微分方程模型人口的預測第一頁，共四十頁，2022年，8月28日微分方程模型

在許多實際問題中，當直接導出變量之間的函數關系較為困難，但導出包含未知函數的導數或微分的關系式較為容易時，可用建立微分方程模型的方法來研究該問題.求出方程的解

——求出未知函數的解析表達式

——利用各種數值解法、數值軟件（如Matlab）求近似解不必求出方程的解

——根據微分方程的理論研究某些性質，或它的變化趨勢第二頁，共四十頁，2022年，8月28日

為了保持自然資料的合理開發與利用，人類必須保持并控制生態平衡，甚至必須控制人類自身的增長。本節將建立幾個簡單的單種群增長模型，以簡略分析一下這方面的問題。一般生態系統的分析可以通過一些簡單模型的復合來研究，大家若有興趣可以根據生態系統的特征自行建立相應的模型。

美麗的大自然

種群的數量本應取離散值，但由于種群數量一般較大，為建立微分方程模型，可將種群數量看作連續變量，甚至允許它為可微變量，由此引起的誤差將是十分微小的。離散化為連續，方便研究§5.6人口的預測第三頁，共四十頁，2022年，8月28日§5.6人口的預測世界人口年

1625183019301960197419871999人口（億）

5102030405060中國人口年

1908193319531964198219902000人口（億）

34.767.210.311.312.95研究人口變化規律控制人口過快增長做出較準確的預報建立人口數學模型第四頁，共四十頁，2022年，8月28日最簡單的人口增長模型—常用公式記今年人口為

x0,k年后人口為

xk,，年增長率為r則第五頁，共四十頁，2022年，8月28日模型1

馬爾薩斯（Malthus）模型——1798年提出假設：單位時間內人口的增長量與當時的人口成正比。（2）

（1）的解為：符號：則（1）

于是x（t）滿足如下微分方程：r--人口增長率（常數）（可分離變量微分方程）單位時間內人口的增長量第六頁，共四十頁，2022年，8月28日

馬爾薩斯模型的一個顯著特點：種群數量翻一番所需的時間是固定的。令種群數量翻一番所需的時間為T，則有：故（2）

當r>0時，表明人口將按指數規律無限增長，因此又稱為人口指數模型。與常用公式的一致第七頁，共四十頁，2022年，8月28日模型檢驗用P164給出的近兩個世紀的美國人口統計數據（以百萬作單位），對模型作檢驗。參數估計：r，x0可用已知數據利用線性最小二乘法進行估計（2）

（2）式兩邊取對數，得：（3）

以1790－1900年的數據擬合（3）式，用Matlab軟件計算得：r＝0.2743/10年，所有散點到曲線的距離平方和最小第八頁，共四十頁，2022年，8月28日Matlab計算示范以1790-1900年共計12個數據為例進行擬合：t=[0：11]；%輸入數據x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976];plot(t,x,’o’);

%畫散點圖y=log(x);p=polyfit(t,y,1)（3）

輸出結果：表示：第九頁，共四十頁，2022年，8月28日以1790-1900年共計12個數據為例畫出擬合圖形：t=[0:11];x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976];y=log(x);p=polyfit(t,y,1);

%一次函數的最小二乘擬合f=polyval(p,t);

%計算所擬合函數的函數值ff=exp(f);

%因為事先取過對數plot(t,x,'o',t,ff,'-')axis([0120100])第十頁，共四十頁，2022年，8月28日以1790-2000年共計12個數據為例進行擬合：r=0.20743/10年，x0=4.1884第十一頁，共四十頁，2022年，8月28日r=0.2022/10年，x0=6.0450以1790-2000年共計22個數據為例進行擬合：第十二頁，共四十頁，2022年，8月28日模型預測假如人口數真能保持每34.6年增加一倍，那么人口數將以幾何級數的方式增長。例如，到2510年，人口達2×1014個，即使海洋全部變成陸地，每人也只有9.3平方英尺的活動范圍，而到2670年，人口達36×1015個，只好一個人站在另一人的肩上排成二層了。故馬爾薩斯模型是不完善的。幾何級數的增長Malthus模型實際上只有在群體總數不太大時才合理，到總數增大時，生物群體的各成員之間由于有限的生存存空間，有限的自然資源及食物等原因，就可能發生生存競爭等現象。所以Malthus模型假設的人口凈增長率不可能始終保持常數，它應當與人口數量有關。第十三頁，共四十頁，2022年，8月28日指數增長模型的應用及局限性

與19世紀以前歐洲一些地區人口統計數據吻合.

適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代.

可用于短期人口增長預測.

不符合19世紀后多數地區人口增長規律.

不能預測較長期的人口增長過程.19世紀后人口數據人口增長率r不是常數(逐漸下降)第十四頁，共四十頁，2022年，8月28日模型2阻滯增長模型——邏輯斯蒂(Logistic)模型人口增長率應當與人口數量有關，即：r=r(x)

從而有：（4）r(x)是未知函數，但根據實際背景，它無法用擬合方法來求。為了得出一個有實際意義的模型，我們不妨采用一下工程師原則。工程師們在建立實際問題的數學模型時，總是采用盡可能簡單的方法。r(x)最簡單的形式是常數，此時得到的就是馬爾薩斯模型。對馬爾薩斯模型的最簡單的改進就是引進一次項（競爭項）對馬爾薩斯模型引入一次項（競爭項），令此時得到微分方程：或（5）（5）可改寫成：

（6）r--固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環境能容納的最大數量）第十五頁，共四十頁，2022年，8月28日

(2.6)式還有另一解釋，由于空間和資源都是有限的，不可能供養無限增長的種群個體，當種群數量過多時，由于人均資源占有率的下降及環境惡化、疾病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會提高。設環境能供養的種群數量的上界為xm（近似地將xm看成常數），x表示當前的種群數量，xm-x恰為環境還能供養的種群數量，（2.6）指出，種群增長率與兩者的乘積成正比，正好符合統計規律，得到了實驗結果的支持，這就是（2.6）也被稱為統計籌算律的原因。（2.5）被稱為Logistic模型或生物總數增長的統計籌算律，是由荷蘭數學生物學家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次項系數是負的，因為當種群數量很大時，會對自身增大產生抑制性，故一次項又被稱為競爭項?；颍?）（6）dx/dtxOxmxm/2第十六頁，共四十頁，2022年，8月28日對（6）分離變量：兩邊積分并整理得：令x(0)=x0，求得：故（6）的滿足初始條件x(0)=x0的解為：（7）易見：x(t)的圖形請看圖2txOxmx0xm/2S形曲線x增加先快后慢第十七頁，共四十頁，2022年，8月28日dx/dtxOxmxm/2txOx增加先快后慢xmx0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)指數增長模型Logistic模型的應用

經濟領域中的增長規律(耐用消費品的售量)，新產品的推廣.

種群數量模型(魚塘中的魚群,森林中的樹木).S形曲線第十八頁，共四十頁，2022年，8月28日參數估計先估計模型參數r,xm

.模型檢驗阻滯增長模型由統計數據用線性最小二乘法作參數估計例：美國人口數據(百萬)t186018701880…19601970198019902000x31.438.650.2…179.3204.0226.5251.4281.4r=0.2557/10年，xm=392.0886第十九頁，共四十頁，2022年，8月28日年實際人口計算人口(指數增長模型)計算人口

(阻滯增長模型)17903.96.03.918005.37.45.0…………1960179.3188.0171.31970204.0230.1196.21980226.5281.7221.21990251.4344.8245.32000422.1指數增長模型阻滯增長模型第二十頁，共四十頁，2022年，8月28日用模型計算2000年美國人口誤差約2.5%與實際數據比較(2000年281.4)=274.5模型的檢驗和預報

為作模型檢驗在參數估計時未用2000年實際數據加入2000年數據重估模型參數r=0.2490，xm=434.0x(2010)=306.0

預報美國2010年人口美國人口普查局2010年12月21日公布：截止到2010年4月1日美國總人口為3.087億.預報誤差不到1%！第二十一頁，共四十頁，2022年，8月28日Malthus模型和Logistic模型的總結

Malthus模型和Logistic模型均為對微分方程（4）所作的模擬近似方程。前一模型假設了種群增長率r為一常數，（r被稱為該種群的內稟增長率）。后一模型則假設環境只能供養一定數量的種群，從而引入了一個競爭項。

用模擬近似法建立微分方程來研究實際問題時必須對求得的解進行檢驗，看其是否與實際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因，對模型進行修改。

Malthus模型與Logistic模型雖然都是為了研究種群數量的增長情況而建立的，但它們也可用來研究其他實際問題，只要這些實際問題的數學模型有相同的微分方程即可。第二十二頁，共四十頁，2022年，8月28日新產品的推廣

經濟學家和社會學家一直很關心新產品的推銷速度問題。怎樣建立一個數學模型來描述它，并由此析出一些有用的結果以指導生產呢？以下是第二次世界大戰后日本家電業界建立的電飯煲銷售模型。

設需求量有一個上界，并記此上界為K，記t時刻已銷售出的電飯煲數量為x(t)，則尚未使用的人數大致為K－x(t)，于是由統計籌算律：記比例系數為k，則x(t)滿足：

此方程即Logistic模型，解為：還有兩個奇解:x=0和x=K

對x(t)求一階、兩階導數：第二十三頁，共四十頁，2022年，8月28日容易看出，x’(t)>0，即x(t)單調增加。由x’’(t0)=0，可以得出=1，此時，。當t<t0時，x’’(t)>0，x’(t)單調增加，而當t>t0時，x’’(t)<0，x’(t)單調減小。實際調查表明，銷售曲線與Logistic曲線十分接近，尤其是在銷售后期，兩者幾乎完全吻合。在銷出量小于最大需求量的一半時，銷售速度是不斷增大的，銷出量達到最大需求量的一半時，該產品最為暢銷，接著銷售速度將開始下降。所以初期應采取小批量生產并加以廣告宣傳；從有20%用戶到有80%用戶這段時期，應該大批量生產；后期則應適時轉產，這樣做可以取得較高的經濟效果。第二十四頁，共四十頁，2022年，8月28日定義

含有未知函數的導數(或微分)的方程，稱為微分方程.定義

如果一個函數代入微分方程后，方程兩端相等，則稱此函數為微分方程的解.通解特解例如，都是微分方程的解.是微分方程的解，因為附：微分方程簡介第二十五頁，共四十頁，2022年，8月28日一、可分離變量微分方程一階微分方程的一般形式是：如果一個一階微分方程能寫成形式，即能把微分方程寫成一端只含y

的函數和dy，例如定義另一端只含x

的函數和dx，則原方程就稱為可分離變量的微分方程.第二十六頁，共四十頁，2022年，8月28日的通解.分離變量得兩邊積分得即(C

為任意常數)或(此式含分離變量時丟失的解y=0)例1求微分方程解:說明:在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.第二十七頁，共四十頁，2022年，8月28日標準形式：未知函數及其導數都是一次的微分方程稱為一階線的系數是都是已知函數.如果稱為一階齊次線性微分方程.性微分方程.它的標準形式中二、一階線性微分方程的系數是1，和都在方程的左邊，和，則方程變為如果,則稱為一階非齊次線性微分方程.1.一階線性微分方程的概念第二十八頁，共四十頁，2022年，8月28日方程兩邊積分后得即為齊次方程的通解.（C為常數）分離變量后得將一階齊次線性微分方程2.一階齊次線性微分方程的通解第二十九頁，共四十頁，2022年，8月28日常數變易法作變換求解一階非齊次線性微分方程則即兩邊積分，得故非齊次線性微分方方程的通解為對應齊次方程通解非齊次方程特解把齊次方程通解中的常數變易為待定函數的方法.第三十頁，共四十頁，2022年，8月28日解：例1第三十一頁，共四十頁，2022年，8月28日二、伯努利（Bernoulli）方程伯努利方程的標準形式:令求出此方程通解后,換回原變量即得伯努利方程的通解.除方程兩邊,得解法:(線性方程)第三十二頁，共四十頁，2022年，8月28日的通解.解:

令則方程變形為其通解為將代入,得原方程通解:例1

求方程第三十三頁，共四十頁，2022年，8月28日四、二階線性微分方程時,稱為非齊次方程;時,稱為齊次方程.齊次方程通解非齊次方程特解解的結構線性無關）第三十四頁，共四十頁，20