06/707/7/6.2平面向量在幾何、物理中的應用舉例一、向量在幾何證明中的應用(15分鐘30分)1.已知△ABC中,=a,=b,且a·b<0,則△ABC的形狀為()A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形 D.等腰直角三角形【解析】選A.因為a·b=·=||·||cosA<0,所以A為鈍角,故△ABC為鈍角三角形.2.在四邊形ABCD中,=,且||=||,那么四邊形ABCD為()A.平行四邊形 B.菱形C.長方形 D.正方形【解析】選B.由=可知,該四邊形為平行四邊形,又由||=||知鄰邊相等,故該四邊形為菱形.3.△ABC頂點為A(a,0),B(-a,0),C(asinθ,acosθ),則△ABC為()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形【解析】選A.依題意可知a≠0,=(asinθ-a,acosθ),=(asinθ+a,acosθ),與不恒等,所以·=(asinθ)2-a2+(acosθ)2=a2(sin2θ+cos2θ)-a2=0,所以⊥,所以△ABC是直角三角形.4.(2020·北京高考)已知正方形ABCD的邊長為2,點P滿足=QUOTE(+),則||=________;·=________.?【解析】如圖建系,則A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),所以=(2,0),=(2,2),=(2,1),P(2,1),=(-2,1),||=QUOTE,又=(0,-1),所以·=-1.答案:QUOTE-15.在△ABC所在的平面內有一點P,如果2+=-,那么△PBC的面積與△ABC的面積之比是________.?【解析】因為2+=-=+=,所以2+-=3+=0,所以點P在邊AC上,且3|PA|=|PC|,所以QUOTE=QUOTE,如圖,設△ABC中AC邊上的高為h,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.求證:以A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D(4,6)為頂點的四邊形是一個矩形.【證明】因為=(4,-2),=(3,6),=(4,-2),=,=(3,6)不為零向量,且不與平行,所以以A,B,C,D為頂點的四邊形是平行四邊形.因為·=0,⊥,所以以A,B,C,D為頂點的四邊形是矩形.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.若在△ABC中AB=AC=1,|+|=QUOTE,則△ABC的形狀是()A.正三角形B.銳角三角形C.斜三角形 D.等腰直角三角形【解析】選D.由|+|=QUOTE,得+2·+=2,因為AB=AC=1,所以·=0,即AB⊥AC,所以△ABC為等腰直角三角形.【補償訓練】已知非零向量與滿足·=0,且||=QUOTE||,則△ABC為()A.等腰非等邊三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.三邊均不相等的三角形【解析】選A.不妨設=+,即為∠BAC平分線所在直線上的向量,又⊥,所以AB=AC,又=QUOTE≠,所以△ABC為等腰非等邊三角形.2.已知△ABC為等腰三角形,滿足AB=AC=QUOTE,BC=2,若P為底BC上的動點,則·(+)=()A.有最大值8 B.是定值2C.有最小值1 D.是定值4【解析】選D.設AD是等腰三角形的高,長度為QUOTE=QUOTE.故·=·2=2+2·=2=2×QUOTE=4.3.已知O是平面上一定點,滿足=+λ,λ∈[0,+∞),則P的軌跡一定通過△ABC的()A.內心 B.垂心 C.重心 D.外心【解析】選B.因為=+λ(+),所以-=λ(+),即=λ,因為cosB=,cosC=,所以·=-+=0,所以與λ垂直,即⊥,所以點P在BC的高線上,即P的軌跡過△ABC的垂心.4.設a,b,c為同一平面內具有相同起點的任意三個非零向量,且a與b不共線,a⊥c,|a|=|c|,則|b·c|的值一定等于()A.以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積B.以b,c為兩邊的三角形的面積C.以a,b為兩邊的三角形的面積D.以b,c為鄰邊的平行四邊形的面積【解析】選A.由題意可以畫出圖形:記=a,=b,=c,<b,c>=θ.因為這三個向量的起點相同,且滿足a與b不共線,a⊥c,|a|=|c|,利用向量的數量積定義,可得|b·c|=||b|·|c|cos<b,c>|=|OB|·|OC||cosθ|=|OB|·|OA|sin∠AOB,因為S△AOB=QUOTE|OA|·|OB|sin∠AOB,所以|b·c|等于以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積.【誤區警示】不作示意圖,從而將角混淆.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.在△ABC中,|AB|=2,|AC|=2QUOTE,∠BAC=45°,P為線段AC上任意一點,則·的可能值有()A.-B.-B.-1C.2D.3【解析】選CD.設=t(0≤t≤1),則=(1-t)因為=-=-(1-t),所以·=[-(1-t)]·t=t·-t(1-t)=2×2QUOTEt·cos45°-t(1-t)×QUOTE=8t2-4t=8QUOTE-QUOTE,因為0≤t≤1,所以-QUOTE≤·≤4,故2,3為可能取的值.6.下列命題中正確的是()A.若向量a與b同向,且|a|>|b|,則a>bB.對于非零向量a,b,c,若a·(b-c)=0,則b=cC.已知A,B,C是平面內任意三點,則++=0D.若O為△ABC所在平面內任一點,且滿足(-)·(+-2)=0,則△ABC為等腰三角形【解析】選CD.選項A中,向量不能比較大小,故錯誤;選項B中,由a·(b-c)=0,可得b=c或a⊥(b-c),故錯誤;選項C中,++=+=0,故正確;選項D中,(-)·(+-2)=·(+)=(-)·(+)=||2-||2=0,所以||=||,故△ABC為等腰三角形,正確.【光速解題】本題中AB易判斷錯誤,則可直接選CD.三、填空題(每小題5分,共10分)7.點O是△ABC所在平面內的一點,滿足·=·=·,則點O是△ABC的______心.?【解題指南】根據向量數量積的運算律可整理出·=0,即OB⊥AC;同理可得OA⊥BC,OC⊥AB,由垂心定義可知O為垂心.【解析】因為·=·,所以·=0,即·=0,所以OB⊥AC,同理可得OA⊥BC,OC⊥AB,所以點O為△ABC的垂心.答案:垂【補償訓練】過△ABC內一點M任作一條直線,再分別過頂點A,B,C作l的垂線,垂足分別為D,E,F,若++=0恒成立,則點M是△ABC的________心.?【解析】本題采用特殊位置法較為簡單.因為過△ABC內一點M任作一條直線,可將此直線特殊為過點A,則=0,有+=0.如圖,則有直線AM經過BC的中點,同理可得直線BM經過AC的中點,直線CM經過AB的中點,所以點M是△ABC的重心.答案:重8.已知P是△ABC的邊BC上任一點,且滿足=x+y,x,y∈R,則QUOTE+QUOTE的最小值是____.?【解析】因為點P落在△ABC的邊BC上,所以B,P,C三點共線,所以x+y=1.故QUOTE+QUOTE=QUOTE(x+y)=QUOTE+QUOTE+5≥4+5=9,當且僅當QUOTE=QUOTE,即x=QUOTE,y=QUOTE時取等號,所以QUOTE+QUOTE的最小值為9.答案:9四、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖,已知直角梯形ABCD中,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,過點C作CE⊥AB于點E,M為CE的中點.求證:(1)DE∥BC;(2)D,M,B三點共線.【證明】以E為原點,AB所在直線為x軸,EC所在直線為y軸建立平面直角坐標系,如圖.令||=1,則||=1,||=2,因為CE⊥AB,AD=DC,所以四邊形AECD為正方形,所以各點坐標分別為E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0).(1)因為=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),=(0,1)-(1,0)=(-1,1),所以=,即DE∥BC.(2)因為M為EC的中點,所以M(0,QUOTE),所以=(-1,1)-(0,QUOTE)=(-1,QUOTE),=(1,0)-(0,QUOTE)=(1,-QUOTE),所以=-,所以∥.又與有公共點,所以D,M,B三點共線.10.四邊形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且a·b=b·c=c·d=d·a,試問四邊形ABCD是什么圖形?【解析】因為a·b=b·c,所以b·(a-c)=0,即b⊥(a-c).同理d⊥(a-c),所以b∥d,同理a∥c,所以四邊形ABCD是平行四邊形.所以a=-c,故b·(a-c)=b·2a=0,所以a·b=0,故該四邊形為矩形.在△ABC所在平面內有一點H滿足+=+=+,則H點是△ABC的________.?【解析】因為=-,=-,=-,所以+=+,整理得·(-)=0,·=0,即AB⊥HC;同理可得AC⊥HB,BC⊥HA.所以可知H為垂心.答案:垂心【補償訓練】設P,Q分別是梯形ABCD的對角線AC與BD的中點.(1)試用向量證明:PQ∥AB;(2)若AB=3CD