導數在研究函數中的應用3.3.1單調性1.了解函數的單調性與導數的關系.2.掌握利用導數研究函數的單調性的方法，會求函數的單調區間.(重點、難點)[基礎·初探]教材整理函數的單調性閱讀教材P86思考以上部分，完成下列問題.1.函數的單調性與其導數正負的關系定義在區間(a，b)內的函數y＝f(x)f′(x)的正負f(x)的單調性f′(x)>0增函數f′(x)<0減函數2.函數圖象的變化趨勢與導數值大小的關系一般地，設函數y＝f(x)，在區間(a，b)上導數的絕對值函數值變化函數的圖象越大快比較“陡峭”(向上或向下)越小慢比較“平緩”(向上或向下)1.判斷正誤：(1)函數f(x)在定義域上都有f′(x)>0，則函數f(x)在定義域上單調遞增.()(2)f(x)在區間(a，b)上是增函數，則f′(x)一定大于零.()(3)若f(x)＝eq\f(1,x)(x≠0)，則f′(x)＝－eq\f(1,x2)＜0，所以f(x)是單調減函數.()【解析】(1)×.反例：f(x)＝－eq\f(1,x)，f′(x)＝eq\f(1,x2)＞0，但f(x)在其定義域上不是增函數.(2)×.反例：f(x)＝x3在(－1,1)上是增函數，但f′(0)＝0.(3)×.f(x)＝eq\f(1,x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是減函數，但在其定義域上不是減函數.【答案】(1)×(2)×(3)×2.函數y＝x2(x－1)的單調增區間為________.【解析】y′＝2x(x－1)＋x2＝3x2－2x，令y′≥0，得3x2－2x≥0，x(3x－2)≥0，∴x≥eq\f(2,3)或x≤0，∴函數增區間為(－∞，0]和eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)).【答案】(－∞，0]和eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))[質疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑問2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑問3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小組合作型]函數與其導函數圖象之間的關系(1)如圖3-3-1，設f′(x)是函數f(x)的導函數，將y＝f(x)和y＝f′(x)的圖象畫在同一個直角坐標系中，不正確的是________(填序號).圖3-3-1(2)已知函數y＝xf′(x)的圖象如圖3-3-2(其中f′(x)是函數f(x)的導函數)，下面四個圖象中，y＝f(x)的圖象大致是________(填序號).圖3-3-2【精彩點撥】(1)通過對各個選項中圖象的變化判斷是否符合題目的條件.(2)根據y＝xf′(x)函數圖象中所反映的f′(x)的符號，確定y＝f(x)的單調區間，確定y＝f(x)的圖象.【自主解答】(1)①，②，③均有可能；對于④，若C1為導函數，則y＝f(x)應為增函數，不符合；若C2為導函數，則y＝f(x)應為減函數，也不符合.(2)由題圖知，當x＜－1時，xf′(x)＜0，∴f′(x)＞0，∴當x＜－1時，函數y＝f(x)單調遞增；當－1＜x＜0時，xf′(x)＞0，∴f′(x)＜0，∴當－1＜x＜0時，函數y＝f(x)單調遞減；當0＜x＜1時，xf′(x)＜0，∴f′(x)＜0，∴當0＜x＜1時，函數y＝f(x)單調遞減；當x＞1時，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0，∴當x＞1時，y＝f(x)單調遞增.綜上可知，③是y＝f(x)的大致圖象.【答案】(1)④(2)③1.利用原函數圖象可以判斷導函數的正負，原函數的單調增區間即為f′(x)≥0的區間，原函數的減區間就是導函數f′(x)≤0的區間.2.利用導函數的圖象可以判斷原函數的單調區間，導函數在x軸上方的區間就是原函數的增區間，導函數在x軸下方的區間就是原函數的減區間.[再練一題]′(x)是f(x)的導函數，若f′(x)的圖象如圖3-3-3所示，則f(x)的圖象可能是________(填序號).【導學號：24830079】圖3-3-3【解析】由導函數的圖象可知，當x＜0時，f′(x)＞0，即函數f(x)在此區間為增函數；當0＜x＜x1時，f′(x)＜0，即函數f(x)在此區間為減函數；當x＞x1時，f′(x)＞0，即函數f(x)在此區間為增函數.觀察選項易知③正確.【答案】③求函數的單調區間求下列各函數的單調區間：(1)f(x)＝2x3－3x2；(2)f(x)＝eq\f(lnx,x).【精彩點撥】求定義域→求導數f′(x)→解f′(x)＞0的增區間→解f′(x)＜0的減區間【自主解答】(1)函數f(x)定義域為R，且f′(x)＝6x2－6x.令f′(x)＞0，即6x2－6x＞0，解得x＞1或x＜0；令f′(x)＜0，即6x2－6x＜0，解得0＜x＜1.所以f(x)的單調遞增區間是(－∞，0)和(1，＋∞)；單調遞減區間是(0,1).(2)函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2).令f′(x)＞0，即eq\f(1－lnx,x2)＞0，得0＜x＜e；令f′(x)＜0，即eq\f(1－lnx,x2)＜0，得x＞e，所以f(x)的單調遞增區間是(0，e)，單調遞減區間是(e，＋∞).1.利用導數求函數f(x)的單調區間，實質上是轉化為解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0，不等式的解集就是函數的單調區間.2.利用導數求單調區間時，要特別注意不能忽視函數的定義域，在解不等式f′(x)＞0[或f′(x)＜0]時，要在定義域前提下求解.如果函數的單調區間不止一個時，要用“和”“及”等連結，而不能寫成兩個區間并集形式.[再練一題]2.求下列各函數的單調區間：(1)f(x)＝x3－3x；(2)f(x)＝3x2－2lnx.【導學號：24830080】【解】(1)函數f(x)的定義域為R，且f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1).當f′(x)＞0時，x<－1或x＞1，此時函數f(x)遞增；當f′(x)<0時，－1<x<1，此時函數f(x)遞減.∴函數f(x)的遞增區間是(－∞，－1)，(1，＋∞)，遞減區間是(－1,1).(2)函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝6x－eq\f(2,x)＝eq\f(23x2－1,x).令f′(x)＞0，即eq\f(23x2－1,x)＞0，∵x＞0，∴x＞eq\f(\r(3),3).∴函數f(x)的遞增區間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞)).令f′(x)＜0，即eq\f(23x2－1,x)＜0，∵x＞0，∴0＜x＜eq\f(\r(3),3).∴函數f(x)的遞減區間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3))).∴函數f(x)的遞增區間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))，遞減區間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3))).根據函數的單調性求字母參數的取值范圍若函數f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的單調函數，求實數m的取值范圍.【精彩點撥】【自主解答】f′(x)＝3x2＋2x＋m，由于f(x)是R上的單調函數，所以f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立.由于導函數的二次項系數3＞0，所以只能有f′(x)≥0恒成立.方法一：由上述討論可知要是f′(x)≥0恒成立.只需使方程3x2＋2x＋m＝0的判別式Δ＝4－12m≤0，故m≥eq\f(1,3).經檢驗，當m＝eq\f(1,3)時，只有個別點使f′(x)＝0，符合題意.所以實數m的取值范圍是m≥eq\f(1,3).方法二：3x2＋2x＋m≥0恒成立，即m≥－3x2－2x恒成立.設g(x)＝－3x2－2x＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))2＋eq\f(1,3)，易知函數g(x)在R上的最大值為eq\f(1,3)，所以m≥eq\f(1,3).經檢驗，當m＝eq\f(1,3)時，只有個別點使f′(x)＝0，符合題意.所以實數m的取值范圍是m≥eq\f(1,3).1.可導函數f(x)在(a，b)上單調遞增(或單調遞減)的充要條件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子集內都不恒等于0.2.已知f(x)在區間D上單調，求f(x)中參數的取值范圍的方法為分離參數法.通常將f′(x)≥0(或f′(x)≤0)的參數分離，轉化為求函數的最值問題，從而求出參數的取值范圍.特別地，若f′(x)為二次函數，可以由相應方程的根的判別式求出參數的取值范圍.[再練一題]3.若函數h(x)＝2x－eq\f(k,x)＋eq\f(k,3)在(1，＋∞)上是增函數，則實數k的取值范圍是________.【解析】根據條件，得h′(x)＝2＋eq\f(k,x2)＝eq\f(2x2＋k,x2)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈[－2，＋∞).【答案】[－2，＋∞)[探究共研型]求含參數函數的單調區間探究1函數f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋ax的導數f′(x)是什么？f′(x)＝0是否一定有實數根？【提示】f′(x)＝x2－2x＋a，f′(x)＝0即x2－2x＋a＝0不一定有實數根，當Δ＝4－4a＞0，即a＜1時，f′(x)＝0有不等實數根；當Δ＝4－4a＝0，即a＝1時，f′(x)＝0有兩個相等的實數根；當Δ＝4－4a＜0，即a＞1時，f′(x)＝0沒有實數根.探究2根據探究1的討論，求函數f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋ax的單調區間.【提示】由探究1知，當Δ＝4－4a≤0，即a≥1時，f′(x)≥0恒成立，函數f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋ax在定義域(－∞，＋∞)上單調遞增，沒有單調遞減區間；當Δ＝4－4a＞0，即a＜1時，令f′(x)＞0，解得x＞1＋eq\r(1－a)或x＜1－eq\r(1－a)，令f′(x)＜0，解得1－eq\r(1－a)＜x＜1＋eq\r(1－a)，所以函數f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋ax的單調遞增區間是(－∞，1－eq\r(1－a))，(1＋eq\r(1－a)，＋∞)，單調遞減區間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\r(1－a)，1＋\r(1－a))).探究3設f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)(a＋1)x2＋ax，f′(x)＝0一定有實數根嗎？若有，它們的大小確定嗎？試求函數f(x)的單調遞減區間.【提示】f′(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)，所以f′(x)＝0有實數根a和1，但它們的大小不確定，所以求f(x)的單調區間要據此分類討論：當a＞1時，由f′(x)＜0解得1＜x＜a，所以函數f(x)的單調遞減區間是(1，a)；當a＝1時，因為f′(x)＝(x－1)2≥0，所以函數f(x)不存在單調遞減區間；當a＜1時，由f′(x)＜0解得a＜x＜1，所以函數f(x)的單調遞減區間是(a,1).探究4設函數f(x)＝eq\f(1,3)ax3－eq\f(3,2)ax2＋2ax＋1(a≠0)，則f′(x)＝ax2－3ax＋2a＝a(x－1)(x－2)，不等式f′(x)＜0的解一定是1＜x＜2嗎？試求函數f(x)的單調遞減區間.【提示】不一定是，只有a＞0時，不等式f′(x)＜0的解才是1＜x＜2，當a＜0時，不等式f′(x)＜0的解是x＜1或x＞2，所以當a＞0時，函數f(x)的單調遞減區間為(1,2)，當a＜0時，函數f(x)的單調遞減區間為(－∞，1)，(2，＋∞).探究5通過以上討論，在求含參數函數的單調區間時，一般要對參數進行討論，那么要從哪幾個方面考慮這類問題呢？【提示】首先要確定f′(x)＝0是否有根，若不確定，要分類討論；在f′(x)＝0有根的情況下，如果根的大小不確定，則要按照其大小為分類標準進行討論；如果f′(x)＝0的最高次冪的系數的正負不確定，那么還要按照其正負進行討論.已知a∈R，求函數f(x)＝x2eax的單調區間.【精彩點撥】求導數f′(x)后對實數a的符號進行討論，并解不等式可得函數f(x)的單調區間.【自主解答】函數的定義域為′(x)＝2xeax＋ax2eax＝(2x＋ax2)eax.①當a＝0時，若x＜0，則f′(x)＜0，若x＞0，則f′(x)＞0，∴當a＝0時，函數f(x)在區間(－∞，0)內為減函數，在區間(0，＋∞)內為增函數；②當a＞0時，由2x＋ax2＞0，解得x＜－eq\f(2,a)或x＞0，由2x＋ax2＜0，解得－eq\f(2,a)＜x＜0，∴當a＞0時，函數f(x)在區間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,a)))和(0，＋∞)內為增函數，在區間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,a)，0))內為減函數.③當a＜0時，由2x＋ax2＞0，解得0＜x＜－eq\f(2,a)，由2x＋ax2＜0，解得x＜0或x＞－eq\f(2,a)，∴當a＜0時，函數f(x)在區間(－∞，0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，＋∞))內為減函數，在區間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(2,a)))內為增函數.1.本題主要考查求函數單調性的一般方法以及函數求導公式和法則的綜合應用.2.當解題過程中含有參數時，一般要對參數進行分類討論，此時需注意應準確確定分類標準和分類討論的準確性.[再練一題]4.求函數f(x)＝ex－ax(a∈R)的單調區間.【解】函數定義城為R，且f′(x)＝ex－a.當a≤0時，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增，無減區間；當a＞0時，由f′(x)＝ex－a＞0，得x＞lna，由f′(x)＜0，得x＜lna，所以f(x)在(lna，＋∞)上單調遞增，在(－∞，lna)上單調遞減.綜上，當a≤0時，f(x)的單調遞增區間是(－∞，＋∞)，無減區間；當a＞0時f(x)的單調遞增區間是(lna，＋∞)，單調遞減區間是(－∞，lna).[構建·體系]1.函數f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的單調遞減區間是________.【解析】f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，得1＜x＜2，∴函數f(x)的單調遞減區間是(1,2).【答案】(1,2)2.函數y＝eq\f(1,2)x2－lnx的單調遞減區間為________.【導學號：24830081】【解析】函數定義域為(0，＋∞)，y′＝x－eq\f(1,x)＝eq\f(x2－1,x)當x∈(0，＋∞)時，令y′＜0，得0＜x＜1，僅f′(1)＝0.【答案】(0,1]3.若函數y＝f(x)的導函數在區間[a，b]上是增函數，則函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象可能是________(填序號).【解析】∵y＝f(x)的導函數在區間[a，b]上是增函數，則從左到右函數f(x)圖象上的點的切線斜率是遞增的.【答案】①4.函數y＝ax3－x在R上是減函數，則實數a的取值范圍是________.【解析】因為y′＝3ax2－1，函數y＝ax3－x在R上是減函數，所以y′＝3ax2－1≤0恒成立，即3ax2≤1恒成立.當x＝0時，3ax2≤1恒成立，此時a∈R；當x≠0時