廣東省廣州市造船廠中學高三數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知是定義在上的奇函數，且當時不等式成立，若，，則大小關系是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A2.已知A={x|2≤x≤π}，定義在A上的函數y=logax（a＞0，且a≠1）的最大值比最小值大1，則底數a的值為（）A． B． C．π﹣2 D．或參考答案：D【考點】對數函數的值域與最值．【分析】由題意討論a的取值以確定函數的單調性及最值，從而求解．【解答】解：當0＜a＜1時，f（x）=logax（a＞0且a≠0）在[2，π]上是減函數，故loga2﹣logaπ=1；故a=；當a＞1，f（x）=logax（a＞0且a≠0）在[2，π]上是增函數，故logaπ﹣loga2=1；故a=故選D．3.如圖是某幾何體的三視圖，當最大時，該幾何體的體積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A考點：三視圖及簡單幾何體的體積．【易錯點晴】本題考查的是三視圖與原幾何體的形狀的轉化問題.解答時先依據題設中提供的三視圖,將其換元為立體幾何中的簡單幾何體,再依據幾何體的形狀求其體積.在這道題中,從三視圖中可以推測這是一個由四棱錐和四分之一圓錐為幾何體的組合體,最后分別求出其體積再加起來.解答本題的難點是先依據題設中提供的數據建立關于的方程.進而運用基本不等式求出取最大值時的全值.4.已知函數的圖象與直線相交，其中一個交點的橫坐標為4，若與相鄰的兩個交點的橫坐標為2，8，則（

）A．在上是減函數

B．在上是減函數C．在上是減函數

D．在上是減函數參考答案：B考點：函數的圖象及運用．5.若直線上存在點滿足約束條件,則實數a的最大值為 （）

A．-1

B．1

C．

D．2參考答案：B6.已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，）的零點構成一個公差為的等差數列，，則f（x）的一個單調遞增區間是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】H2：正弦函數的圖象．【分析】根據零點構成一個公差為的等差數列，可得周期T=π，求出ω，利用，求出φ，結合三角函數的圖象及性質，可得單調性．【解答】解：由題意，零點構成一個公差為的等差數列，∴周期T=π，即，∴ω=2．∴函數f（x）=sin（2x+φ）．又，則sinφ=．∵＜φ＜，∴φ=．故得函數f（x）=sin（2x）．令2x≤，k∈Z．得：，當k=0時，可得一個單調遞增區區為：．故選：C．7.已知等差數列的前項和為，且，則A.

B.

C.

D.參考答案：B8.若變量滿足約束條件,則的最大值是（

）A．

B．0

C．

D．參考答案：D9.下列函數中，既是偶函數又在區間（0，+）上單調遞減的是

（A）y=-ln|x|

（B）y=x3

（C）y=2|x|

（D）y=cosx-（參考答案：A略10.如果甲的身高數或體重數至少有一項比乙大，則稱甲不亞于乙，在100個小伙子中，如果某人不亞于其他99人，就稱他為棒小伙子，那么，100個小伙子中的棒小伙子最多可能有(

)

(A)1個

(B)2個

(C)50個

(D)100個參考答案：D解：把身高按從高到矮排為1~100號，而規定二人比較，身高較高者體重較小，則每個人都是棒小伙子．故選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知α為鈍角，sin（+α）=，則sin（﹣α）=﹣．參考答案：-【考點】兩角和與差的正弦函數；運用誘導公式化簡求值．【專題】計算題；三角函數的求值．【分析】運用的誘導公式求出cos（）的值，根據α為鈍角，求出的取值范圍，確定sin（）的符號，運用同角三角函數的平方關系即可得到結果．【解答】解：∵sin（+α）=，∴cos（﹣α）=cos[﹣（+α）]=sin（+α）=，∵α為鈍角，即＜α＜π，∴＜﹣，∴sin（﹣α）＜0，∴sin（﹣α）=﹣=﹣=﹣，故答案為：﹣．【點評】本題考查運用誘導公式求三角函數值，注意不同角之間的關系，正確選擇公式，運用平方關系時，必須注意角的范圍，以確定函數值的符號．12.若橢圓的焦點在軸上，過點作圓的切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓方程為

▲

.參考答案：13.若不等式組的解集中所含整數解只有-2，求的取值范圍

.參考答案：由得要使解集中只有一個整數，則由可知，不等式的解為，且，即，所以的取值范圍是。14.已知角α的終邊上一點的坐標為（﹣sin25°，cos25°），則角α的最小正值為．參考答案：115°【考點】G9：任意角的三角函數的定義．【分析】利用任意角的三角函數的定義，誘導公式，求得角α的最小正值．【解答】解：∵角α的終邊上一點的坐標為（﹣sin25°，cos25°），為第二象限角，且tanα==﹣cot25°=﹣tan65°=tan=tan115°，則角α的最小正值為115°，故答案為：115°．15.函數的單調遞增區間是_參考答案：略16.,且滿足，則的最小值為

參考答案：1略17.若集合A={x|x＞1}，B={x|x＜3}，則A∩B=

．參考答案：{x|1＜x＜3}【分析】由集合A={x|x＞1}，B={x|x＜3}，結合集合交集的定義，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x＞1}，B={x|x＜3}，∴A∩B={x|1＜x＜3}，故答案為：{x|1＜x＜3}三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題14分）一個袋中有若干個大小相同的黑球、白球和紅球．已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是．

（Ⅰ）若袋中共有10個球，（i）求白球的個數；（ii）從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數為，求隨機變量的數學期望．（Ⅱ）求證：從袋中任意摸出2個球，至少得到1個黑球的概率不大于．并指出袋中哪種顏色的球個數最少．參考答案：本題主要考查排列組合、對立事件、相互獨立事件的概率和隨機變量分布列和數學期望等概念，同時考查學生的邏輯思維能力和分析問題以及解決問題的能力．滿分14分．（Ⅰ）解：（i）記“從袋中任意摸出兩個球，至少得到一個白球”為事件A，設袋中白球的個數為，則，得到．故白球有5個．（ii）隨機變量的取值為0，1，2，3，分布列是0123的數學期望．（Ⅱ）證明：設袋中有個球，其中個黑球，由題意得，所以，，故．記“從袋中任意摸出兩個球，至少有1個黑球”為事件B，則．所以白球的個數比黑球多，白球個數多于，紅球的個數少于．故袋中紅球個數最少．

19.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為：，直線l：y=x+2與以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓O相切．（1）求橢圓C的方程；（2）設橢圓C與曲線|y|=kx（k＞0）的交點為A，B，求△OAB面積的最大值．參考答案：考點：橢圓的簡單性質．專題：計算題；不等式的解法及應用；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：（1）求得圓的方程，由直線和圓相切的條件，可得b=，由離心率公式和a，b，c的關系，可得a，進而得到橢圓方程；（2）設A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），則y0=kx0，設AB交x軸于D，用k表示S△OAB，再由基本不等式即可得到最大值．解答： 解：（1）由題意可得x2+y2=b2，直線l：x﹣y+2=0與圓O相切，有=b，即b=，e==，又c2=a2﹣b2=a2﹣2，解得a=，則橢圓方程為+=1；（2）設A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），則y0=kx0，設AB交x軸于D，由對稱性可得S△OAB=2S△OAD=2×x0y0═kx02，由y0=kx0代入+=1，可得x02=，則S△OAB==≤=．當且僅當3k=，即k=時，△OAB面積的最大值為．點評：本題考查橢圓的方程和性質，同時考查直線和圓相切的條件，運用基本不等式求最值是解題的關鍵，屬于中檔題．20.設函數。求（1）的值域；（2）記的內角A、B、C的對邊長分別為a，b，c，若=1，b=1,c=，求a的值。參考答案：（1）

=因此的值域為（2）

得

解得a=1或a=2

略21.已知在中，角、、的對邊分別為、、，，，．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）求的值．參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）解：（Ⅰ）∵，，，∴，．（Ⅱ）∵，，，代入，，解出，又∵，∴．22.某房地產開發商投資81萬元建一座寫字樓，第一年裝修費為1萬元，以后每年增加2萬元，把寫字樓出租，每年收入租金30萬元.（1）若扣除投資和裝修費，則從第幾年開始獲取純利潤？w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2）若干年后開發商為了投資其他項目，有兩種處理方案：①純利潤總和最大時，以10萬元出售；②該樓年平均利潤最大時以46萬元出售該樓，問哪種方案更優？參考答案：解析：（1）設第n年獲取利潤為y萬元n年共收入租金30n萬元，付出裝修費構成一個以1為首項，2為公差的等差數列，共…………2分因此利潤，令

……3分解得：

，