廣東省梅州市松源中學2022-2023學年高三數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設曲線在點（1，1）處的切線與軸的交點的橫坐標為,則的值為（

）

A．

B．

C．

D．1

參考答案：B略2.如果不等式組表示的平面區域是一個直角三角形，則該三角形的面積為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C3.已知定義在(0,+∞)上的函數，恒為正數的符合，則的取值范圍為（

）A.(e,2e)

B.(,)

C.(e,e3)

D.(,)參考答案：D令，則，所以，選D.4.已知向量,,,若為實數，，則的值為A． B． C． D．參考答案：A略5.等差數列的前20項和為300，則等于A．60

B．80

C．90

D．120參考答案：C6.設偶函數滿足，則不等式＞0的解集為（

）A.＜0或＞

B.＜或＞C.＜0或＞

D.＜或＞參考答案：A7.設集合,則滿足的集合的個數是（

）

A．1

B．3

C．4

D．8參考答案：C8.若雙曲線的離心率是，則實數（）A．

B．

C．

D．參考答案：B略9.函數f（x）=的零點個數為（） A．1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個參考答案：考點： 根的存在性及根的個數判斷．專題： 計算題；作圖題；函數的性質及應用．分析： 分段函數的零點要討論，對第一部分要作圖．解答： 解：①x≤0時，f（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4=0，解得，x=﹣1或x=3（舍去）．②x＞0時，由y=lnx與y=x2﹣2x的圖象可知，其有（0，+∞）上有兩個交點，故有兩個解；則函數f（x）=的零點個數為3．故選C．點評： 本題考查了分段函數的零點個數，屬于中檔題．10.若函數的遞減區間為，則的取值范圍是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A考點：利用導數研究函數的單調性.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在等比數列中，若，則

。參考答案：略12.將函數的圖像向左平移個單位后所得的圖像關于y軸對稱，則的最小值為_____________.參考答案：略13.（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，圓＝4cos的圓心到直線的距離是＿＿＿＿參考答案：114.設變量x，y滿足約束條件,則目標函數z＝2x＋y的最大值為_____．參考答案：215.已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（k，）．若與共線，則k=

．參考答案：1考點：平面向量共線（平行）的坐標表示．專題：平面向量及應用．分析：利用向量的坐標運算求出的坐標；利用向量共線的坐標形式的充要條件列出方程，求出k的值．解答： 解：∵與共線，∴解得k=1．故答案為1．點評：本題考查向量的坐標運算、考查向量共線的坐標形式的充要條件：坐標交叉相乘相等．16.函數在實數范圍內的零點個數為

..參考答案：個零點略17.已知AB是圓的一條弦，點P為AB上一點，,PC交圓于點C，若,,則PC的長為 .參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知不等式mx2﹣2x﹣m+1＜0．（1）若對于所有的實數x，不等式恒成立，求m的取值范圍；（2）設不等式對于滿足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范圍．參考答案：考點：一元二次不等式的應用．專題：不等式的解法及應用．分析：（1）當m=0時，經檢驗不滿足條件；解得m≠0時，設f（x）=mx2﹣2x﹣m+1，則由題意可得有，解得m∈?．綜合可得結論．（2）由題意﹣2≤m≤2，設g（m）=（x2﹣1）m+（1﹣2x），則由題意可得，由此求得x的取值范圍．解答：解：（1）當m=0時，1﹣2x＜0，即當時不等式恒成立，不滿足條件．…（2分）解得m≠0時，設f（x）=mx2﹣2x﹣m+1，由于f（x）＜0恒成立，則有，解得m∈?．綜上可知，不存在這樣的m使不等式恒成立．…（6分）（2）由題意﹣2≤m≤2，設g（m）=（x2﹣1）m+（1﹣2x），則由題意可得g（m）＜0，故有，即，解之得，所以x的取值范圍為．…（12分）點評：本題主要考查一元二次不等式的應用，函數的恒成立問題，體現了分類討論和轉化的數學思想，屬于中檔題．19.已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）的半焦距為c，原點O到經過兩點（c，0），（0，b）的直線的距離為c．（Ⅰ）求橢圓E的離心率；（Ⅱ）如圖，AB是圓M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一條直徑，若橢圓E經過A、B兩點，求橢圓E的方程．參考答案：解：（Ⅰ）經過點（0，b）和（c，0）的直線方程為bx+cy﹣bc=0，則原點到直線的距離為d==c，即為a=2b，e===；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，橢圓E的方程為x2+4y2=4b2，①由題意可得圓心M（﹣2，1）是線段AB的中點，則|AB|=，方法1、韋達定理法易知AB與x軸不垂直，記其方程為y=k（x+2）+1，代入①可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0，設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=．x1x2=，由M為AB的中點，可得x1+x2=﹣4，得=﹣4，解得k=，從而x1x2=8﹣2b2，于是|AB|=?|x1﹣x2|=?==，解得b2=3，則有橢圓E的方程為+=1．方法2、點差法設，則①②②-①得：即③②+①得：即④由③④得：，∵|AB|=∴∴解得b2=3，則有橢圓E的方程為+=1．20.(本小題滿分10分)選修4—1：幾何證明選講

如圖所示，圓0的直徑為BD，過圓上一點A作圓O的切線AE，過點D作

DEAE于點E，延長ED與圓O交于點C．

(1)證明：DA平分BDE

(2)若AB=4，AE=2，求CD的長．

參考答案：（1）略（2）【知識點】幾何證明選講N1（1）證明：∵AE是⊙O的切線，∴∠DAE=∠ABD，

∵BD是⊙O的直徑，∴∠BAD=90°，∴∠ABD+∠ADB=90°，

又∠ADE+∠DAE=90°，∴∠ADB=∠ADE．∴DA平分∠BDE．

（2）由（1）可得：△ADE∽△BDA，∴，

∴，化為BD=2AD．∴∠ABD=30°．∴∠DAE=30°．∴DE=AEtan30°=．

由切割線定理可得：AE2=DE?CE，∴22=(+CD)，解得CD=．【思路點撥】（1）由于AE是⊙O的切線，可得∠DAE=∠ABD．由于BD是⊙O的直徑，可得∠BAD=90°，因此∠ABD+∠ADB=90°，∠ADE+∠DAE=90°，即可得出∠ADB=∠ADE．．

（2）由（1）可得：△ADE∽△BDA，可得，BD=2AD．因此∠ABD=30°．利用DE=AEtan30°．切割線定理可得：AE2=DE?CE，即可解出．21.設函數f（x）=emx+x2﹣mx．（1）討論f（x）的單調性；（2）若對于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有f（x1）﹣f（x2）≤e﹣1，求m的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；導數在最大值、最小值問題中的應用．【分析】（1）求出函數的導數，通過m的范圍，判斷導函數的符號，推出函數的單調區間．（2）利用函數的單調性，判斷函數的極值，轉化對于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有f（x1）﹣f（x2）≤e﹣1，得到不等式組，即可求解m的范圍．【解答】（本題滿分12分）解：（1）函數f（x）=emx+x2﹣mx，可得f′（x）=m（emx﹣1）+2x．若m≥0，則當x∈（﹣∞，0）時，emx﹣1≤0，f′（x）＜0；當x∈（0，+∞）時，emx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，則當x∈（﹣∞，0）時，emx﹣1＞0，f′（x）＜0；當x∈（0，+∞）時，emx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）時單調遞減，在（0，+∞）單調遞增．（2）由（1）知，對任意的m，f（x）在[﹣1，0]單調遞減，在[0，1]單調遞增，故f（x）在x=0處取得最小值．所以對于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的要條件是，即，①令g（x）=ex﹣x，則g（x）=ex﹣1，g（x）在（0，+∞）單調遞增，在（﹣∞，0單調遞減，不妨設g（x0）=e﹣1，因為，所以x0∈（﹣2，﹣1），所以，綜上，m的取值范圍為[﹣1，1]．【點評】本題考查導數與函數的單調性的