1方差分析(Analysisofvariance,簡稱:ANOVA),是由英國統計學家費歇爾(Fisher)在20世紀20年代提出的,可用于推斷兩個或兩個以上總體均值是否有差異的顯著性檢驗.第1頁/共103頁第一頁，共104頁。2§1單因素方差分析例：為了比較三種不同類型日光燈管的壽命(小時),現將從每種類型日光燈管中抽取8個,總共24個日光燈管進行老化試驗,根據下面經老化試驗后測算得出的各個日光燈管的壽命(小時)，試判斷三種不同類型日光燈管的壽命是不是有存在差異.第2頁/共103頁第二頁，共104頁。3日光燈管的壽命(小時)類型壽命(小時)類型I52906210574050005930612060805310類型II58405500598062506470599054705840類型.III71306660634064707580656072906730引起日光燈管壽命不同的原因有二個方面:其一,由于日光燈類型不同,而引起壽命不同.其二,同一種類型日光燈管,由于其它隨機因素的影響,也使其壽命不同.第3頁/共103頁第三頁，共104頁。4在方差分析中,通常把研究對象的特征值,即所考察的試驗結果(例如日光燈管的壽命)稱為試驗指標.對試驗指標產生影響的原因稱為因素,“日光燈管類型”即為因素.因素中各個不同狀態稱為水平,如日光燈管三個不同的類型,即為三個水平.第4頁/共103頁第四頁，共104頁。5單因素方差分析僅考慮有一個因素A對試驗指標的影響.假如因素A有r個水平,分別在第i水平下進行了多次獨立觀測,所得到的試驗指標的數據第5頁/共103頁第五頁，共104頁。6每個總體相互獨立.因此,可寫成如下的數學模型:第6頁/共103頁第六頁，共104頁。7

方差分析的目的就是要比較因素A的r個水平下試驗指標理論均值的差異,問題可歸結為比較這r個總體的均值差異.第7頁/共103頁第七頁，共104頁。8檢驗假設第8頁/共103頁第八頁，共104頁。9假設等價于第9頁/共103頁第九頁，共104頁。10為給出上面的檢驗，主要采用的方法是平方和分解。即假設數據總的差異用總離差平方和分解為二個部分:一部分是由于因素A引起的差異,即效應平方和；另一部分則由隨機誤差所引起的差異，即誤差平方和。第10頁/共103頁第十頁，共104頁。11第11頁/共103頁第十一頁，共104頁。12證明：

第12頁/共103頁第十二頁，共104頁。13第13頁/共103頁第十三頁，共104頁。14第14頁/共103頁第十四頁，共104頁。15第15頁/共103頁第十五頁，共104頁。16第16頁/共103頁第十六頁，共104頁。17定理第17頁/共103頁第十七頁，共104頁。18方差來源平方和自由度均方F比因素Ar-1誤差n-r總和n-1單因素試驗方差分析表第18頁/共103頁第十八頁，共104頁。19第19頁/共103頁第十九頁，共104頁。20

例1設有5種治療蕁麻疹的藥，要比較它們的療效。假設將30個病人分成5組，每組6人，令同組病人使用一種藥，并記錄病人從使用藥物開始到痊愈所需時間，得到下面的記錄：(=0.05)第20頁/共103頁第二十頁，共104頁。21藥物類型治愈所需天數x15，8，7，7，10，824，6，6，3，5，636，4，4，5，4，347，4，6，6，3，559，3，5，7，7，6第21頁/共103頁第二十一頁，共104頁。22這里藥物是因子，共有5個水平，這是一個單因素方差分析問題，要檢驗的假設是“所有藥物的效果都沒有差別”。

第22頁/共103頁第二十二頁，共104頁。23第23頁/共103頁第二十三頁，共104頁。24方差來源平方和自由度均方F比因素A36.46749.1173.90誤差58.500252.334總和94.96729第24頁/共103頁第二十四頁，共104頁。25未知參數的估計第25頁/共103頁第二十五頁，共104頁。26第26頁/共103頁第二十六頁，共104頁。27第27頁/共103頁第二十七頁，共104頁。28第28頁/共103頁第二十八頁，共104頁。29在Excel上實現方差分析先加載''數據分析"這個模塊,方法如下:在excel工作表中點擊主菜單中“工具”點擊下拉式菜單中“加載宏”就會出現一個“加載宏”的框.

在“分析工具庫”前的框內打勾點擊“確定”.這時候再點擊下拉式菜單會新出現“數據分析”.然后就可以進行統計分析了.第29頁/共103頁第二十九頁，共104頁。30以下面的例子來說明用Excel進行方差分析的方法:保險公司某一險種在四個不同地區一年的索賠額情況記錄如表所示.試判斷在四個不同地區索賠額有無顯著的差異?第30頁/共103頁第三十頁，共104頁。31保險索賠記錄地區索賠額(萬元)A11.601.611.651.681.701.701.78A21.501.641.401.701.75A31.641.551.601.621.641.601.741.80A41.511.521.531.571.641.60第31頁/共103頁第三十一頁，共104頁。32在Excel工作表中輸入上面的數據點擊主菜單中“工具”點擊下拉式菜單中“數據分析”就會出現一個“數據分析”的框.

點擊菜單中“方差分析:單因素方差分析”點擊“確定”,出現“方差分析:單因素方差分析”框.第32頁/共103頁第三十二頁，共104頁。33在“輸入區域”中標定你已經輸入的數據的位置根據你輸入數據分組情況(是按行分或按列分)確定分組.選定方差分析中F檢驗的顯著水平選定輸出結果的位置點擊“確定”.

在你指定的區域中出現如下方差分析表:第33頁/共103頁第三十三頁，共104頁。34方差來源平方和自由度均方F比P-valueFcrit組間0.049230.01642.16590.12083.0491

組內0.1666220.0076總計0.215825方差分析表第34頁/共103頁第三十四頁，共104頁。35根據Excel給出的方差分析表,假設H0的判別有二種方法:第35頁/共103頁第三十五頁，共104頁。36第36頁/共103頁第三十六頁，共104頁。37第37頁/共103頁第三十七頁，共104頁。38方差分析的前提第38頁/共103頁第三十八頁，共104頁。39方差分析和其它統計推斷一樣,樣本的獨立性對方差分析是非常重要的,在實際應用中會經常遇到非隨機樣本的情況,這時使用方差分析得出的結論不可靠.因此,在安排試驗或采集數據的過程中,一定要注意樣本的獨立性問題.第39頁/共103頁第三十九頁，共104頁。40在實際中,沒有一個總體真正服從正態分布的,而方差分析卻依賴于正態性的假設.不過由經驗可知,方差分析F檢驗對正態性的假設并不是非常敏感,即,實際所得到的數據,若沒有異常值和偏性,或者說,數據顯示的分布比較對稱的話,即使樣本容量比較小(如每個水平下的樣本容量僅為5左右),方差分析的結果仍是值得依賴的.第40頁/共103頁第四十頁，共104頁。41方差齊性對于方差分析是非常重要的,因此在方差分析之前往往要進行方差齊性的診斷,檢驗方差齊性假設通常采用Barlett檢驗.不過，也可采用如下的經驗準則:當最大樣本標準差不超過最小樣本標準差的兩倍時,方差分析F檢驗結果近似正確.第41頁/共103頁第四十一頁，共104頁。42§3一元線性回歸分析一、確定性關系：當自變量給定一個值時，就確定應變量的值與之對應。如：在自由落體中，物體下落的高度h與下落時間t之間有函數關系：

變量與變量之間的關系

第42頁/共103頁第四十二頁，共104頁。43二、相關性關系：

變量之間的關系并不確定，而是表現為具有隨機性的一種“趨勢”。即對自變量x的同一值，在不同的觀測中，因變量Y可以取不同的值，而且取值是隨機的，但對應x在一定范圍的不同值，對Y進行觀測時，可以觀察到Y隨x的變化而呈現有一定趨勢的變化。第43頁/共103頁第四十三頁，共104頁。44如：身高與體重，不存在這樣的函數可以由身高計算出體重，但從統計意義上來說，身高者，體也重。如：父親的身高與兒子的身高之間也有一定聯系,通常父親高，兒子也高。第44頁/共103頁第四十四頁，共104頁。45我們以一個例子來建立回歸模型某戶人家打算安裝太陽能熱水器.為了了解加熱溫度與燃氣消耗的關系,記錄了16個月燃氣的消耗量,數據見下表.第45頁/共103頁第四十五頁，共104頁。46

月份平均加熱溫度燃氣用量

月份平均加熱溫度燃氣用量Nov.246.3Jul.01.2Dec.5110.9Aug.11.2Jan.438.9Sep.62.1Feb.337.5Oct.123.1Mar.265.3Nov.306.4Apr.134Dec.327.2May.41.7Jan.5211Jun.01.2Feb.306.9第46頁/共103頁第四十六頁，共104頁。47在回歸分析時,我們稱“燃氣消耗量”為響應變量記為Y,“加熱溫度”為解釋變量記為X,由所得數據計算相關系數得r=0.995,表明加熱溫度與燃氣消耗之間有非常好的線性相關性.如果以加熱溫度作為橫軸,以消耗燃氣量作為縱軸,得到散點圖的形狀大致呈線性.第47頁/共103頁第四十七頁，共104頁。48第48頁/共103頁第四十八頁，共104頁。49第49頁/共103頁第四十九頁，共104頁。50第50頁/共103頁第五十頁，共104頁。51第51頁/共103頁第五十一頁，共104頁。52第52頁/共103頁第五十二頁，共104頁。53第53頁/共103頁第五十三頁，共104頁。54一元線性回歸要解決的問題：第54頁/共103頁第五十四頁，共104頁。55參數估計第55頁/共103頁第五十五頁，共104頁。56整理得正規方程系數行列式第56頁/共103頁第五十六頁，共104頁。57第57頁/共103頁第五十七頁，共104頁。58第58頁/共103頁第五十八頁，共104頁。59

在誤差為正態分布假定下，的最小二乘估計等價于極大似然估計。第59頁/共103頁第五十九頁，共104頁。60采用最大似然估計給出參數的估計與最小二乘法給出的估計完全一致。采用最大似然估計給出誤差的估計如下：此估計不是的無偏估計。第60頁/共103頁第六十頁，共104頁。61例1K.Pearson收集了大量父親身高與兒子身高的資料。其中十對如下：父親身高x（吋）60626465666768707274兒子身高y（吋）63.665.26665.566.967.167.468.370.170求Y關于x的線性回歸方程。第61頁/共103頁第六十一頁，共104頁。62第62頁/共103頁第六十二頁，共104頁。63參數性質第63頁/共103頁第六十三頁，共104頁。64即為正態隨機變量的線性組合，所以服從正態分布。證明（1）第64頁/共103頁第六十四頁，共104頁。65（2）類似可得。第65頁/共103頁第六十五頁，共104頁。66回歸方程顯著性檢驗

采用最小二乘法估計參數，并不需要事先知道Y與x之間一定具有相關關系。因此μ(x)是否為x的線性函數：一要根據專業知識和實踐來判斷，二要根據實際觀察得到的數據用假設檢驗方法來判斷。第66頁/共103頁第六十六頁，共104頁。67（1）影響Y取值的，除了x，還有其他不可忽略的因素；（2）E(Y)與x的關系不是線性關系，而是其他關系；（3）Y與x不存在關系。若原假設被拒絕，說明回歸效果是顯著的，否則，若接受原假設，說明Y與x不是線性關系，回歸方程無意義?；貧w效果不顯著的原因可能有以下幾種：第67頁/共103頁第六十七頁，共104頁。68假設的檢驗統計量與方差分析方法類似，仍采用平方和分解。一般地，用來描述之間的總的差異大小，稱SST為總平方和。第68頁/共103頁第六十八頁，共104頁。69可以證明：第69頁/共103頁第六十九頁，共104頁。70可以證明，由參數估計的性質可知，當時，

第70頁/共103頁第七十頁，共104頁。71第71頁/共103頁第七十一頁，共104頁。72第72頁/共103頁第七十二頁，共104頁。73也可采用t檢驗第73頁/共103頁第七十三頁，共104頁。74例3檢驗例1中回歸效果是否顯著，取α=0.05。第74頁/共103頁第七十四頁，共104頁。75回歸系數的置信區間由第75頁/共103頁第七十五頁，共104頁。76第76頁/共103頁第七十六頁，共104頁。77回歸參數估計和顯著性檢驗的Excel實現

例1（續)前面我們已經分析了加熱溫度與燃氣消耗量之間的關系,認為兩者具有較好的線性關系,下面我們進一步建立燃氣消耗量(響應變量)與加熱溫度(解釋變量)之間的回歸方程.采用Excel中的“數據分析”模塊.在Excel工作表中輸入上面的數據點擊主菜單中“工具”點擊下拉式菜單中“數據分析”就會出現一個“數據分析”的框，點擊菜單中“回歸”，點擊“確定”,出現“回歸”框.第77頁/共103頁第七十七頁，共104頁。78在“Y值輸入區域”中標定你已經輸入的響應變量數據的位置,在“X值輸入區域”中標定你已經輸入的解釋變量數據的位置(注意:數據按“列”輸入)“置信度”中輸入你已經確定置信度的值選定輸出結果的位置點擊“確定”.在指定位置輸出相應的方差分析表和回歸系數輸出結果,例1的輸出結果如下所示,第78頁/共103頁第七十八頁，共104頁。79

自由度平方和均方F值P_值

回歸1168.581168.5811467.5511.415E-15誤差141.6080.115總的15170.189方差分析表第79頁/共103頁第七十九頁，共104頁。80

Coef.標準誤差tStatPvalueLower95%Upper95%Intercept1.0890.1397.8411.729E-060.7911.387X0.1890.00538.3091.415E-150.1780.200方差分析中,給出了假設檢驗的F檢驗.方差分析表中各項也與前一節方差分析表中的意義類似.值得注意的是,方差分析表中“均方”列中,相應于“誤差”行的值即為模型誤差方差的估計,即

=0.115.第80頁/共103頁第八十頁，共104頁。81第81頁/共103頁第八十一頁，共104頁。82第82頁/共103頁第八十二頁，共104頁。83預測預測一般有兩種意義.第83頁/共103頁第八十三頁，共104頁。84第84頁/共103頁第八十四頁，共104頁。85因此，根據觀測結果，點預測為第85頁/共103頁第八十五頁，共104頁。86第86頁/共103頁第八十六頁，共104頁。87第87頁/共103頁第八十七頁，共104頁。88第88頁/共103頁第八十八頁，共104頁。89第89頁/共103頁第八十九頁，共104頁。90第90頁/共103頁第九十頁，共104頁。91第91頁/共103頁第九十一頁，共104頁。92例合金鋼的強度y與鋼材中碳的含量x有密切關系。為了冶煉出符合要求強度的鋼常常通過控制鋼水中的碳含量來達到目的，為此需要了解y與x之間的關系。其中x：碳含量（％）y：鋼的強度（kg/mm2）數據見下：x0.030.040.050.070.090.100.120.150.170.20y40.539.541.041.543.042.045.047.553.056.0第92頁/共103頁第九十二頁，共104頁。93（1）畫出散點圖；（2）設μ(x)=α+βx,求α+β的估計；（3）求誤差方差的估計，畫出殘差圖；（4）檢驗回歸系數β是否為零（取α=0.05)；（5）求回歸系數β的95％置信區間；（6）求在x=0.06點，回歸函數的點估計和95％置信區間；（7）求在x=0.06點，Y的點預測和95％區間預測。

第93頁/共103頁第九十三頁，共104頁。940.030.050.070.090.110.130.150.170.1956545250484644424038（1）合金鋼的強度y