三角函數的應用課時訓練11三角函數的應用基礎夯實1.從高出海面hm的小島A處看正東方向有一只船B,俯角為30°,看正南方向的一只船C的俯角為45°,則此時兩船間的距離為()m m m m答案C解析如圖所示,在Rt△ABO中,BO=h(m),在Rt△AOC中,CO=AO=h(m),在Rt△BOC中,BC==2h(m).2.如圖是一彈簧振子做簡諧運動的圖象,橫軸表示振動的時間,縱軸表示振子的位移,則這個振子振動的函數解析式是()=2sin=sin=2sin=sin答案A解析設函數解析式為y=Asin(ωt+φ),則有A=2,T=2×又×+φ=,∴φ=.∴解析式為y=2sin.3.導學號51820238某時鐘的秒針端點A到中心點O的距離為5cm,秒針繞點O勻速旋轉,當時間t=0時,點A與鐘面上標有12的點B重合.將A,B兩點間的距離d(cm)表示成t(s)(t∈[0,60])的函數,則d=() 答案B解析設d=Asin(ωt+φ).由題意可得此函數過點(0,0),(30,10),(60,0).則有解得∴d=10sin.4.如圖,設點A是單位圓上的一定點,動點P從點A出發在圓上按逆時針方向旋轉一周,點P所旋轉過的弧的長為l,弦AP的長為d,則函數d=f(l)的圖象大致是()答案C解析令α為所對的圓心角,由l=αR可知α=,結合圓的幾何性質可知=Rsin,∴d=2Rsin=2Rsin.又R=1,∴d=2sin,故結合正弦圖象可知C正確.5.函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<2π)的最小值為-4,周期為,且它的圖象過點(0,-2),則此函數的表達式為.

答案y=4sin或y=4sin解析依題意得A=4,T=,∴ω=3,即y=4sin(3x+φ).又點(0,-2)在圖象上,故4sinφ=-2,解得sinφ=-.∵0<φ<2π,∴φ=.∴所求解析式為y=4sin或y=4sin.6.導學號51820239某昆蟲種群數量1月1日低至700只,當年7月1日高達900只,其數量在這兩個值之間按正弦曲線規律改變,則該昆蟲種群數量關于時間t(月)的函數解析式是.

答案y=100sin+800解析設函數解析式為y=Asin(ωt+φ)+k(y為種群數量(只)).由題意,ymin=700,ymax=900,∴A==100,k==800.∵=6,∴T=12.∴ω=.∴y=100sin+800.又第二個關鍵點為(7,900),∴×7+φ=.∴φ=-.∴函數解析式為y=100sin+800.7.單擺從某點開始左右擺動,它離開平衡位置的位移s(cm)和時間t(s)的函數關系是s=6sin.求:(1)單擺開始擺動(t=0)時離開平衡位置的位移;(2)單擺離開平衡位置的最大位移;(3)單擺來回擺動一次所需要的時間.解(1)當t=0s時,s=6sin=3(cm).(2)當t=s時,s=6sin=6sin=6(cm).此時離開平衡位置的位移最大.(3)單擺來回擺動一次所需要的時間就是一個周期.∴T==2(s).能力提升8.已知受噪聲干擾的正弦波信號的相關信號圖形如圖所示,此圖可以視為y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的圖象的一部分,試求此函數解析式.解∵已知信號最大、最小的波動幅度為3和-3,∴A=3.由圖象知,,∴T=π.∴ω==2.∴y=3sin(2x+φ).由圖象知點是第三個關鍵點,∴×2+φ=π.∴φ=.∴所求函數解析式為y=3sin.9.導學號51820230已知某海濱浴場海浪的高度y(米)是時間t(0≤t≤24,單位:時)的函數,記作y=f(t),下表是某日各時的浪高數據:t/時03691215182124y/米經長期觀測,y=f(t)的曲線可近似地看成是函數y=Acosωt+b的圖象.(1)根據以上數據,求函數y=Acosωt+b的最小正周期T、振幅A及函數表達式;(2)依據規定,當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放,請依據(1)的結論,判斷一天內的8:00至20:00之間,有多少時間可供沖浪者進行運動.解(1)由表中數據,知周期T=12.∴ω=.由t=0,y=,得A+b=;由t=3,y=,得b=.∴A=.∴振幅為.∴函數表達式為y=cost+1.(2)由題知,當y>1時才可對沖浪者開放,∴cost+1>1.∴cost>0.∴2kπ-t<2kπ+,即12k-3<t<12