第8講多邊形和平行四邊形

多邊形是四邊形章節第一節的內容，主要講解的是多邊形的內角和及外角和與邊數之間

的關系，比較基礎，題目相對較簡單.平行四邊形是特殊的四邊形的基礎內容，奠定了特殊

的四邊形的基礎，題型比較靈活，綜合性也比較強，是綜合證明題及計算題的理論依據，為

進一步學習特殊的平行四邊形打好基礎.

模塊一：多邊形

知識精講

1、由平面內不在同一直線上的一些線段首尾順次聯結所組成的封閉圖形叫做多動形.

2、組成多邊形的每一條線段叫做多邊形的邊；相鄰的兩條線段的公共端點叫做多邊形的

頂點.

3、多邊形相鄰兩邊所在的射線組成的角叫做多邊形的內角.

4、聯結多邊形的兩個不相鄰頂點的線段，叫做多邊形的對角線.

5、對于一個多邊形，畫出它的任意一邊所在的直線，如果其余各邊都在這條直線的一側，

那么這個多邊形叫做凸多邊形；否則叫做凹多邊形.

6、多邊形內角和定理：〃邊形的內角和等于（”-2）」80。.

7、由多邊形的一個內角的一邊和另一邊的反向延長線組成的角，叫做多邊形的外角.

8、對多邊形的每一個內角，從與它相鄰的兩個外角中取一個，這樣取得的所有外角的和，

叫做多邊形的外角和.

9、多邊形的外角和等于360°.

例題解析

例1.（2020?上海楊浦區?八年級期末）若一個多邊形的外角和與它的內角和相等，則這

個多邊形是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

例2.（2019?上海金山區?八年級期中）八邊形的內角和為度.

例3.（2018?上海金山區?八年級期中）如果一個多邊形的內角和是2160°,那么這個多

邊形的邊數是.

例4.（2019?上海上外附中）〃邊形的內角和是外角和的三倍，則〃=

5.（2020?上海市靜安區實驗中學八年級課時練習）有兩個各內角相等的多邊形，它們的

邊數之比為1：2,且第二個多邊形的內角比第一個多邊形的內角大15°,求這兩個多邊形

的邊數.

6.(2019?上海八年級課時練習)若一個多邊形除了一個內角外，其余各內角之和為

2570°,求這個內角的度數.

例7.(1)從五邊形的一個頂點出發，可畫出條對角線；

(2)從一個多邊形內的一點出發，分別聯結各個頂點，可得出6個三角形，這個多邊形共

有條對角線.

例8.已知一個多邊形的內角和是外角和的8倍，且這個多邊形的每個內角都相等，求

這個多邊形的邊數與每個內角的度數.

例9.一個多邊形除了一個內角外，其余各內角的和為2750°,這個內角是多少度?這個多邊

形有兒條邊?

例10.某人從點力出發，沿直線前進100米后向左轉30°,在沿著直線前進100米，又向

左轉，...，照這樣下去，他第一次回到出發點｛時，一共走了多少米.

例11.在四邊形相（力中，乙4=80°,N6和NC的外角分別為105°和32°,求N〃的度數.

例12.設一個凸多邊形，除去一個內角以外，其他內角的和為2570°,則該內角為

（）

A、40°B、90°C、120°D、130°

例13.一個凸“邊形的內角中，恰好有4個鈍角，則〃的最大值是（）

A、5B、6C、7D、8

例14.已知，一個多邊形的內角和與一個外角的差為1560°,求這個多邊形的邊數和這個外

角的度數.

例15.已知凸〃邊形A&…4（〃>4）的所有內角都是15°的整數倍，且

4+4+4=285。，那么"=.

模塊二：平行四邊形的概念及性質

1,兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形用符號“口”表示，

如：□ABCD.

2、平行四邊形性質定理

①如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的兩組對邊分別相等.

簡述為：平行四邊形的對邊相等.

②如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的兩組對角分別相等.

簡述為：平行四邊形的對角相等.

③如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的兩條對角線互相平分.

簡述為：平行四邊形的兩條對角線互相平分.

④平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是兩條對角線的交點.

⑤推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等.

例題解析

例1.（2018?上海虹口區?八年級期中）如圖所示，在平行四邊形中，EF過對角線的交

點，若AB=4,BC=7,0E=3,則四邊形EEDC的周長是（）

A.14B.11C.17D.10

例2.（2019?上海八年級課時練習）如圖所示，在oABCD中，EF〃AB,GH/7AD,下圖中

A.7B.8C.9D.10

例3.（2020?上海浦東新區?八年級月考）已知平行四邊形力四的周長為56頌，AB-.BC

=2：5,那么AD=cm.

例4.（2018?上海虹口區?八年級期中）如圖，平行四邊形4?切中，點C在邊力〃上，以

砥為折痕，將△/跖向上翻折，點4正好落在邊切上的點尸處，若△必尸的周長為8,△

。斯的周長為18,則用的長為.

例5.（2020?上海嘉定區?八年級期末）已知四邊形ABCO,點。是對角線AC與80

的交點，且Q4=OC,請再添加一個條件，使得四邊形A3CO成為平行四邊形，那么添

加的條件可以是一.（用數學符號語言表達）

例6.（2018?上海虹口區?八年級期中）在平行四邊形ABCD中，兩鄰角的度數比是7：

2,那么較小角的度數為度.

例7.（2019?上海民辦張江集團學校八年級月考）以不共線的三個已知點為頂點畫平行四

邊形，可以畫出____________個平行四邊形

例8.（2019?上海市婁山中學八年級月考）在口ABCD中，/A的平分線分BC成4c機和3

cm的兩條線段，則口ABCD的周長為.

例9.（2020?上海楊浦區?八年級期末）在平行四邊形ABCD中，如果NB=3NA,那么

ZA=度.

例10.（2019?上海普陀區?八年級期中）如圖，在中，NA=70°,將

64BCD繞頂點3順時針旋轉到口4BG2,當G2首次經過頂點C時，旋轉角

ZABA,=。.

Di

例11.在平行四邊形/版中，若N/的度數比N8大20°,則的度數為,Z

C的度數為.

例12.在口力靦中，E衽BC上,AB^BE,NAEB=70°,求平行四邊形腑》各內角的度數.

例13.如果口/版的周長是50的比比1短39那么徽為分別是多少.

例14如圖，在饗中，A5A償8,〃是底邊比上一點，DE//AC,DF//AB,求四邊形4?/

的周長.

A

BD

例15.如圖，已知平行四邊形4靦中，的平分線交于點后且/后2,DE=1,則平

行四邊形力時的周長等于.

例16.（2019?上海普陀區?八年級期中）如圖，在0ABeD中，NB=60°,

AELBC,AFLCD,垂足分別為點E、F

（1）求NE4尸的度數；

（2）如果A3=6,求線段AE的長.

例17.（2019?上海市西延安中學八年級期中）如圖，在SBC。中，/B、N0的平分線

分別交對邊于點E、F,交四邊形的對角線4c于點G、H.求證：AG=CH.

例18.如圖，靦的周長為60頌，對角線4C、劭相交于點0,已知△8%的周長比△力仍

的周長多8cm，求口46（力各邊的長.

例19.平行四邊形的一角平分線分對邊為3和4兩部分，這個平行四邊形的周長為

例20.如圖，在口加切中，AELBC、AFYCD,垂足分別為樂F,若N比50°,求/用￡

的度數.

例21.平面直角坐標系中，口力版的對角線交點在坐標原點，若1點的坐標為(4,3),6點

的坐標為(-2,2),求點C、。的坐標及口4靦的周長.

例22.在平面直角坐標系內，平行四邊形力及力的邊///A■軸，B、〃均在y軸上，又知道力、

〃在直線產2k1上，且8點坐標(0,1),求力、C、〃的坐標及SOABCO.

例23.如圖，已知o/及力的面積為24,求陰影部分的面積.

例24.已知在q/靦中，"是4。的中點，AD=2AB,求/威C的度數.

例25.如圖所示，平行四邊形/及力中，G、〃是對角線加上兩點，D俗BH,D2BE.

求證：/制滬N677/

例26.如圖所示，在平行四邊形［物中，DELAB于點、E,B后MODC.求證：NEMO34

BEM.

例27.如圖所示，在平行四邊形48位中，直線FH與AB、0相交，過點力、D、C、6向直線

切/作垂線，垂足分別為點C、F、E、H,求證：AG-DF=CE-BH.

例28.如圖，在平行四邊形4式。中，NBAD=60°,AE平令4BAD交CD千E,防平分/

ABC交切于F,又AE與跖交于0,已知妙好1.試求平行四邊形力靦的面積.

D_F

AB

例29.在EJABCD中,/力〃的平分線交直線比于點E,交直線園的延長線于點F.

(1)在圖1中證明CE=CF-,

(2)若/4?C=90°,G是跖的中點(如圖2),求/板的度數.

隨堂檢測

1.如果一個凸多邊形的每一個內角都等于140°,那么，這個多邊形共有多少條對角線?

2.兩個凸多邊形，它們的邊長之和為12,對角線的條數之和為19,那么這兩個多邊形的邊

數分別是和.

3.若一個多邊形的內角和是它外角和的3倍，求這個多邊形的邊數.

4.如圖，4?(力中，AF：FC=1：2,S4M則果.②的值為—

EB

5.如圖，oAfiCD中，BEVCD,BFLAD,垂足分別為樂F,若CE=2,DF=\,/EBF=60。

則CJABCD的面積為.

6.如圖，。被力的對角線相交于點0,且/屏C?,過點。作覦L4C,交于點機若△6BM

周長為a,那么￡7%時的周長為________.

7.在平面直角坐標系內，平行四邊形1也的邊45//y軸，B、。均在x軸上，又知道從D

在直線片2戶1上，且8點坐標（1,0）,求從a〃的坐標及Sdzg和C“sc°.

8.如圖所示，小華從M點出發，沿直線前進10米后，向左轉20°,再沿直線前進10米后,

又向左轉20°,…這樣走下去，他第一次回到出發地"時，行走了多少米？

9.如圖，已知"是4%/邊兒?的中點，CV交切于點反且小2%則圖中陰影部分面積

與/靦的面積之比為（）

1115

A-6B-43〃.冠

10.如圖，已知/用力是平行四邊形，6在4c上，AE=2EC,尸在48上，BF=2AF,如果△廢尸

的面積為2cm二則6筋的面積是.

11.如圖，&1及/中，/ABC=75°,AFLBC于F,AF交加于E,若應'=246,則乙傷9的

大小是（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

12.如圖，在UABCD中,“為4〃上一點，尸為48上一點，且應三郎，跖與加■交于點G,求

證：ZBGC=ADGC.

BC

13.如圖，在凸五邊形力比7應中，己知4?〃陽BC//AD,BE//CD,DE//AQ求證:AE//BD,

第8講多邊形和平行四邊形

多邊形是四邊形章節第一節的內容，主要講解的是多邊形的內角和及外角和與邊數之間

的關系，比較基礎，題目相對較簡單.平行四邊形是特殊的四邊形的基礎內容，奠定了特殊

的四邊形的基礎，題型比較靈活，綜合性也比較強，是綜合證明題及計算題的理論依據，為

進一步學習特殊的平行四邊形打好基礎.

模塊一：多邊形

知識精講

1、由平面內不在同一直線上的一些線段首尾順次聯結所組成的封閉圖形叫做多動形.

2、組成多邊形的每一條線段叫做多邊形的邊；相鄰的兩條線段的公共端點叫做多邊形的

頂點.

3、多邊形相鄰兩邊所在的射線組成的角叫做多邊形的內角.

4、聯結多邊形的兩個不相鄰頂點的線段，叫做多邊形的對角線.

5、對于一個多邊形，畫出它的任意一邊所在的直線，如果其余各邊都在這條直線的一側，

那么這個多邊形叫做凸多邊形；否則叫做凹多邊形.

6、多邊形內角和定理：〃邊形的內角和等于（”-2）」80。.

7、由多邊形的一個內角的一邊和另一邊的反向延長線組成的角，叫做多邊形的外角.

8、對多邊形的每一個內角，從與它相鄰的兩個外角中取一個，這樣取得的所有外角的和，

叫做多邊形的外角和.

9、多邊形的外角和等于360°.

例題解析

例1.（2020?上海楊浦區?八年級期末）若一個多邊形的外角和與它的內角和相等，則這

個多邊形是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】B

【分析】任意多邊形的外角和為360°,然后利用多邊形的內角和公式計算即可.

【詳解】解：設多邊形的邊數為n.根據題意得：（n-2）X180°=360°,

解得：n=4.故選：B.

【點睛】本題主要考查的是多邊形的內角和和外角和，掌握任意多邊形的外角和為360°

和多邊形的內角和公式是解題的關鍵.

例2.（2019?上海金山區?八年級期中）八邊形的內角和為度.

【答案】1080

【詳解】解：八邊形的內角和=18O°x（8-2）=1080°

例3.（2018?上海金山區?八年級期中）如果一個多邊形的內角和是2160。，那么這個多

邊形的邊數是

【答案】14

【分析】n邊形的內角和可以表示成（n-2）?180。，設這個多邊形的邊數是n,就得到方

程，從而求出邊數.

【詳解】解：設這個多邊形的邊數是n,則（n-2）?180°=2160°,

解得：n=14.則這個多邊形的邊數是14.故答案為：14.

【點睛】本題考查多邊行的內角和定理，關鍵是根據n邊形的內角和為（n-2）X180°解

答.

例4.（2019?上海上外附中）〃邊形的內角和是外角和的三倍，則〃=

【答案】8

【分析】根據“多邊形的內角和是外角和的三倍”，結合〃邊形的內角和公式和多邊形的外

角和為360°,列出關于〃的一元一次方程，解之即可.

【詳解】解：〃邊形的內角和為：（?-2）X180°,〃邊形的外角和為：360°,

根據題意得：（?-5）X180°=3X360°,解得：〃=8,故答案為：8.

【點睛】本題考查了多邊形的內角和與外角和，正確掌握多邊形的內角和公式和多邊形的

外角和為360。是解題的關鍵.

5.（2020?上海市靜安區實驗中學八年級課時練習）有兩個各內角相等的多邊形，它們的

邊數之比為1：2,且第二個多邊形的內角比第一個多邊形的內角大15°,求這兩個多邊形

的邊數.

【答案】12；24.

【分析】設它們的邊數分別為x、2x,根據多邊形的內角和公式即可表示出每一個內角的

度數，再根據第二個多邊形的內角比第一個多邊形的內角大15°,即可列方程求解.

【詳解】解：設它們的邊數分別為x、2x,由題意得

180(2x-2)180(x—2)

解得x=12,

2xx

經檢驗x=12是分式方程的根

答：這兩個多邊形的邊數為12和24.

【點睛】解答本題的關鍵是熟練掌握多邊形的內角和公式：180°(〃-2)

6.(2019?上海八年級課時練習)若一個多邊形除了一個內角外，其余各內角之和為

2570°,求這個內角的度數.

【答案】130°

【分析】設出相應的邊數和未知的那個內角度數，利用內角和公式列出相應等式，根據邊

數為正整數求解，進而求出多邊形的內角和，減去其余的角即可得到結果.

【詳解】設這個內角度數為x°,邊數為n,則(n-2)X180°-x=2570°,

nX180°=2930°+x,即x=nX180°-2930°,VO°<x<180°,

解得16.2VnV17.2,又；n為正整數，1.n=17,

則這個內角度數為180°X(17-2)-2570°=130°.

【點睛】解此題的關鍵在于利用內角和公式(n-2)X1800列出等式，再根據多邊形內角

的范圍得到關于邊數n的不等式，要注意多邊形的邊數n為正整數，所以在n的取值范圍

內取正整數即為n的值.

例7.(1)從五邊形的一個頂點出發，可畫出條對角線；

(2)從一個多邊形內的一點出發，分別聯結各個頂點，可得出6個三角形，這個多邊形共

有條對角線.

【難度】★

【答案】⑴2；(2)20.

【解析】(1)多邊形的一個頂點可以畫(〃-3)條對角線，所以是5-3=2條.

(2)由題意知，一個多邊形可以切割成(〃-2)個三角形，則(〃-2)=6,由多邊形的對

角線條數公式也二2,可知這個多邊形共有8*的-3)=20條對角線.

22

【總結】考察多邊形對角線的概念及條數公式.

例8.已知一個多邊形的內角和是外角和的8倍，且這個多邊形的每個內角都相等，求

這個多邊形的邊數與每個內角的度數.

【難度】★★

【答案】邊數是18,每個內角的度數為160。.

【解析】因為多邊形的外角都是360°,所以這個多邊形的內角和為360。X8=2880°,

又因為多邊形的內角和公式是180(〃-2),所以180(〃-2)=2880°,解得：n=18.

因為每個內角都相等，所以每個內角度數為2880°+18=160°.

【總結】考察多邊形內角和外角的應用.

例9.一個多邊形除了一個內角外，其余各內角的和為2750°,這個內角是多少度?這個多邊

形有幾條邊？

【難度】★★

【答案】18

【解析】設有"條邊，則內角和為180(〃-2).因為多邊形每個內角度數都大于0。小于

180°.所以2750Y180(〃-2)y2750+180,解此不等式地17.27Y18.27,“為邊

數只能取正整數，所以“=18.

【總結】考察多邊形內角和的應用.

例10.某人從點A出發，沿直線前進100米后向左轉30°,在沿著直線前進100米，又向

左轉，...，照這樣下去，他第一次回到出發點/時，一共走了多少米.

【難度】★★

【答案】1200米.

【解析】由題意知/回到出發點時，所走軌跡是一個正多邊形，由多邊形的外交和是360°,

所以360°+30°=12次，所以共走了12個100米，一共走了12X100=1200米.

【總結】考察多邊形外角和的應用.

例11.在四邊形/L%蘇中，Z/J=80°,N8和/C的外角分別為105°和32°,求/〃的度數.

【難度】★★

【答案】57°

【解析】多邊形外角和為360°,由題意知//的外角為180°-80°=100°,所以/。的

外角為360°-100°-105°-32°=123°,對應的/〃=180°-123°=57°.

【總結】考察多邊形外角和的應用.

例12.設一個凸多邊形，除去一個內角以外，其他內角的和為2570°,則該內角為

()

B、40°B、90°C、120°D、130°

【難度】★★

【答案】〃

【解析】設有〃條邊，則內角和為180因為多邊形每個內角度數都大于0°小于

180°.所以2570<180(〃-2)<2570+180,解此不等式地16.27Y〃Y17.27,

〃為邊數只能取正整數，所以〃=17,

所以這個內角為180(,7-2)-2570=18。x(17-2)-2570=130.

【總結】考察多邊形內角和的應用.

例13?一個凸〃邊形的內角中，恰好有4個鈍角，則〃的最大值是()

A、5B、6C、7D、8

【難度】★★★

【答案】C

【解析】因為多邊形的內角和是180°的倍數，所以內角中有4個鈍角，就會有(〃-4)

個直角或者銳角，可知內角和一定小于4X180。+(“-4)x90，

BP180(M-2)<4X180°+(“-4)X90,解得:n<8,最大值是7.

【總結】考察多邊形內角和的應用.

例14.已知，一個多邊形的內角和與一個外角的差為1560°,求這個多邊形的邊數和這個外

角的度數.

【難度】★★★

【答案】11,60°.

【解析】多邊形的內角和為180("-2),則這個外角為180(“-2)-1560,山丁每一個外

角都大于0°且小于180°,所以0cl80(”-2)-1560<180,解得10.7<〃<11.7,

所以〃=11,這個外角的度數為180(〃—2)-1560=180°x(l1—2)—1560°=60°.

【總結】考察多邊形內外角和的應用.

例15.已知凸〃邊形A4…A(〃>4)的所有內角都是15°的整數倍，且

+ZA,+ZA3=285°,那么”=.

【難度】★★★

【答案】10

【解析】多邊形的內角和為180(n-2),其余共(〃-3)個內角和為180(n-2)-285,

可知180(“-2)-285>0是15。的倍數也是(〃-3)的倍數，

180(77-2)-285180(〃-3)—105105(

——----』-----=————』------=180--^-=1512-

n-3n-3n-3IST

可知〃一3=1或者〃一3=7,又〃>4,所1以〃=10.

【總結】考察多邊形內外角和的應用.

模塊二：平行四邊形的概念及性質

2、兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形用符號“Q”表示,

如：oABCD.

2、平行四邊形性質定理

①如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的兩組對邊分別相等.

簡述為：平行四邊形的對邊相等.

②如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的兩組對角分別相等.

簡述為：平行四邊形的對角相等.

③如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的兩條對角線互相平分.

簡述為：平行四邊形的兩條對角線互相平分.

④平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是兩條對角線的交點.

⑤推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等.

例題解析

例1.（2018?上海虹口區?八年級期中）如圖所示，在平行四邊形中，EF過對角線的交

點，若AB=4,BC=7,OE=3,則四邊形EFDC的周長是（）

A.14B.11C.17D.10

【答案】C

【分析】由在平行四邊形ABCD中，EF過兩條對角線的交點0,易證得AAOP<ZXCOE,則可

得DF+CE=AD,EF=2OE=6,繼而求得四邊形FECD的周長.

【詳解】解：四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AD〃BC,OA=OC,CD=AB=4,AD=BC=7

.,.ZFA0=ZEC0,

在aAOE和△COF中，

ZFAO=ZECO

<OA=OC,

NAOF=NCOE

.,.△AOF^ACOE(ASA),

.?.AF=CE,0F=0E=3,，EF=6,

四邊形EFDC的周長是:

CD+DF+EF+CE=CD+DF+AF+EF=CD+AD+EF=4+7+6=17.

故選：C.

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質.此題難度適中，注

意掌握轉化思想與數形結合思想的應用.

例2.（2019?上海八年級課時練習）如圖所示，在oABCD中，EF〃AB,GH〃AD,下圖中

有（）個平行四邊形.

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【分析】由在平行四邊形ABCD中，EF〃AB,G1I〃AD,易得平行四邊形有：口ABCD,°ABFE,

°EFCD,口AGHD,°BCHG,°0EDH,°0FCH,口OEAG,QOGBF共9個.

【詳解】解：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，.\AB〃CD,AD〃BC,

VEF/7AB,GH〃AD,，AD〃GH〃BC,AB〃EF〃CD,

.,.平行四邊形有:°ABCD,oABFE,口EFCD,口AGHD,°BCHG,°0EDH,°0FCH,°0EAG,00GBF

共9個.

故選：C.

【點睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質.此題難度不大，注意掌握數形結合思想的

應用.

例3.（2020?上海浦東新區?八年級月考）已知平行四邊形48（力的周長為56CR,AB-.BC

—2：5,那么AD=cm.

【答案】20

【分析】由。/靦的周長為56°勿，根據平行四邊形的性質，即可求得/加比-28金，又由

AB-.8c=2：5,即可求得答案.

【詳解】解：：口48（力的周長為56M,班比’=28。勿，

；AB：8c=2：5,Z.AD=BC^-^―X28-20（cm）；故答案為：20.

2+5

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質.此題比較簡單，注意掌握平行四邊形的對邊相等

的性質的應用是解此題的關鍵.

例4.（2018?上海虹口區?八年級期中）如圖，平行四邊形4?切中，點￡■在邊/〃上，以

緲為折痕，將△/龐1向上翻折，點4正好落在邊切上的點尸處，若△戚的周長為8,△

期的周長為18,則用的長為_____.

【答案】5

【分析】分析題意，△砸?為△/龍的翻折后的三角形，則△必恒△/跖利用全等三角形

各對應邊相等、平行四邊形的性質及線段間的等量關系可求解叱的長.

【詳解】解：根據題意得△/^/△/1跳、，.?.獷‘=46,BF=AB.

;平行四邊形48微J.AD^BC,AB^DC.

；的周長為8,即爐（?%的=8,:.DF+DE+AE=8,BPDPrAD=S.

?.?△內⑦的周長為18,即Q即母'=18,：.FaAD^DC=}.3,即2m1次以三18.

；.2Q8=18,：.FC^.故答案為5.

【點睛】本題主要考查了折疊問題，已知折疊問題就是已知圖形的全等，折疊是一種對稱

變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置發

生了變化.

例5.（2020?上海嘉定區?八年級期末）已知四邊形ABC。，點。是對角線AC與8。

的交點，且。4=0。，請再添加一個條件，使得四邊形ABCD成為平行四邊形，那么添

加的條件可以是.（用數學符號語言表達）

【答案】OB=OD

【分析】由題意0A=0C,即一條對角線平分，根據平行四邊形的判定方法，可以平分另一

條對角線，也可以根據三角形全等，得出答案.

【詳解】解：如圖所示：

1--0A=0C,山定理：兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形,

二可以是0B=0D（答案不唯一）.

故答案為：OB=OD（答案不唯一）.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，一般有幾種方法：

①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，

②一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，

③兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，

④兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，

⑤兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.

例6.（2018?上海虹口區?八年級期中）在平行四邊形ABCD中，兩鄰角的度數比是7：

2,那么較小角的度數為_____度.

【答案】40

【分析】本題主要依據平行四邊形的性質，得出兩鄰角之和180°,再有兩鄰角的度數比

是7：2,得出較小角的度數.

【詳解】解：設兩鄰角分別為7x,2x,則7x+2x=180°,

解得：x=20。，.?.較小的角為40°.故答案為：40.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的基本性質，屬于基礎題，解答本題的關鍵是熟練掌

握平行四邊形的兩鄰角之和為180。.

例7.（2019?上海民辦張江集團學校八年級月考）以不共線的三個已知點為頂點畫平行四

邊形，可以畫出個平行四邊形

【答案】3

【分析】不在同??直線上的三點為A、B、C,連接43、BC、CA,分別以其中一條

線段為對角線，另兩邊為平行四邊形的邊，可構成三個平行四邊形.

【詳解】解：已知三點為A、B、C,連接A3、BC、CA,

2

①以A3為平行四邊形的對角線，BC、C4為兩邊可以畫出口ACS。；

②以CB為平行四邊形的對角線，84、C4為兩邊可以畫出QACEB：

③以C4為平行四邊形的對角線，BA、CB為兩邊可以畫出口4允產：

如圖，可構成的平行四邊形有三個：口ACBD,口ACEB,口ABCF.

故答案為：3.

【點睛】本題考查了畫平行四邊形的方法，關鍵是首先確定平行四邊形的對角線與兩邊，

再畫出圖形.

例8.(2019?上海市婁山中學八年級月考)在QABCD中，/A的平分線分BC成4cm和3

cm的兩條線段，則口ABCD的周長為.

【答案】20cm或22c加；

【分析】NA的平分線分BC成4cm和3cm的兩條線段，設NA的平分線交BC于E點，有兩

種可能，BE=4或3,證明AABE是等腰三角形，分別求周長.

【詳解】解：設NA的平分線交BC于E點,；AD〃BC,，NBEA=NDAE,

XZBAE=ZDAE,AZBEA=ZBAE.*.AB=BE.而BC=3+4=7.

①當BE=4時，AB=BE=4,0ABCD的周長=2X(AB+BC)=2X(4+7)=22；

②當BE=3時,AB=BE=3,口ABCD的周長=2X(AB+BC)=2X(3+7)=20.

所以nABCD的周長為22cm或20cm.

故答案為22cm或20cm.

【點睛】主要考查了平行四邊形的基本性質，并利用性質解題.平行四邊形基本性質：

①平行四邊形兩組對邊分別平行；

②平行四邊形的兩組對邊分別相等；

③平行四邊形的兩組對角分別相等；

④平行四邊形的對角線互相平分.

例9.(2020?上海楊浦區?八年級期末)在平行四邊形ABCD中，如果NB=3NA,那么

ZA=度.

【答案】45

【分析】由四邊形ABCO是平行四邊形，根據平行四邊形的對角相等，即可得

ZA=ZC.ZB=ZD，又由NA+NB=18O。，即可求得答案.

【詳解】解：四邊形A8CD是平行四邊形，.?.NA=NC,ZB=ZD.

QZB=3ZA,A+ZB=180°,：,ZA=45°.故答案為：45.

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質.解題的關鍵是注意數形結合思想與平行四邊形的

對角相等定理的應用.

例10.（2019?上海普陀區?八年級期中）如圖，在QABCD中，NA=70。，將

0ABC。繞頂點3順時針旋轉到oABGA，當GA首次經過頂點。時，旋轉角

NA&4,=_______

DI

【答案】40

【分析】由旋轉的性質可知：BC=BC>,得到NBCC尸NG,又因為旋轉角NABA產NCB3,根

據等腰三角形的性質計算即可.

【詳解】..yABCD繞頂點B順時針旋轉至如ABCD,.?.BCuBCi,.?.NBCCFNC”

VZA=70°,/.ZBCD=ZA=ZC,=70°,二/BCC產NG=70°,

AZCBC,=180°-2X70°=40°,：./ABA產40°,故答案為：40.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、旋轉的性質、等腰三角形的判定和性質以及三角

形的內角和定理，解題的關鍵是證明三角形CBG是等腰三角形.

例11.在平行四邊形4版中，若/月的度數比N5大20°,則的度數為,Z

C的度數為.

【難度】★

【答案】80°,100°.

【解析】因為是平行四邊形，所以NA+N8=18O,又NA-N8=20,

解得乙8=80；NA=1OO.因為平行四邊形的對角相等，所以NC=1OO.

【總結】考察平行四邊形的內角和及內角的性質.

例12.在中，E在.BC上,AFBE,N加廬70°,求平行四邊形4%力各內角的度數.

【難度】★

【答案】ZB=ZD=40:ZBAD=ZBCD=\40.

【解析】由題知，在△胡￡中，NBEA=NBAE=7G,所以/8=40=/￡>,

ZBAD=^BCD=\SO-40=140.

【總結】考察平行四邊形的內角度數相關知識點.

例13.如果口4版的周長是50c/?,四比9短3M那么微的分別是多少.

【難度】★

【答案】DA=14c/n,CD=1\cm.

【解析】平行四邊形的對邊平行且相等，所以AB+3C=50+2=25c〃?，又BC-AB=3cm,

解得BC=14c/n,4?=11an,又因為A8=CD,BC=AO,所以D4=14CTO,CD=1lc/n.

【總結】考察平行四邊形的邊的相關知識點.

例14如圖，在中，A&=A(=8,〃是底邊比1上一點，DE//AC,DF//AB,求四邊形4及"

的周長.

【難度】★

【答案】16

【解析】由題意知破74。，所以NC=/ED8,又因為NC=/B

所以NB=NEDB,得EB=ED.同理可得/7片/匕

所以四邊形四印的周長=/?■的力弓4七46小由肝

=4加/仁8+8=16.

【總結】考察平行四邊形的邊的平行性質的應用.

例15.如圖，已知平行四邊形4%力中，/45C的平分線交49于點反且4后2,DE=\,則平

行四邊形4?切的周長等于.

B

【難度】★

【答案】10

【解析】由題知NABE=NCBE.因為//儂?,

所以/4E3=NCBE,得ZABE=ZAEB，即4盡心2.

因為AD=AE+EA2+\=3,

所以平行四邊形48W的周長等于=2X(AB+AD)=2X(2+3)=10.

【總結】考察平行四邊形的綜合應用.

例16.(2019?上海普陀區?八年級期中)如圖，在口A6CD中，NB=6()°,

AEA.BC,AFA.CD,垂足分別為點E、F

(1)求ZE4尸的度數；

(2)如果AB=6,求線段AE的長.

【答案】(1)NE4F=6O°；(2)AE=3y/3

【分析】(1)利用平行四邊形的鄰角互補的知識先求出NC的度數，然后利用四邊形的內

角和定理即可求出NEAF的度數.

(2)求出/BAE的度數，然后在直角三角形中利用30°及勾股定理的知識求出AE的長.

【詳解】(1)；四邊形ABCD是平行四邊形，，AB〃CD,，NB+ZC=180°,

VZB=60°,AZC=120°,VAE±BC,AF1CD,/.ZAEC=ZAFC=90°,

在四邊形AECF中，ZEAF+ZAEC+ZC+ZAFC=360°,/.ZEAE=60°:

(2)在RtAABE中,ZAEB=90°,AB=6,

VZB=60°./.ZBA￡=30°,：.BE=-AB=3.

2

由勾股定理，得AE=dAB-BE2=a2-32=36,:-AE=30.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質以及勾股定理的應用，掌握平行四邊形的鄰角互補

及勾股定理是解題的關鍵.

例17.(2019?上海市西延安中學八年級期中)如圖，在口48。。中，/B、〃的平分線

分別交對邊于點E、F,交四邊形的對角線4c于點G、H.求證：AG=CH.

DE

G

【分析】先根據平行四邊形的性質，利用ASA判定AADH絲ZXCBG；再根據全等三角形的對

應邊相等,從而得到AH=CG,則AH+HG=CG+HG,即AG=CH.

【詳解】證明：?.?平行四邊形ABCD,...4。=CB,AD〃CB,ZADC=ZCBA

,：DE,DF分別為角平分線，AZDAH=/BCG,NCBG=ZADH,

(ZDAH=NBCG

在Z\ADH和ACBG中｛AD=CB：.AADH=ACBGQASA)

\ZCBG=NADH

：.AH=CG.；.AH+HG=CG+HG,即4G=CH.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質、平行四邊形的性質，熟練掌握平行四邊形的

性質是解決問題的關鍵.

例18.如圖，口/以》的周長為60頌，對角線4C、物相交于點。，己知的周長比△力如

的周長多8c/?,求口力靦各邊的長.

A1--------------刁。

B匕-------------

【難度】★

【答案】AB=CD=\\cm,BC=AD=\^cm.

【解析】由題知C%0c-C1M。H=8,且以=用

即B80C+BC-(微■04+初=BC-AB=8,

又因為2X(/6+a)=60,所以得8C+4分30,BC-AB=8,

所以AB=CD=11cm,BC=AD=19cm.

【總結】考察平行四邊形的性質的綜合應用.

例19.平行四邊形的一角平分線分對邊為3和4兩部分，這個平行四邊形的周長為

AD

B匕---------------'C

【難度】★★

【答案】20或22.

【解析】如圖由題意可分兩種情況：1、/夕3,ED=4,

山題知/43E=NC3E.因為/勿/笫，所以NAEB=NC3E,得ZABE=ZAEB，

即A界AB由,因為AD=AE+E廬3+4=7,

所以這個平行四邊形的周長為2X(AB+A"=2X(3+7)=20；

2、4氏4,汾3,同理可求這個平行四邊形的周長為22；

故該平行四邊形的周長為20或22.

【總結】考察平行四邊形的性質及等腰三角形的綜合應用.

例20.如圖，在口4BCD中,AELBC、AFA.CD,垂足分別為2F,若/比50°,求/用少

的度數.

【難度】★★

【答案】500.

【解析】因為平行四邊形的對角相等，所以48=/。=50.

因為平形四邊形的鄰角互補，所以N54￡>=180-50=130.

在直角三角形"傷中，ZBAE=40,同理ND4尸=40,

所以ZE4￡=130-40-40=50.

【總結】考察平行四邊形的性質及直角三角形的性質的綜合應用.

例21.平面直角坐標系中，口/笈力的對角線交點在坐標原點，若/點的坐標為(4,3),6點

的坐標為(-2,2),求點G〃的坐標及。力質的周長.

【難度】★★

【答案】C(-4,-3)；D(2,-2)；2>/29+2>/37.

【解析】因為平行四邊形的對角線相互平分，所以可知。點的坐標為(-4,-3),

〃點的坐標為(2,-2).由兩點點的距離公式可得AB=44+2)2+(3-2『=質,

CB=J（-2+4）2+（2+3）2=相，所以口ABCD的周長=2X（歷+屈）=2收+2炳.

【總結】考察平行四邊形的性質的在平面直角坐標系中的運用.

例22.在平面直角坐標系內，平行四邊形力及力的邊///x軸，B、〃均在y軸上，又知道/、

〃在直線尸2尸1上，且8點坐標(0,1),求4、C、〃的坐標及SoABco.

【難度】★★

【答案】/(I,1);<7(-1,-1)；〃(0,-1)；SBABCD=2.

【解析】由題意知力的縱坐標與6相同，

把片1代入尸2AH中，可得A的橫坐標為1,

所以/的坐標為/(I,1),〃為尸2尸1與y軸的交點，

所以〃為(0,-1).因為例7位且49=5,

所以，的坐標為(-1,-1).

從而可求切=1,BD2且BD1CD,所以S“BCO=8XBZ)=1X2=2.

【總結】考察平行四邊形的性質在平面直角坐標系中的應用.

例23.如圖，已知的面積為24,求陰影部分的面積.

【難度】★★

【答案】12.

【解析】因為平行四邊形是中心對稱圖形，可知每一個小陰

影三角形都有一個小空白三角形與之完全重合.

所以陰影部分的面積是24.

【總結】考察平行四邊形的中心對稱性的運用.

例24.已知在(力中，材是力。的中點，AA2AB,求/威C的度數.

【難度】★★

【答案】90°.

【解析】由題知4H加大券設NA8C=ND=20>.

則可得/ABM=ZMBC=Z/VWB=O）,在三角形〃比'中，DM=DC,"=2①，

可得NDMC=9O一①，所以Z&WC=18O-ZAAffi-/aWC=18O-①-（90—①）=90.

【總結】考察平行四邊形的性質的綜合應用.

例25.如圖所示，平行四邊形4比。中，G、〃是對角線加上兩點，DG=BH,DABE.

求證：4GE/NGFH.

【難度】★★

【解析】在ADFG與ABHE中,

因為DG-BH,D2BE,NCDB=NDBA,所以ADFG=ABHE,

所以GF=E"ZDGF=ZBHE.從而NFGH=ZGHE,所以GF//EH.

又因為辦‘=￡￥,所以四邊形謝='為平行四邊形，隊而/GEH2GFH.

【總結】考察平行四邊形的性質的應用.

例26.如圖所示，在平行四邊形/風/中，血L/6于點笈BM-MODC.求證：Z￡K?=3Z

BEM.

【難度】★★

【解析】延長EM交于“點，易證ABEM=ACMF（44S）,

則劭七陽即歷為序中點.

設NBEM=平,則/尸=N8EM=e，

在直角AFED中，ME=MP=MD,得NCDM=NF=@,

所以NEMD=NF+NMDC=2@,又因為。片必，

所以NMDC=NCMD=0,

綜上，ZEMC=NCMD+ZEMD=<p+2(p=3(p=3NBEM.

【總結】考察平行四邊形的性質及角的和差的綜合應用.

例27.如圖所示，在平行四邊形/比。中，直線F