《第1章三角形的初步知識》一、選擇題1．以下列各組線段為邊，能組成三角形的是（）A．2cm、2cm、4cm B．2cm、6cm、3cm C．8cm、6cm、3cm D．11cm、4cm、6cm2．下列說法：①三角對應相等的兩個三角形全等；②三邊對應相等的兩個三角形全等；③兩角與一邊對應相等的兩個三角形全等；④兩邊與一角對應相等的兩個三角形全等．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．如圖，三角形的外角是（）A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠44．若三角形的一個外角小于和它相鄰的內角，則這個三角形為（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定5．關于三角形的內角，下列判斷不正確的是（）A．至少有兩個銳角 B．最多有一個直角C．必有一個角大于60° D．至少有一個角不小于60°6．下列四組中一定是全等三角形的是（）A．兩條邊對應相等的兩個銳角三角形B．面積相等的兩個鈍角三角形C．斜邊相等的兩個直角三角形D．周長相等的兩個等邊三角形7．若AD是△ABC的中線，則下列結論錯誤的是（）A．AD平分∠BAC B．BD=DC C．AD平分BC D．BC=2DC8．如果三角形的一個內角等于其它兩個內角的差，這個三角形是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．斜三角形9．如圖，在△ABC中，BC邊上的垂直平分線交AC于點D，已知AB=3，AC=7，BC=8，則△ABD的周長為（）A．10 B．11 C．15 D．1210．已知一個三角形的三條高的交點不在這個三角形的內部，則這個三角形（）A．必定是鈍角三角形 B．必定是直角三角形C．必定是銳角三角形 D．不可能是銳角三角形二、填空題11．在△ABC中，AB=3，BC=7，則AC的長x的取值范圍是；等腰三角形的兩邊長分別是3和7，則其周長為．12．如圖，AD是△ABC的中線，△ABC的面積為100cm2，則△ABD的面積是cm2．13．一副三角板，如圖所示疊放在一起，則圖中∠α的度數是．14．如圖，△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的平分線相交于點O，若∠A=70°，則∠BOC=°．15．如圖，△ABC中，高BD、CE相交于點H，若∠A：∠ABC：∠ACB=3：2：4，則∠BHC=．16．用直尺和圓規作一個角等于已知角的示意圖如圖所示，則說明∠A′O′B′=∠AOB的依據是（填SSS，SAS，AAS，ASA中的一種）．三、解答題17．如圖，在△ABC中，∠BAC是鈍角，按要求完成下列畫圖，并用適當的符號在圖中表示（可以不寫作法，必須寫出結論）：①△ABC的角平分線AD②AC邊上的高③AB邊上的中線．18．尺規作圖：已知線段a，b和∠α．求作：△ABC，使BC=a，AC=b，∠C=∠α（畫出圖形，保留作圖痕跡，不寫作法，寫出結論）19．如圖：已知△ABC中，AD⊥BC于D，AE為∠BAC的平分線，且∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度數．20．如圖，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，試說明△ABD與△ACE全等．21．如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于O點，∠1=∠2，∠3=∠4．求證：OB=OD．22．如圖．在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直線上，下面有四個條件．請你在其中選三個作為已知條件，余下的一個作為結論，寫出一個正確的結淪，并說明理由．①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF．（填寫序號即可）已知：；結淪：；理由：23．如圖，點E、A、B、F在同一條直線上，AD與BC交于點O，已知∠CAE=∠DBF，AC=BD．說出∠CAD=∠DBC的理由．24．求作一點P，使點P到∠A兩邊的距離相等，且點P到點D和點E的距離相等．（保留作圖痕跡）

《第1章三角形的初步知識》參考答案與試題解析一、選擇題1．以下列各組線段為邊，能組成三角形的是（）A．2cm、2cm、4cm B．2cm、6cm、3cm C．8cm、6cm、3cm D．11cm、4cm、6cm【考點】三角形三邊關系．【分析】利用三角形三邊關系判斷即可，兩邊之和＞第三邊＞兩邊之差．【解答】解：A、2+2=4，故不選；B、2+3=5＜6，故不選；C、3+6=9＞8＞6﹣3=3，符合條件．D、4+6=10＜11，故不選．綜上，故選；C．【點評】利用三邊關系判斷時，常用兩個較小邊的和與較大的邊比較大小．兩個較小邊的和＞較大的邊，則能組成三角形，否則，不可以．2．下列說法：①三角對應相等的兩個三角形全等；②三邊對應相等的兩個三角形全等；③兩角與一邊對應相等的兩個三角形全等；④兩邊與一角對應相等的兩個三角形全等．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】全等三角形的判定．【分析】根據三角形全等的判定方法分別對四個命題進行判斷．【解答】解：三角對應相等的兩個三角形不一定全等，所以①錯誤；三邊對應相等的兩個三角形全等，所以②正確；兩角與一邊對應相等的兩個三角形全等，所以③正確；兩邊與它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，所以④錯誤．故選B．【點評】本題考查了全等三角形的判定：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊．3．如圖，三角形的外角是（）A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4【考點】三角形的外角性質．【分析】根據三角形外角的定義解答．【解答】解：根據三角形外角的定義可知，∠3是此三角形的外角．故選C．【點評】本題考查三角形外角的定義．分析時要嚴格按照定義進行，要看清是一條邊的延長線與它鄰邊的夾角才是三角形的外角．4．若三角形的一個外角小于和它相鄰的內角，則這個三角形為（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定【考點】三角形的外角性質．【分析】三角形的一個外角＜與它相鄰的內角，故內角＞相鄰外角；根據三角形外角與相鄰的內角互補，故內角＞90°，為鈍角三角形．【解答】解：如圖，∵∠1＜∠B，∠1=180°﹣∠B，∴∠B＞90°．∴△ABC是鈍角三角形．故選：C．【點評】本題考查了三角形外角的性質．三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角，可見外角與相鄰的內角互補．5．關于三角形的內角，下列判斷不正確的是（）A．至少有兩個銳角 B．最多有一個直角C．必有一個角大于60° D．至少有一個角不小于60°【考點】三角形內角和定理．【分析】可以利用反證的方法來判定各個命題是否正確．【解答】解：根據三角形的內角和定理，不正確的是：必有一個角大于60°．因為當三角形是等邊三角形時三個角都相等，都是60度．故選C．【點評】本題主要考查三角形的內角和定理，三角形的內角和是180度．6．下列四組中一定是全等三角形的是（）A．兩條邊對應相等的兩個銳角三角形B．面積相等的兩個鈍角三角形C．斜邊相等的兩個直角三角形D．周長相等的兩個等邊三角形【考點】全等三角形的判定．【分析】兩邊相等，面積相等，一邊相等的直角三角形或者角相等的三角形都不能證明三角形全等．【解答】A、錯誤，兩邊相等，但銳角三角形的角不一定相等；B、錯誤，面積相等但邊長不一定相等；C、錯誤，直角三角形全等的判別必須滿足直角邊相等；D、正確，等邊三角形的三邊一定相等，又周長相等，故兩個三角形的邊長分別對應相等．故選D．【點評】本題考查的全等三角形的判定；全等三角形的判別要求嚴格，條件缺一不可．做題時要結合已知與判定方法逐個驗證排除．7．若AD是△ABC的中線，則下列結論錯誤的是（）A．AD平分∠BAC B．BD=DC C．AD平分BC D．BC=2DC【考點】三角形的角平分線、中線和高．【分析】根據三角形的中線的概念：連接三角形的頂點和對邊中點的線段叫做三角形的中線．【解答】解：A、AD平分∠BAC，則AD是△ABC的角平分線，故本選項錯誤；AD是△ABC的中線，則有BD=DC，AD平分BC，BC=2DC，故B、C、D正確．故選A．【點評】本題主要考查三角形的中線的概念，并能夠正確運用幾何式子表示是解本題的關鍵．8．如果三角形的一個內角等于其它兩個內角的差，這個三角形是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．斜三角形【考點】三角形內角和定理．【分析】三角形三個內角之和是180°，三角形的一個角等于其它兩個角的差，列出兩個方程，即可求出答案．【解答】解：設三角形的三個角分別為：α、β、γ，則由題意得：，解得：α=90°故這個三角形是直角三角形．故選C．【點評】本題考查的是三角形內家和定理，熟知三角形的內角和等于180°是解答此題的關鍵．9．如圖，在△ABC中，BC邊上的垂直平分線交AC于點D，已知AB=3，AC=7，BC=8，則△ABD的周長為（）A．10 B．11 C．15 D．12【考點】線段垂直平分線的性質．【分析】要求△ABD的周長，現有AB=3，只要求出AD+BD即可，根據線段垂直平分線的性質得BD=CD，于是AD+BD=AC，答案可得．【解答】解：∵DE垂直且平分BC∴CD=BD．AD+BD=AD+CD=7∴△ABD的周長：AB+BD+AD=10．故選A【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質（垂直平分線上任意一點，和線段兩端點的距離相等），難度一般．對線段進行等效轉移是正確解答本題的關鍵．10．已知一個三角形的三條高的交點不在這個三角形的內部，則這個三角形（）A．必定是鈍角三角形 B．必定是直角三角形C．必定是銳角三角形 D．不可能是銳角三角形【考點】三角形的角平分線、中線和高．【分析】鈍角三角形的三條高所在的直線的交點在三角形的外部；銳角三角形的三條高所在的直線的交點在三角形的內部；直角三角形的三條高所在的直線的交點是三角形的直角頂點．【解答】解：一個三角形的三條高的交點不在這個三角形的內部，則這個三角形不可能是銳角三角形．故選D．【點評】通過三角形的形狀可以判斷三角形高線的位置，反之，通過三條高線交點的位置可以判斷三角形的形狀．二、填空題11．在△ABC中，AB=3，BC=7，則AC的長x的取值范圍是4＜x＜10；等腰三角形的兩邊長分別是3和7，則其周長為17．【考點】等腰三角形的性質；三角形三邊關系．【分析】（1）根據三角形的三邊關系：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，則第三邊的長度應是大于兩邊的差，而小于兩邊的和，這樣就可求出第三邊長的范圍．（2）因為邊為3和7，沒明確是底邊還是腰，所以有兩種情況，需要分類討論．【解答】解：（1）根據三角形的三邊關系，得AC的長x的取值范圍是7﹣3＜x＜7+3，即4＜x＜10．（2）分兩種情況：當3為底時，其它兩邊都為7，3、7、7可以構成三角形，周長為17；當3為腰時，其它兩邊為3和7，3+3=6＜7，所以不能構成三角形，故舍去，所以等腰三角形的周長為17．故答案為：4＜x＜10；17．【點評】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．12．如圖，AD是△ABC的中線，△ABC的面積為100cm2，則△ABD的面積是50cm2【考點】三角形的面積．【分析】根據等底等高的三角形面積相等可知，中線能把一個三角形分成兩個面積相等部分．【解答】解：∵AD是△ABC的中線，△ABC的面積為100cm2，∴△ABD的面積是S△ABC=50cm2．【點評】本題考查了三角形的中線的性質，三角形的中線把一個三角形分成兩個面積相等部分．13．一副三角板，如圖所示疊放在一起，則圖中∠α的度數是75°．【考點】三角形內角和定理．【分析】根據三角板的常數以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠1的度數，再根據直角等于90°計算即可得解．【解答】解：如圖，∠1=45°﹣30°=15°，∠α=90°﹣∠1=90°﹣15°=75°．故答案為：75°【點評】本題考查了三角形的外角性質以及三角形內角和定理，熟知三角板的度數是解題的關鍵．14．如圖，△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的平分線相交于點O，若∠A=70°，則∠BOC=125°．【考點】三角形內角和定理．【分析】先求出∠ABC+∠ACB的度數，根據平分線的定義得出∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，求出∠OBC+∠OCB的度數，根據三角形內角和定理求出即可．【解答】解：∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=110°，∵BO、CO分別是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分線，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=55°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣55°=125°．故答案為：125．【點評】本題考查了三角形內角和定理，角平分線定義的應用，注意：三角形的內角和等于180°．15．如圖，△ABC中，高BD、CE相交于點H，若∠A：∠ABC：∠ACB=3：2：4，則∠BHC=120°．【考點】三角形內角和定理．【分析】先設∠A=3x，∠ABC=4x，∠ACB=5x，再結合三角形內角和等于180°，可得關于x的一元一次方程，求出x，從而可分別求出∠A，∠ABC，∠ACB，在△ABD中，利用三角形內角和定理，可求∠ABD，再利用三角形外角性質，可求出∠BHC．【解答】解：∵在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：2：4，故設∠A=3x，∠ABC=2x，∠ACB=4x．∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴3x+2x+4x=180°，解得x=20°，∴∠A=3x=60°．∵BD，CE分別是邊AC，AB上的高，∴∠ADB=90°，∠BEC=90°，∴在△ABD中，∠ABD=180°﹣∠ADB﹣∠A=180°﹣90°﹣60°=30°，∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=30°+90°=120°．故答案為：120°【點評】本題考查了了三角形內角和定理、三角形外角的性質．三角形三個內角的和等于180°，三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和．16．用直尺和圓規作一個角等于已知角的示意圖如圖所示，則說明∠A′O′B′=∠AOB的依據是SSS（填SSS，SAS，AAS，ASA中的一種）．【考點】全等三角形的判定；作圖—基本作圖．【專題】計算題；三角形．【分析】利用全等三角形的判定方法判斷即可．【解答】解：用直尺和圓規作一個角等于已知角的示意圖如圖所示，則說明∠A′O′B′=∠AOB的依據是SSS，故答案為：SSS．【點評】此題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解本題的關鍵．三、解答題17．如圖，在△ABC中，∠BAC是鈍角，按要求完成下列畫圖，并用適當的符號在圖中表示（可以不寫作法，必須寫出結論）：①△ABC的角平分線AD②AC邊上的高③AB邊上的中線．【考點】作圖—基本作圖．【分析】①直接利用角平分線的作法得出AD；②直接利用垂線的作法得出BF即可；③首先得出AB的中點，進而得出答案．【解答】解：如圖所示：①AD即為所求；②BF即為所求；③CE即為所求．【點評】此題主要考查了基本作圖，正確掌握角平分線以及垂線的作法是解題關鍵．18．尺規作圖：已知線段a，b和∠α．求作：△ABC，使BC=a，AC=b，∠C=∠α（畫出圖形，保留作圖痕跡，不寫作法，寫出結論）【考點】作圖—復雜作圖．【分析】先作∠C=∠α，再在角的兩邊作AC=a，BC=b，連接即可．【解答】解．【點評】本題考查了三角形的一些基本畫法．19．如圖：已知△ABC中，AD⊥BC于D，AE為∠BAC的平分線，且∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度數．【考點】三角形內角和定理；角平分線的定義．【專題】計算題．【分析】首先根據三角形的內角和定理和角平分線的定義求出∠EAC的度數，再根據三角形的內角和定理求出∠DAC的度數，進而求∠DAE的度數．【解答】解：∵∠B=35°，∠C=65°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣35°﹣65°=80°．∵AE為∠BAC的平分線，∴∠EAC=∠BAC=×80°=40°．∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，在△ADC中，∠DAC=180°﹣∠ADC﹣∠C=180°﹣90°﹣65°=25°，∴∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=40°﹣25°=15°．【點評】本題考查了三角形的內角和定理、角平分線的定義、垂直的定義等知識．20．如圖，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，試說明△ABD與△ACE全等．【考點】全等三角形的判定．【專題】證明題．【分析】由∠1=∠2，可得∠CAE=∠BAD，進而利用兩邊夾一角，證明全等．【解答】證明：∵∠1=∠2，∴∠CAE=∠BAD，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE．【點評】本題考查了全等三角形的判定；能夠熟練掌握三角形的判定方法來證明三角形的全等問題，由∠1=∠2得∠CAE=∠BAD是解決本題的關鍵．21．如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于O點，∠1=∠2，∠3=∠4．求證：OB=OD．【考點】全等三角形的判定與性質；等腰三角形的判定與性質．【專題】證明題．【分析】根據ASA證△ABC≌△ADC，推出AB=AD，根據等腰三角形的性質三線合一定理求出即可．【解答】證明：在△ABC和△ADC中，∵，∴△ABC≌△ADC（ASA），∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，且∠1=∠2，∴OB=OD．【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定和三線合一定理等知識點，注意：等腰三角形頂角的平分線平分底邊．22．如圖．在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直線上，下面有四個條件．請你在其中選三個作為已知條件，余下的一個作為結論，寫出一個正確的結淪，并說明理由．①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF．（填寫序號即可）已知：①②④；結淪：③；理由：【考點】全等三角形的判定與性質．【專題】證明題；開放型．【分析】本題考查的是全等三角形的判定，要根據全等三角形判定條件中的