廣東省惠州市光明中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知復(fù)數(shù)z=1+i，則=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出．【解答】解：∵復(fù)數(shù)z=1+i，∴==﹣=﹣2，故選：B．2.個(gè)人排成一排，其中甲、乙兩人至少有一人在兩端的排法種數(shù)有（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.已知x、y的取值如下表所示，若y與x線性相關(guān)，且，則＝____x0134y2.24.34.86.7

參考答案：2.64.已知x,y的取值如下表所示，若y與x線性相關(guān)，且

X01342.24.34.86.7A.2.2

B.2.6 C.2.8

D.2.9參考答案：B略5.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為

A.

B.

C.

D.

(0,2)

參考答案：D略6.已知向量，且，那么實(shí)數(shù)等于(

)A．3

B．

C．9

D．參考答案：D略7.已知關(guān)于面的對(duì)稱點(diǎn)為，而關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．參考答案：C8.對(duì)兩個(gè)變量y和x進(jìn)行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則下列說(shuō)法中不正確的是()

A．由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程＝x＋必過(guò)樣本點(diǎn)的中心(，)

B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好

C．用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)刻畫回歸效果，R2的值越小，說(shuō)明模型的擬合效果越好

D．在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適，帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明回歸方程的預(yù)報(bào)精確度越高；參考答案：C9.已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（3，0），過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A．B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣），則E的方程為（）A．+y2=1 B．+=1C．+=1 D．+=1參考答案：A【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)的（x1，y1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（x2，y2），可得=1，=1，兩式相減得，+=0，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式即可得出．【解答】解：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)的（x1，y1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（x2，y2），∴=1，=1，兩式相減得，+=0，∵x1+x2=2，y1+y2=，k===．∴=，又∵c2=a2﹣b2=10b2﹣b2=9b2，c2=9，∴b2=1，a2=10，即標(biāo)準(zhǔn)方程為=1．故選：A10.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，則cosB＝()A．－

B.C．－

D.參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的定義域?yàn)锳，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

參考答案：略12.觀察下列的圖形中小正方形的個(gè)數(shù)，則第n個(gè)圖中有個(gè)小正方形．參考答案：考點(diǎn)：歸納推理．

專題：規(guī)律型．分析：由題意可得，f（1）=2+1，f（2）=3+2+1，f（3）=4+3+2+1，f（4）=5+4+3+2+1，f（5）=6+5+4+3+2+1，從而可得f（n），結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可得．解答：解：由題意可得，f（1）=2+1f（2）=3+2+1f（3）=4+3+2+1f（4）=5+4+3+2+1f（5）=6+5+4+3+2+1…f（n）=（n+1）+n+（n﹣1）+…+1=．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要根據(jù)前幾個(gè)圖形的規(guī)律歸納出f（n）的代數(shù)式，考查了歸納推理的能力．13.已知是不同的直線，是不重合的平面，給出下列命題：①若∥，，則∥②若，∥，∥，則∥③若∥，則∥④是兩條異面直線，若∥，∥，∥，∥，則∥上面命題中，真命題的序號(hào)是

(寫出所有真命題的序號(hào)).參考答案：③④略14.若拋物線y2=4x上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離為5，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為

．參考答案：4【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義，求解即可．【解答】解：拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=﹣1，∵拋物線y2=4x上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于5，∴根據(jù)拋物線點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，∴可得所求點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4．故答案為：4【點(diǎn)評(píng)】本題給出拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，要求該點(diǎn)的橫坐標(biāo)，著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15.將101101(2)化為十進(jìn)制結(jié)果為

；再將該數(shù)化為八進(jìn)制數(shù)，結(jié)果為

.參考答案：45，55（8）16.若函數(shù)在其定義域的一個(gè)子區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍_______參考答案：略17.設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則C的離心率為．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】利用雙曲線的定義求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小內(nèi)角為30°結(jié)合余弦定理，求出雙曲線的離心率．【解答】解：因?yàn)镕1、F2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上一點(diǎn)，且滿足|PF1|+|PF2|=6a，不妨設(shè)P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，由雙曲線的定義可知|PF1|﹣|PF2|=2a所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵△PF1F2的最小內(nèi)角∠PF1F2=30°，由余弦定理，∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即4a2=4c2+16a2﹣2×2c×4a×，∴c2﹣2ca+3a2=0，∴c=a所以e==．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的定義，雙曲線的離心率的求法，考查計(jì)算能力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知，，與的夾角為，求（1）在方向上的投影；（2）與的夾角為銳角，求的取值范圍。參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】向量的投影，向量的夾角【答案解析】解析：解：（1）在方向上的投影為=；（2）若與的夾角為銳角，則且兩向量不共線，得且，得.【思路點(diǎn)撥】在求一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影時(shí)，可直接利用定義進(jìn)行計(jì)算，判斷兩個(gè)向量的夾角為銳角或鈍角時(shí)，可直接利用數(shù)量積的符號(hào)進(jìn)行解答，注意要排除兩向量共線的情況.19.（本小題滿分10分）學(xué)校在高二開設(shè)了當(dāng)代戰(zhàn)爭(zhēng)風(fēng)云、投資理財(cái)、汽車模擬駕駛與保養(yǎng)、硬筆書法共4門選修課，每個(gè)學(xué)生必須且只需選修1門選修課，對(duì)于該年級(jí)的甲、乙、丙3名學(xué)生。（I）求這3名學(xué)生選擇的選修課互不相同的概率；（II）求恰有2門選修課沒(méi)有被這3名學(xué)生選擇的概率；

（III）求投資理財(cái)選修課被這3名學(xué)生選擇的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望。參考答案：解：(Ⅰ)3名學(xué)生選擇了3門不同的選修課的概率為

----------2分(Ⅱ)恰有2門選修課這3名學(xué)生都沒(méi)選擇的概率為-----------5分(Ⅲ)設(shè)投資理財(cái)選修課被這3名學(xué)生選擇的人數(shù)為，則＝0,1,2,3

-----------6分P(＝0)＝P(＝1)＝P(＝2)＝P(＝3)＝0123P的分布列是

20.已知三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3），M是BC邊上的中點(diǎn)．（1）求AB邊所在的直線方程；（2）求中線AM的長(zhǎng)．參考答案：【考點(diǎn)】直線的一般式方程；中點(diǎn)坐標(biāo)公式．【專題】計(jì)算題．【分析】（1）已知A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1），根據(jù)兩點(diǎn)式寫直線的方法化簡(jiǎn)得到AB所在的直線方程；（2）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出M的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出AM即可．【解答】解：（1）由兩點(diǎn)式寫方程得，即6x﹣y+11=0或直線AB的斜率為直線AB的方程為y﹣5=6（x+1）即6x﹣y+11=0（2）設(shè)M的坐標(biāo)為（x0，y0），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得故M（1，1）【點(diǎn)評(píng)】考查學(xué)生會(huì)根據(jù)條件寫出直線的一般式方程，以及會(huì)利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求線段中點(diǎn)坐標(biāo)，會(huì)用兩點(diǎn)間的距離公式求兩點(diǎn)間的距離．21.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為．（Ⅰ）寫出C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與C交于A，B兩點(diǎn)．k為何值時(shí)？此時(shí)的值是多少？參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓．它的短半軸，故曲線C的方程為．………………4分（Ⅱ）設(shè)，其坐標(biāo)滿足消去y并整理得，

顯然△＞0故．…………6分，即．

而，于是．所以時(shí)，，故．…………8分當(dāng)時(shí)，，．，而，所以．

………12分22.已知圓C經(jīng)過(guò)A（3，2）、B（1，6），且圓心在直線y=2x上．（Ⅰ）求圓C的方程．（Ⅱ）若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（﹣1，3）與圓C相切，求直線l的方程．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）根據(jù)已知設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入標(biāo)準(zhǔn)方程，解方程組即可求出圓心及半徑，從而得到圓C的方程．（Ⅱ）根據(jù)已知設(shè)出直線方程，利用直線與圓相切的性質(zhì)d=r即可求出直線斜率k，從而求出直線方程．【解答】解：（Ⅰ）∵圓心在直線y=2x上，故可設(shè)圓心C（a，2a），半徑為r．則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣a）2+（y﹣2a）2=r2．∵圓C經(jīng)過(guò)A（3，2）、B（1，6），∴．解得a=2，r=．∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣2）2+（y﹣4）2=5．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圓C