廣東省梅州市寧塘中學2021年高三數學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.定積分sinxdx=（）A．1﹣cos1 B．﹣1 C．﹣cos1 D．1參考答案：A【考點】定積分．【分析】找出被積函數的原函數，代入積分上限和下限計算即可．【解答】解：sinxdx=﹣cosx|=1﹣cos1；故選A．2.已知是拋物線上的一個動點，則點到直線和的距離之和的最小值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C3.現有四個函數：①

②

③④的圖象(部分)如下，但順序被打亂，則按照從左到右將圖象對應的函數序號安排正確的一組是

A.④①②③

B.①④③②

C.①④②③

D.③④②①參考答案：C4.已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，且圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的方程為A.

B.C.

D.

參考答案：B5.雙曲線一條漸近線的傾斜角為，離心率為，當取最小值時，雙曲線的實軸長為A.

B.

C.

D.4參考答案：B6.設，則復數在復平面內對應的點位于（

）

（A）第一象限

（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限參考答案：答案：C7.已知是定義在R上的奇函數，且時，，若方程有兩個根，則實數a的取值范圍是

(

)

(A)[-4,4]

(B)

(C)

(D)參考答案：B8.已知集合A={0，b}，B={x∈Z|x2﹣3x＜0}，若A∩B≠?，則b等于(

) A．1 B．2 C．3 D．1或2參考答案：D考點：交集及其運算．專題：集合．分析：解不等式求出集合B，進而根據A∩B≠?，可得b值．解答： 解：∵集合B={x∈Z|x2﹣3x＜0}={1，2}，集合A={0，b}，若A∩B≠?，則b=1或b=2，故選：D．點評：本題考查的知識點是集合的交集及其運算，難度不大，屬于基礎題．9.某長方體的三視圖如圖，長度為的體對角線在正視圖中的投影長度為，在側視圖中的投影長度為，則該長方體的全面積為（）A．3+2 B．6+4 C．6 D．10參考答案：B【考點】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】設長方體的長，寬，高分別為x，y，z，根據已知求出長寬高，代入長方體表面積公式，可得答案．【解答】解：設長方體的長，寬，高分別為x，y，z，由題意得：，解得：，故該長方體的表面積S=2（xy+xz+yz）=6+4，故選：B．【點評】本題考查的知識點是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關鍵是得到該幾何體的形狀．10.函數y=的圖象大致是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】函數的圖象．【分析】當x＜0時，判斷函數的值的符號，x＞0時函數值的符號，即可判斷選項．【解答】解：函數y=，可知x≠0，排除選項A；當x＜0時，3x＜1，y＜0，x＞0時，y＞0，排除選項C，D；故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數列{}滿足，則該數列的前20項的和為

．參考答案：略12.若拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，則

．參考答案：4略13.

;參考答案：.14.已知某幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積是_________．參考答案：略15.設函數的導數為，且，則=______.參考答案：0【分析】對求導，可得，將代入上式即可求得：，即可求得，將代入即可得解【詳解】因為，所以.所以，則，所以則，故.【點睛】本題主要考查了導數的運算及賦值法，考查方程思想及計算能力，屬于中檔題。16.已知數列{an}滿足.記，則數列{Cn}的前n項和=

．參考答案：n·2n由得，所以數列是以為首項，以為公差的等差數列，所以，即，記，則

（1），式子兩邊都乘以2得

（2），兩式相減得：所以，故答案為.

17.對函數，若存在區間M=[a,b]使得=M，則稱為“穩定函數”，給出下列函數①=x2;

②

③其中為“穩定函數”的序號為

參考答案：①②三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）在中，角的對邊分別為，已知成等比數列，且．（1）若，求的值；

（2）求的值．參考答案：解：（1）由，得．

2分因為，所以．

4分由余弦定理，得，則，故．

6分（2）由，得．

由及正弦定理得，

9分于是

12分19.（本小題滿分14分）某商場在店慶日進行抽獎促銷活動，當日在該店消費的顧客可參加抽獎．抽獎箱中有大小完全相同的4個小球，分別標有字“生”“意”“興”“隆”．顧客從中任意取出1個球，記下上面的字后放回箱中，再從中任取1個球，重復以上操作，最多取4次，并規定若取出“隆”字球，則停止取球．獲獎規則如下：依次取到標有“生”“意”“興”“隆”字的球為一等獎；不分順序取到標有“生”“意”“興”“隆”字的球，為二等獎；取到的4個球中有標有“生”“意”“興”三個字的球為三等獎．（Ⅰ）求分別獲得一、二、三等獎的概率；（Ⅱ）設摸球次數為，求的分布列和數學期望參考答案：解：（Ⅰ）設“摸到一等獎、二等獎、三等獎”分別為事件A，B，C．

……1分則P(A)=，（列式正確，計算錯誤，扣1分）

………3分

P(B)

（列式正確，計算錯誤，扣1分）………5分

三等獎的情況有：“生，生，意，興”；“生，意，意，興”；“生，意，興，興”三種情況．

P(C)．…7分（Ⅱ）設摸球的次數為，則．

……8分，

，

，．（各1分）故取球次數的分布列為

1234…12分．(約為2.7)

…14分略20.某大型商場去年國慶期間累計生成2萬張購物單，從中隨機抽出100張，對每單消費金額進行統計得到下表：消費金額（單位：元）（0，200]（200，400]（400，600]（600，800]（800，1000]購物單張數252530？？

由于工作人員失誤，后兩欄數據已無法辨識，但當時記錄表明，根據由以上數據繪制成的頻率分布直方圖所估計出的每單消費額的中位數與平均數恰好相等．用頻率估計概率，完成下列問題：（1）估計去年國慶期間該商場累計生成的購物單中，單筆消費額超過800元的概率；（2）為鼓勵顧客消費，該商場打算在今年國慶期間進行促銷活動，凡單筆消費超過600元者，可抽獎一次，中一等獎、二等獎、三等獎的顧客可以分別獲得價值500元、200元、100元的獎品．已知中獎率為100%，且一等獎、二等獎、三等獎的中獎率依次構成等比數列，其中一等獎的中獎率為．若今年國慶期間該商場的購物單數量比去年同期增長5%，式預測商場今年國慶期間采辦獎品的開銷．參考答案：(1);(2)580000.試題分析：（1）由消費在區間的頻率為，可知中位數估計值為，設所求概率為，利用每個矩形的中點橫坐標與該矩形的縱坐標相乘后求和等于求解即可；（2）根據，解得，可得一等獎、二等獎、三等獎的中獎率分別為，，，從而可得一等獎、二等獎、三等獎中獎單數可估計為，，，進而可得結果.試題解析：（1）因消費在區間的頻率為，故中位數估計值即為.設所求概率為，而消費在的概率為.故消費在區間內的概率為.因此消費額的平均值可估計為.令其與中位數相等，解得.（2）設等比數列公比為，根據題意，即，解得.故一等獎、二等獎、三等獎的中獎率分別為，，.今年的購物單總數約為.其中具有抽獎資格的單數為，故一等獎、二等獎、三等獎中獎單數可估計為，，.于是，采購獎品的開銷可估計為（元）.21.已知極點與直角坐標系原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，圓C的極坐標方程為（），直線l的參數方程為（t為參數）.（1）若，直線l與x軸的交點為M，N是圓C上一動點，求的最小值；（2）若直線l被圓C截得的弦長等于圓C的半徑，求a的值.參考答案：（1）當時，圓的極坐標方程為，可化為，化為直角坐標方程為，即.直線的普通方程為，與軸的交點的坐標為因為圓心與點的距離為，所以的最小值為.（2）由可得，所以圓的普通方程為因為直線被圓截得的弦長等于圓的半徑，所以由垂徑定理及勾股定理得：圓心到直線的距離為圓半徑的倍，所以.解得，又，所以試題立意：本小題考查直線和圓的極坐標方程，參數方程以及直角坐標方程，圓中的垂徑定理和勾股定理.考查數學運算能力，包括運算原理的理解與應用、運算方法的選擇與優化、運算結果的檢驗與改進等.也兼考了數學抽象素養、邏輯推理、數學運算、直觀想象等核心素養.22.（本題滿分12分）已知函數，（1）求函數的單調區間；（2）若函數在上恒成立，求實數的取值范圍；（3）在（2）的條件下，任意的，證明：參考答案：（1）當時，，函數在上為增函數；當時，令，可得，令，可得，所以函數在上為增函數，在上為減函數------------------（5分）