廣東省廣州市四十八中學2021年高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.記,，則這三個數的大小關系是．

．

．

．參考答案：由比較法不難得出，構造函數，知此函數在區間上為減函數，從而得到即2.若將函數f（x）=sin2x+cos2x的圖象向右平移φ個單位，所得圖象關于y軸對稱，則φ的最小正值是（）A． B． C． D．參考答案：C考點： 函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．

專題： 三角函數的求值．分析： 利用兩角和的正弦函數對解析式進行化簡，由所得到的圖象關于y軸對稱，根據對稱軸方程求出φ的最小值．解答： 解：函數f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的圖象向右平移φ的單位，所得圖象是函數y=sin（2x+﹣2φ），圖象關于y軸對稱，可得﹣2φ=kπ+，即φ=﹣，當k=﹣1時，φ的最小正值是．故選：C．點評： 本題考查三角函數的圖象變換，考查正弦函數圖象的特點，屬于基礎題．3.某幾何體的三視圖如圖所示，其中圓的半徑均為1，則該幾何體的體積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A3.函數f(x)=(sinx+cosx)2的一條對稱軸的方程是(

)參考答案：A化簡，∴將選項代入驗證，當時，取得最值，故選.5.設，則“的

（A）充分不必要條件

（B）必要不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件參考答案：B6.若，，則角的終邊一定落在直線（

）上。A．

B．

C．

D．參考答案：答案：D7.（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略8.已知點A是拋物線x2=4y的對稱軸與準線的交點，點F為拋物線的焦點，P在拋物線上且滿足|PA|=m|PF|，當m取最大值時|PA|的值為（）A．1 B． C． D．2參考答案：D【考點】拋物線的簡單性質．【分析】過P作準線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義，結合|PA|=m|PF|，設PA的傾斜角為α，則當m取得最大值時，sinα最小，此時直線PA與拋物線相切，求出P的坐標，即可求得|PA|的值．【解答】解：拋物線的標準方程為x2=4y，則拋物線的焦點為F（0，1），準線方程為y=﹣1，過P作準線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義可得|PN|=|PF|，∵|PA|=m|PF|，∴|PA|=m|PN|，設PA的傾斜角為α，則sinα=，當m取得最大值時，sinα最小，此時直線PA與拋物線相切，設直線PA的方程為y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴|PA|==2．故選D．【點評】本題考查拋物線的性質，考查拋物線的定義，考查學生分析解決問題的能力，解答此題的關鍵是明確當m取得最大值時，sinα最小，此時直線PA與拋物線相切，屬中檔題．9.（5分）（2015?萬州區模擬）x，y滿足約束條件，若z=y﹣2ax取得最大值的最優解不唯一，則實數a的值為（）A．1或﹣B．或﹣1C．2或1D．2或﹣1參考答案：【考點】：簡單線性規劃．【專題】：不等式的解法及應用．【分析】：作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義，得到直線y=2ax+z斜率的變化，從而求出a的取值．【解答】：作出不等式組對應的平面區域如圖：（陰影部分ABC）．由z=y﹣2ax得y=2ax+z，即直線的截距最大，z也最大．若a=0，此時y=z，此時，目標函數只在A處取得最大值，不滿足條件，若a＞0，目標函數y=2ax+z的斜率k=2a＞0，要使z=y﹣2ax取得最大值的最優解不唯一，則直線y=2ax+z與直線2x﹣y+2=0平行，此時2a=2，即a=1．若a＜0，目標函數y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣2ax取得最大值的最優解不唯一，則直線y=2ax+z與直線x+y﹣2=0，平行，此時2a=﹣1，解得a=﹣綜上a=1或a=﹣，故選：A．【點評】：本題主要考查線性規劃的應用，利用目標函數的幾何意義，結合數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法．注意要對a進行分類討論．10.已知集合，，則（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.圓與直線y=x相切于第三象限，則a的值是

．參考答案：因為圓與直線y=x相切于第三象限，所以。則有圓心到直線的距離，即，所以12.某廠家擬在2011年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量（即該廠的年產量）萬件與年促銷費用萬元滿足（為常數），如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量是1萬件.已知2011年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍（產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費用）．（1）將2011年該產品的利潤萬元表示為年促銷費用萬元的函數；（2）該廠家2011年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？參考答案：解：（1）由題意可知，當時，，∴即，∴，每件產品的銷售價格為元.∴2009年的利潤

（8分）（2）∵時，.∴，當且僅當，即時，.（15分）答：該廠家2011年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大，最大為21萬元.（16分）13.一個空間幾何體的三視圖如右圖，則該幾何體的體積為

.

參考答案：14.△ABC中B=120°,AC=2,AB=2,則△ABC的面積為_________.參考答案：15.已知，若，且方程有5個不同根，則的取值范圍為________參考答案：【分析】設，作出函數的圖象，由方程有個不同根轉化為二次方程的兩根，，并構造函數，轉化為二次函數的零點分布，得出，結合，可作出關于、的不等式組，作出可行域，將視為可行域中的點到直線的距離，結合圖象可得出答案.【詳解】作出函數的圖象如下圖所示：設，則方程有個不同根轉化二次方程的兩根，，構造函數，可得不等式，即，結合，作出圖形如下圖所示，不等式組表示的平面區域為邊長為的正方形，不等式組表示的區域為下圖中的陰影部分（不包括軸），代數式視為可行域中的點到直線的距離，當點與點重合時，，結合圖形可知，取值范圍是，故答案為：.【點睛】本題考查復合函數的零點個數問題，涉及二次函數零點分布、線性規劃以及點到直線的距離，解題的關鍵在于將問題轉化為二次函數零點的分布，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，屬于難題.16.觀察下列等式：；；；…則當且表示最后結果.

（最后結果用表示最后結果）．參考答案：。17.各項均為正數的等比數列的前項和為，若，，則的值為

，的值為

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設函數,的圖象關于直線對稱，其中為常數，且．(1)求函數的最小正周期；(2)若的圖象經過點，求函數在上的值域．參考答案：略19.（本小題滿分13分）下表為某體育訓練隊跳高、跳遠成績的分布，共有隊員40人，成績分為1～5五個檔次，例如表中所示跳高成績為4分，跳遠成績為2分的隊員為5人.將全部隊員的姓名卡混合在一起，任取一張，該卡片隊員的跳高成績為x分，跳遠成績為y分.⑴求m+n的值；⑵求x=4的概率及x≥3且y=5的概率．yx跳

遠54321

跳

高51310141025132104321m60n100113參考答案：20.[選修4-5不等式]已知函數（1）.證明:（2）若,求實數a的取值范圍.參考答案：證明：因為所以（2）因為所以解得21.已知函數.(1)求在區間[－2，1]上的最大值；(2)若過點P(1，t)存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍；(3)問過點A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分別存在幾條直線與曲線相切？(只需寫出結論)參考答案：略22.（本小題滿分13分）如圖，已知在直四棱柱（側棱垂直底面的棱柱）中，，，．（Ⅰ）求證：平面.（Ⅱ）求與平面所成的角的的正弦值；（Ⅲ）求二面角的正弦值．參考答案：見解析考點：利用直線方向向量與平面法向量解決計算問題