立體幾何中的截面問題例3:已知A爪立分別是四棱柱曲第一可應令烏的棱勁、叫和帆上的點,且^與助不平行』求作過這三點的截面口作法：(L)連接仃井延長交加延長線于點工(2)在平面四閉內連接々交出于點就⑶連接用屐則四邊形尸婀即為所求.例飛如圖,五棱錦—的城中，三條便接上各有一已知點F,G、墨求作過F,G,月的截面，作法：⑴將側面總、PBC,如伸展得到三棱錐4屬「⑵在側面盛內，連結并延快交他于工⑶在側面出『內.連結井延長初交舊'干匚⑷在惻面?$了內，連結或分別交陽、PE于&M(5)連結EK磔則五邊形儂3W即為所求的截面例仇己廝直四棱柱4勺，嚴在面4贖1［內，。在面直用研內.E在桂州上」畫出過人久斤三點的覲面口作法：⑴過戶作即J_◎于點嚴，過Q作QQJU〃于Q(2)在底面破刀內連接肝.BQ,并交于瓦⑶由平行線R、所作平面我掰連接明⑷在平面8班內過4祚版L面M07交篇于尤⑸由平行線用,川］作平面用照i，則荒必落在面月24］內⑹在面所池［內，連接掰井延長交山1于必⑺在面為幽內，連接卸，并延長交納于￡1s⑻在面網比Q內,連接陽并延長交CCy于兀⑼連接￡八限則多邊形S班丁即為所求.例去在側棱和高的夾角為q的正四棱鐐中，求隹一個過底面頂點且與這點所對側柱垂直的般面（）＜45,，作法；⑴在平面胡心中.作延工宓于點反⑵在底面ABCD內過H作國”跛⑶延長嵌切分別交啟于點風M弧）連接小懿分別交雅、副于點國風￡5）連接』以血則多邊形/磔H即為所求.類型生截面經逑的三個已知點兩兩不在同一面內的樓上.Af例的aar三點分別在直四棱柱的橋的、和四上，試畫出過ra#三點的截面JVJV【注】如果G在平面4Q內時，任平而4G內作GF〃片卻，情助平面POCB分割出直四棱柱44用—QR0U.又回到基本題型,在求得A1.N兩點后，易得截面ERFEH若E在棱，4匕F.G分別在不經過校區4的兩個面f共楂的兩個面或相對的兩個if力內,則作截面的步驟，仍是先作一個適當的輔助平面?歸結為基本題型MKj?1/MKj?1/例m色E在平加4以內,F在平而且「內，G在平面耳R內，求過E.EG的截面解：如圖，先作輔助平面在0PT，得到直五桂柱A.RQC.D,-ATPCD、連接EF并延長交尸。的延長埃廣時,按增本我型方法作出截面KHL5例二七￡F分別在正方體的梭B與＜①上.G在正方體的內部.求過EFG的截面解:過行作GH,平面且C,并延長交平而4G于K.作輔助平面4P0B,連接EC并延枝交尸0TM.連接EF.在平面H以內過尺作TS//EF.連接7T和FS,則所求裁面為『EF5【總結X①若已知兩點在同一平面內，只要連接這兩點，就可以得到截面與多面體的一個面的截繞.②若面上只有一個已知點，應設法在同一平面上再找出第二確定的點.③若兩個已知點分別在相鄰的面上，應找出這兩個平面的交線與截面的交點.④若兩平行平面中一個平面與截面有交戰，另一個面上只有一個已知點，則按平行平面與第三平面相交，那么它們的交線互相平行的性質，可得截面與平面的交線Q⑤若有一點在面上而不在樓上，則可通過作輔助平面轉化為核上的點的何題；若已知點在體內，則可通過輔助平面使它轉化為面上的點，再轉化為棱上的點的問題來解決.u切二M-g=匹二/一,rc=m=-—gs8&ii】8cos0sing軸威面工期混的面積為S=R-tan&-(R-hSotran9-fi)-2Rh-fi2&截而CQRG的面積為5?工fs-臬叱也jIJ?.3.1.Rh.>,.,2Rh=—()-sina——(-sina=sin孤2cos328g8sin6sin2^在△白B和△附力中，a<^-23⑴當時，所以。式儀式打420改卜L2*in〃在（0,斤）可取得最大值L此時故而面積的最大清為廣sin2。2sin例18：三棱椎A-BCD中，截卸任FGH與對棱AC\BD都平行，旦與AB.BC.CD.DA交干E.FG.H.則EF一GH在何處時.就而EF5面積城大解士由*。〃平面EFGN,過的平面.州C交平而EFGN『EF,EFf/AC同理7/。〃1「.所以￡尸〃/0,同理可證/77"96.故EFGH是平行四邊形記工FEH三6,由EF//AC.EH//BD可知異面直線與ED所成用為6或萬-S由于三棱維司―BCD是給定的，則8是定值，記"一二二一二丁，則*+】=[ABAB^EFACnf^BEF^^BA,C=>=r=>￡F-vJC'ACAB'^pujr￡H*R0=4AEHs△aBR^二土=xnEH=<4B,故BDABS￡rQ^=EF.EH.SUI&三（JB./fC,sillr.ivsf^RJC.siJC.5in^14例1伙如圖f,正四面體HRCD，相尸是線段XB上簾近月的三等分點,0是線段寸節近Q的三等分點，R是線段CD的中點，作截而尸。員，交線段8「于5.試確定5的具地位較解工設方=江工？二2萬三工則尸0三百十牙。匚TOC\o"1-5"\h\zII■*?Hi—■I??Im*9R=pD+HR=pQ+—(*C—?=—』+—9――}=y——d―3—之由截面F0取交線段EC于S,則萬：麗.礪共面，于是存在唯一的實數人“,使得萬=乂國+〃圓，記說=#反1則方=廂+方=二5+16一3)=(——,r)5+xc3333284—4—所以《3」二2一二”工二2,.丫二二，于是HS三二3C.1「55E"彳*所以5是線段BCt的軾近點「的五等分點,Ss_$Ss_$證明：以正楂臺為例二例20；如圖,曲凌臺的上下底面油閘分別為平行丁底面的他間4曷CJJ/o分晶母T的比里幺二坦，截面面糊為舟，求證；叵J而中建屈H0fTnut+n證明］過/作TN.與4序交于對AM網ui…用HB=iMB『hn5+，M6A-SV區及，『飛"j"n…川十"S.'S"例21若臺體的側面積被平行底面的截面自上而下分成M：小則截而面枳%=上上二L9+JJ05?姻=$一§|一二膽"Sq="居二+"§1：5卜朗S|.-5an，〃+"若舍體的體視被平行底面的戳匍自上諭下分成加㈤3ijmq?_“S?則低而面積5口滿足5/二1—m-Hi例桀過正方體4比工）-月禺G0的對角線助1的微曲耐積為&心和鼠分別為E的最大值和最小值，求必把的值5'a解:設北、分別為班、偌的中點.易證截而皿是班長為色■的菱形加力體極長設為2J6口.其面積$皿二號而心ini能所◎是比膨、其而秋一=J，例23.如圖，己加球日是模長為1的正方體」比0-4挽Ga的內切碎.則平而，屈徒球。的截面面根為.解:平而月s是邊長為五的正三珈形r且理與以點口為公共點不F三個面的切點恰為S、三邊的中點?故所求戒面的曲積是該.正三角形的內切網的面積，則由圖得,入4匚4內切照的半捺是旦皿野二四,則所求的破而PS的面積是正（四廣三二2666

解：如國，9_L平面EPC于Fi故4cp是』仃與平面郎￡所成的便出據最小角定理.ZACS>Z.4CP,同理/￡/「〉上仁4Fa所以WB+^BAC>A4CP+Z.CAP=900n^L4BC匕9/［司理可證/E匚工上二4月都是銳角.故△/月「為銳角一角電T利、（州"氣M聯容）己怔iF方體ARCn-4風「［口的椅長為1.以頂點X用球心.=為半論作一個球，求球面與正方體的表曲相交歷得到的曲線的長解：TE二受.AD=102DAE=三,同理幺發/二三二ZE肝二二366—6散畬的長為2更.2=迫疳，這樣的弧共有3條369在平面胃線口只上，交線為元.因為半役為￡.3內仃二m所以啟的長為史a二無「卜EshTOC\o"1-5"\h\z這樣的弧也有&條.故所得曲線長為3區工匚笈十3以上二1*k966例29：已知球的半徑為2,相互垂直的兩個平面分別截球面得兩個圓.若兩圓的公共弦長為2,則兩圓的喇心距等于()-、A.1B.41匚點D,1Z,解析；Q與Q的公共弦為AB,球心為0.里中點為C,/\則四邊形duqr為矩形，iqanoc\..-|aii=2.1；07明以\AC^LAC±OC二I叩=J&fT元『二石、、J/

s與的交點r滿足r國利用三角形相似解得GM所以為假s與的交