+1?A，|4﹣1|?A，所以數集A不具有性質P；…………（3分）（Ⅱ）（i）證明：因為a2021+a2021＝2a2021＞a2021，所以a2021+a2021?B．所以|a2021﹣a2021|＝0∈B，則a1＝0．因為ai＜ai+1（i＝1，2，?，2020），所以a2021+a2020＞a2021+a2019＞?＞a2021+a2＞a2021．所以a2021+ai?B（i＝2，3，?，2020）．所以a2021﹣ai∈B（i＝2，3，?，2020）．因為0＜a2021﹣a2020＜a2021﹣a2019＜?＜a2021﹣a2＜a2021，所以a2021﹣ai＝a2022﹣i（i＝2，3，?，2020）．①所以a2021＝a2020+a2，a2021＝a2019+a3．因為a2020+a2019＞a2020+a2018＞?＞a2020+a3＞a2020+a2＝a2021，所以a2020+ai?B（i＝3，4，?，2019）．所以a2020﹣ai∈B（i＝3，4，?，2019）．因為0＜a2020﹣a2019＜a2020﹣a2018＜?＜a2020﹣a3＜a2020，所以a2020﹣a2019＝a2，a2020﹣a3＝a2018．否則a2020﹣a2019＝ak（k≥3），得a2020≥a3+a2019＝a2021矛盾．a2020﹣a3＝ai（i≥2019），得a2020≥a3+a2019＝a2021矛盾．所以a2020﹣ai＝a2021﹣i（i＝3，?，2019）．②①﹣②得a2022﹣i﹣a2021﹣i＝a2021﹣a2020＝a2（i＝3，?，2019），即a3﹣a2＝a4﹣a3＝?＝a2019﹣a2018＝a2．所以ai+1﹣ai＝a2（i＝1，2，?，n﹣1）．所以a1，a2，?，an是等差數列．…………………（12分）（ii）n的最大值是4．…………………（14分）【點評】本題考查集合是否具有性質P的判斷與理由，考查等差數列的證明，考查實數的最大值的求法，考查運算求解能力等數學核心素養，是中檔題．8．【分析】（Ⅰ）根據題意，設等比數列{an}的公比為q，由等比數列的性質可得q3＝＝8，變形可得q的值，又由a1+a2＝a1+a1q＝3，則有a1的值，由等比數列的通項公式計算可得答案；（Ⅱ）若選擇條件①：求出數列{bn}的通項公式，由等差數列的前n項和公式計算可得答案；若選擇條件②：則bn＝an+2n＝2n﹣1+2n，由分組求和法分析可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根據題意，設等比數列{an}的公比為q，若a1+a2＝3，a4+a5＝24，則q3＝＝8，解可得q＝2，又由a1+a2＝a1+a1q＝3，則有a1＝1，故an＝a1qn﹣1＝2n﹣1，（Ⅱ）根據題意，若選擇條件①：則bn＝log2a2n﹣1＝2n﹣2，此時Sn＝0+2+4+6+……+2n﹣2＝＝n2﹣n；若選擇條件②：則bn＝an+2n＝2n﹣1+2n，此時Sn＝（1+2）+（2+4）+（4+6）+……+（2n﹣1+2n）＝（1+2+4+……+2n﹣1）+（2+4+6+……+2n）＝2n﹣1+n2+n．【點評】本題考查數列的求和，涉及等比數列的通項公式，屬于中檔題．9．【分析】（Ⅰ）由題意，不能選擇①③作為已知條件，否則題目條件不完善，當選擇①②和②③作為已知條件時，都可得到數列{an}是公差為2的等差數列，再求出首項，即可求得數列{an}的通項公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an＝2n﹣5，設等比數列{bn}的公比為q，則b2，b3可求，進一步求得公比與首項，可得等比數列{bn}的通項公式，再由數列的分組求和及等差數列與等比數列的前n項和公式求解數列{an+bn}的前n項和Tn．【解答】解：（Ⅰ）由題意，不能選擇①③作為已知條件，否則題目條件不完善．若選擇①②作為已知條件．∵a1＝﹣3，an+1﹣an＝2，∴數列{an}是以a1＝﹣3為首項，公差d＝2的等差數列．∴an＝2n﹣5．若選擇②③作為已知條件．∵an+1﹣an＝2，∴數列{an}是以a1為首項，公差為d＝2的等差數列．∵S2＝﹣4，∴a1+a2＝﹣4，則2a1+d＝﹣4，解得a1＝﹣3，∴an＝2n﹣5；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an＝2n﹣5，設等比數列{bn}的公比為q，則b2＝a4＝3，b3＝a7＝9，∴，．∴等比數列{bn}的通項公式為．可得．∴Tn＝（a1+b1）+（a2+b2）+?+（an+bn）＝（a1+a2+?+an）+（b1+b2+?+bn）＝[﹣3+（﹣1）+?+（2n﹣5）]+（1+3+?+3n﹣1）＝＝．【點評】本題考查等差數列與等比數列的通項公式及前n項和，訓練了數列的分組求和，考查運算求解能力，是中檔題．10．【分析】（Ⅰ）選①②③主要利用關系式的應用求出數列的通項公式；（Ⅱ）利用對數的運算求出數列的和，進一步利用二次函數性質的應用求出結果．【解答】解：（Ⅰ）選條件①，設數列的公比為q，由于4a2，3a3，2a4成等差數列；所以，整理得6q2＝4q+2q3，解得q＝2或1（舍去），所以，選條件②：Sn＝2an﹣1①；當n＝1時，a1＝1，當n≥2時，Sn﹣1＝2an﹣1﹣1②所以①﹣②得：an＝2an﹣1，故數列{an}是以1為首項，2為公比的等比數列，所以，（首項符合通項），所以．選條件③：S3＝7．所以，整理得，解得q＝2，所以．（Ⅱ）令bn＝2log2an﹣7＝2（n﹣1）﹣7＝2n﹣9，所以Tn＝b1+b2+...+bn＝＝（n﹣4）2﹣16，當n＝4時，最小值為﹣16．【點評】本題考查的知識要點：數列的通項公式的求法及應用，數列的求和的應用，主要考查學生的運算能力和數學思維能力，屬于基礎題．11．【分析】分別運用等比數列和等差數列的通項公式，可得（Ⅰ）；再由數列的分組求和，結合等比數列的求和公式，可得所求和．【解答】解：選①an+1＝2an（n∈N*）．（Ⅰ）因為，所以數列{an}是以1為首項，2為公比的等比數列．所以；（Ⅱ），所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列．所以．選②an+1﹣an＝2（n∈N*）．（Ⅰ）因為，所以數列{an}是以1為首項，2為公差的等差數列．所以an＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1；（Ⅱ），所以＝＝n2+2n﹣1．選③an+1+an＝2（n∈N*）．（Ⅰ）因為，所以．兩式相減得，即．又因為a1＝a2＝1，所以數列{an}是常數列．所以數列{an}的通項公式為．（Ⅱ），所以．【點評】本題考查等差數列和等比數列的通項公式和求和公式的運用，以及數列的分組求和，考查