廣東省梅州市寧塘中學2021年高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知數列的前n項和為且成等比數列，成等差數列，則等于A.

B.

C.

D.參考答案：B依題意，得因為，所以，即，故數列等差數列；又由，，可得.所以數列等差數列是首項為2，公差為1的等差數列.所以即，故，故，，故，答案為B.2.函數y=sin2x的圖象可能是A. B.C. D.參考答案：D分析:先研究函數的奇偶性，再研究函數在上的符號，即可判斷選擇.詳解：令，因為，所以為奇函數，排除選項A,B;因為時，，所以排除選項C，選D.點睛：有關函數圖象的識別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）由函數的周期性，判斷圖象的循環往復．3.已知向量，，則（

）A． B．

C．

D．參考答案：B4.一定是（

）A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等邊三角形

D.鈍角三角形參考答案：B略5.已知三個命題：①關于的方程無實數根；②關于的不等式對于任意的恒成立；③函數在上單調遞減.如果上述三個命題中兩真一假，那么實數的取值范圍是（

）．

．

．

w．參考答案：D6.已知，若的充分條件，則實數取值范圍是（

）A． B． C． D．參考答案：D略7.已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，3}，則A(B)為

(A){3}

(B){0，2}

(C)

(D){1，4}參考答案：D略8.等差數列中，，則（

）A．

B．

C．5

D．參考答案：D9.已知向量=(3，1)，=(﹣1，3)，=m﹣n（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，則的取值范圍是（）A． [，2]

B．[，2] C．[，]

D．[，2]參考答案：B【考點】簡單線性規劃；簡單線性規劃的應用；平面向量數量積的運算．【分析】根據題意，由向量的坐標運算公式可得=（3m+n，m﹣3n），再由向量模的計算公式可得=，可以令t=，將m+n∈[1，2]的關系在直角坐標系表示出來，分析可得t=表示區域中任意一點與原點（0，0）的距離，進而可得t的取值范圍，又由=t，分析可得答案．【解答】解：根據題意，向量，，=（3m+n，m﹣3n），則==，令t=，則=t，而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐標系表示如圖，t=表示區域中任意一點與原點（0，0）的距離，分析可得：≤t＜2，又由=t，故≤＜2；故選：B．10.函數的大致圖象是(

)

參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.方程的解

.參考答案：12.規定滿足“f（﹣x）=﹣f（x）”的分段函數叫“對偶函數”，已知函數f（x）=是對偶函數，則（1）g（x）=﹣x2+4x．（2）若f[﹣]＞0對于任意的n∈N°都成立，則m的取值范圍是．參考答案：m＜5考點：函數奇偶性的性質．專題：新定義．分析：（1）先設設x＜0，則﹣x＞0，代入解析式求出f（﹣x），再由題意f（﹣x）=﹣f（x），求出g（x）；（2）由（1）求出的解析式，分別求出函數值的范圍，進而把條件轉化為對于任意的n∈N°恒成立問題，即對于任意的n∈N°恒成立問題，分離常數m并把和式展開，利用裂項相消法進行化簡，再求出此式子的最小值即可．解答：解：（1）由題意設x＜0，則﹣x＞0，∴f（﹣x）=x2﹣4x，∵f（﹣x）=﹣f（x），∴g（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2+4x，（2）由（1）得，，∴當x＜0時，f（x）=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4＜0，當x≥0時，f（x）=x2+4x=（x+2）2﹣4≥0，∵對于任意的n∈N°恒成立，∴條件轉化為對于任意的n∈N°恒成立，即m＜10×=10（）對于任意的n∈N°成恒立，令y=10（），即求y的最小值，則y=10×[（1）+（）+…+（﹣）]=10（1﹣），∵1﹣≥1﹣=，∴y的最小值為5．綜上可得，m＜5．故答案為：﹣x2+4x；m＜5．點評：本題以一個新定義為背景考查了恒成立問題，求和符號的展開，分離常數法和裂項相消法求和等，難度較大，考查了分析問題和解決問題的能力．13.已知圓心在x軸上，半徑為的圓位于y軸右側，且截直線x+2y=0所得弦的長為2，則圓的方程為

．參考答案：（x﹣2）2+y2=5

【考點】圓的標準方程．【分析】根據題意，設圓的圓心的坐標為（a，0），則圓的方程為（x﹣a）2+y2=5，（a＞0），由點到直線的距離公式計算可得圓心到直線x+2y=0的距離，由此可得1+（a）2=5，解可得a的值，將a的值代入圓的方程可得答案．【解答】解：根據題意，設圓的圓心坐標為（a，0），則其標準方程為（x﹣a）2+y2=5，（a＞0），則圓心到直線x+2y=0的距離d==a，又由該圓截直線x+2y=0所得弦的長為2，則有1+（a）2=5，解可得a=±2，又由a＞0，則a=2，故要求圓的方程為（x﹣2）2+y2=5，故答案為：（x﹣2）2+y2=5．14.已知冪函數的圖像不過坐標原點，則的值是___

．參考答案：1或2

略15.若等比數列{an}的公比為2，且a3﹣a1=6，則++…+=

．參考答案：1﹣【考點】數列的求和．【分析】等比數列{an}的公比為2，且a3﹣a1=6，可得a1（22﹣1）=6，解得a1．可得an=2n．再利用等比數列的求和公式即可得出．【解答】解：等比數列{an}的公比為2，且a3﹣a1=6，∴a1（22﹣1）=6，解得a1=2．∴an=2n．則++…+=+…+==1﹣．故答案為：1﹣．16.集合A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，則A∩B=．參考答案：{2，3，4}【考點】1E：交集及其運算．【分析】解關于B的不等式，求出A、B的交集即可．【解答】解：A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣5）＜0}={x|1＜x＜5}，則A∩B={2，3，4}；故答案為：{2，3，4}．17.已知向量=（1，2），=（λ，﹣1），若⊥，則|+|=．參考答案：【考點】平面向量的坐標運算．【分析】由⊥，求出=（2，﹣1），再由不、平面向量坐標運算公式求出=（3，1），由此能求出||．【解答】解：∵向量=（1，2），=（λ，﹣1），⊥，∴?=λ﹣2=0，解得λ=2．∴=（2，﹣1），=（3，1），∴||==．故答案為：．【點評】本題考查向量的模的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量垂直的性質和平面向量坐標運算公式的合理運用．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分14分)圖1是某斜拉式大橋圖片，為了了解橋的一些結構情況，學校數學興趣小組將大橋的結構進行了簡化，取其部分可抽象成圖2所示的模型，其中橋塔、與橋面垂直，通過測量得知，，當為中點時，.（1）求的長；（2）試問在線段的何處時，達到最大.圖1參考答案：(1)設，，，則，，由題意得，，解得.………6分（2）設，則，，，………8分，，即為銳角，令19.已知函數f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在區間[﹣，]上的最大值和最小值．參考答案：【考點】復合三角函數的單調性；三角函數的周期性及其求法．【專題】三角函數的圖像與性質．【分析】（1）利用二倍角的余弦降冪化積，則函數的最小正周期可求；（2）由x的范圍求得相位的范圍，進一步求得函數的最值．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣）=====．∴f（x）的最小正周期T=；（2）∵x∈[﹣，]，∴2x∈[]，則2x﹣∈[]，∴[]．故f（x）在區間[﹣，]上的最大值和最小值分別為．【點評】本題考查y=Asin（ωx+φ）型函數的圖象和性質，考查三角函數值域的求法，運用輔助角公式化簡是解答該題的關鍵，是基礎題．20.已知橢圓的離心率為,且過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線AC、BD過原點O，若,

(i)求的最值.(ii)求四邊形ABCD的面積；參考答案：解：(1)由題意，，又，…………2分解得,橢圓的標準方程為.………4分(2)設直線AB的方程為，設聯立，得

----------①

………6分

=

……8分(i)

當k=0(此時滿足①式),即直線AB平行于x軸時，的最小值為-2.又直線AB的斜率不存在時，所以的最大值為2.……………10分(ii)設原點到直線AB的距離為d，則.

即,四邊形ABCD的面積為…………12分

略21.某校為了解2015屆高三畢業班準備考飛行員學生的身體素質，對他們的體重進行了測量，將所得的數據整理后，畫出了頻率分布直方圖（如圖），已知圖中從左到右前3個小組的頻率之比為1：2：4，其中第二小組的頻數為11．（Ⅰ）求該校報考飛行員的總人數；（Ⅱ）若經該學校的樣本數據來估計全省的總體數據，若從全省報考飛行員的學生中（人數很多）任選3人，設X表示體重超過60kg的學生人數，求X的數學期望與方差．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；頻率分布直方圖；離散型隨機變量及其分布列．【專題】概率與統計．【分析】（Ⅰ）設該校報考飛行員的總人數為n，前三個小組的頻率為p1，p2，p3，由已知求出，由此能求出n．（Ⅱ）一個報考學生的體重超過60公斤的概率為：p=，由題意知X服從二項分布，即：X～B（3，），能求出EX和DX．【解答】（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）設該校報考飛行員的總人數為n，前三個小組的頻率為p1，p2，p3，則，解得，，，…由于，故n=55．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一