廣東省惠州市黃埠中學2022-2023學年高二數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知正四棱錐S-ABCD的側棱長與底面邊長都相等，E是SB的中點，則AE,SD所成的角的余弦值為（）A.

B.C.

D.參考答案：C設如圖所示，取的中點，的中點，的中點，連結，由于，且，故四邊形是平行四邊形，，由三角形中位線的性質可得，據此可得或其補角即為所求，且，，，由余弦定理可得：.據此可得AE,SD所成的角的余弦值為.本題選擇C選項.

2.F1、F2是雙曲線=1的焦點，點P在雙曲線上，若|PF1|=9，則|PF2|=（）A．1 B．17 C．1或17 D．9參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】首先根據雙曲線的標準方程求得a的值然后根據定義|PF1|﹣|PF2|=±2a求解．【解答】解：F1、F2是雙曲線=1的焦點，2a=8，點P在雙曲線上（1）當P點在左支上時，|PF1|﹣|PF2|=﹣2a，|PF1|=9，解得：|PF2|=17（2）當P點在右支上時，|PF1|﹣|PF2|=2a，|PF1|=9，解得：|PF2|=1故選：C3.在一次數學測驗中，統計7名學生的成績分布莖葉圖如圖所示，若這7名學生的平均成績為77分，則x的值為（

）A．5

B．6

C．7

D．8參考答案：C4..設函數的圖像在點處切線的斜率為，則函數的部分圖像為

參考答案：B略5.我國古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一直角邊為股，斜邊為弦。若a，b，c為直角三角形的三邊，其中c為斜邊，則，稱這個定理為勾股定理．現將這一定理推廣到立體幾何中：在四面體O-ABC中，，S為頂點O所對面的面積，分別為側面的面積，則下列選項中對于滿足的關系描述正確的為（

）A. B.C. D.參考答案：C【分析】作四面體，，于點，連接，結合勾股定理可得答案。【詳解】作四面體，，于點，連接，如圖.即故選C.【點睛】本題主要考查類比推理，解題的關鍵是將勾股定理遷移到立體幾何中，屬于簡單題。6.如果雙曲線的半實軸長為2，焦距為6，那么該雙曲線的離心率是

（

）

A．

B．

C．

D．2參考答案：B略7.圓心為，半徑為的圓的標準方程為

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C8.用秦九韶算法求n次多項式，當時，求需要算乘方、乘法、加法的次數分別為（

）A．

B．n,2n,n

C．0,2n,n

D．0,n,n參考答案：D9.定積分的值為A.e+2

B.e+1

C.e

D.e－1參考答案：C10.若以雙曲線﹣=1（a＞0）的左、右焦點和點（2，1）為頂點的三角形為直角三角形，則此雙曲線的實軸長為（）A．1 B．2 C．3 D．6參考答案：B【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】由題意，以雙曲線﹣=1（a＞0）的左、右焦點和點（2，1）為頂點的三角形為直角三角形，可得（2﹣c，1）?（2+c，1）=0，求出c，即可求出a．【解答】解：由題意，以雙曲線﹣=1（a＞0）的左、右焦點和點（2，1）為頂點的三角形為直角三角形，∴（2﹣c，1）?（2+c，1）=0，∴4﹣c2+1=0，∴c=，∴2a=2=2．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某單位有職工750人，其中青年職工350人，中年職工250人，老年職工150人，為了了解該單位職工的健康情況，用分層抽樣的方法從中抽取樣本，若樣本中的青年職工為7人，則樣本容量為_________人．參考答案：1512.函數的值域是

參考答案：略13.設F1和F2是雙曲線﹣y2=1的兩個焦點，點P在雙曲線上，且滿足∠F1PF2=90°，則△F1PF2的面積是

．參考答案：1【考點】雙曲線的應用；雙曲線的簡單性質．【專題】計算題．【分析】設|PF1|=x，|PF2|=y，根據根據雙曲線性質可知x﹣y的值，再根據∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，進而根據2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2求得xy，進而可求得△F1PF2的面積．【解答】解：設|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y）根據雙曲線性質可知x﹣y=4，∵∠F1PF2=90°，∴x2+y2=20∴2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2=4∴xy=2∴△F1PF2的面積為xy=1故答案為：1．【點評】本題主要考查了雙曲線的簡單性質．要靈活運用雙曲線的定義及焦距、實軸、虛軸等之間的關系．14.已知函數f（x）=ax2+（a﹣3）x+1在區間[﹣1，+∞）上單調遞減，則實數a的取值范圍是．參考答案：[﹣3，0]【考點】3W：二次函數的性質．【分析】通過當a=0時，當a＞0時，當a＜0時，分別判斷函數的單調性，求解實數a的取值范圍．【解答】解：當a=0時，f（x）=﹣3x+1，滿足題意；當a＞0時，函數f（x）在對稱軸右側單調遞增，不滿足題意；當a＜0時，函數f（x）的圖象的對稱軸為x=﹣，∵函數f（x）在區間[﹣1，+∞）上單調遞減，∴﹣≤﹣1，得﹣3≤a＜0．綜上可知，實數a的取值范圍是[﹣3，0]．15.過雙曲線:的左頂點作斜率為的直線，若與雙曲線的兩條漸近線分別相交于點、,且,則該雙曲線的離心率為

參考答案：16.命題“”的否定是

▲

.參考答案：17.函數f（x）=（x+1）（x﹣a）是偶函數，則f（2）=．參考答案：3【考點】函數奇偶性的性質．【專題】計算題；綜合法；函數的性質及應用．【分析】由題意可得，f（﹣x）=f（x）對于任意的x都成立，代入整理可得（a﹣4）x=0對于任意的x都成立，從而可求a，即可求出f（2）．【解答】解：∵f（x）=（x+1）（x﹣a）為偶函數∴f（﹣x）=f（x）對于任意的x都成立即（﹣x+1）（﹣x﹣a）=（x+1）（x﹣a）∴x2+（a﹣1）x﹣a=x2+（1﹣a）x﹣a∴（a﹣1）x=0∴a=1，∴f（2）=（2+1）（2﹣1）=3．故答案為：3．【點評】本題主要考查了偶函數的定義的應用，屬于基礎試題三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，PA⊥面ABCD，點Q在棱PA上，且PA=4PQ=4，AB=2，CD=1，AD=，∠CDA=∠BAD=，M，N分別是PD，PB的中點．（1）求證：MQ∥面PCB；（2）求截面MCN與底面ABCD所成的銳二面角的大小．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【分析】向量法：對于（1）求證：MQ∥平面PCB，可求出線的方向向量與面的法向量，如果兩者的內積為0則說明線面平行對于（2）求截面MCN與底面ABCD所成二面角的大小，求出兩個平面的法向量，然后根據根據二面角的正弦與法向量的數量積的關系，求解；【解答】解：法一：向量法：以A為原點，以AD，AB，AP分別為x，y，z建立空間直角坐標系O﹣xyz，由，PA=4PQ=4，M，N分別是PD，PB的中點，可得：，∴，設平面的PBC的法向量為，則有：令z=1，則，∴，又MQ?平面PCB，∴MQ∥平面PCB；（2）設平面的MCN的法向量為，又則有：令z=1，則，又為平面ABCD的法向量，∴，又截面MCN與底面ABCD所成二面角為銳二面角，∴截面MCN與底面ABCD所成二面角的大小為，法二：幾何法：（1）取AP的中點E，連接ED，則ED∥CN，依題有Q為EP的中點，所以MQ∥ED，所以MQ∥CN，又MQ?平面PCB，CN?平面PCB，∴MQ∥平面PCB（2）易證：平面MEN∥底面ABCD，所以截面MCN與平面MEN所成的二面角即為平面MCN與底面ABCD所成的二面角，因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥平面MEN，過E做EF⊥MN，垂足為F，連接QF，則由三垂線定理可知QF⊥MN，由（1）可知M，C，N，Q四點共面所以∠QFE為截面MCN與平面MEN所成的二面角的平面角，，所以：，所以：；19.（本小題8分）已知拋物線的頂點在原點，焦點在x軸上且經過點（--2,4）．(I)求拋物線的方程；(II)求拋物線被直線2x+y+8=0所截得的弦長參考答案：

20.已知等差數列{an}的公差d>0，前n項和為Sn，且滿足a2a3＝45，a1＋a4＝14.（1）求數列{an}的通項公式及前n項和Sn；（2）設（c為非零常數），若數列{bn}也是等差數列，請確定常數c的值，并求數列的前n項和Tn.參考答案：略21.（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的菱形，,,,為的中點，為的中點，以A為原點，建立適當的空間坐標系，利用空間向量解答以下問題：（Ⅰ）證明：直線；（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大小；（Ⅲ）求點B到平面OCD的距離.參考答案：作于點P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標系,（3分）(1)

（5分）設平面OCD的法向量為,則即取,解得

（7分）

（9分）(2)設與所成的角為,

,與所成角的大小為

（13分）(3)設點B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對值,

由,得.所以點B到平面OCD的距離為（15分）22.（本小題滿分12分）已知數列的前n項和為，⑴