學業分層測評(建議用時：45分鐘)[學業達標]一、選擇題1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，則“a＝3”是“A?B”的()【導學號：18490013A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【解析】∵A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，A?B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A?B”的充分而不必要條件．【答案】A2．已知命題甲：“a，b，c成等差數列”，命題乙：“eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＝2”，則命題甲是命題乙的()A．必要而不充分條件B．充分而不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】若eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＝2，則a＋c＝2b，由此可得a，b，c成等差數列；當a，b，c成等差數列時，可得a＋c＝2b，但不一定得出eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＝2，如a＝－1，b＝0，c＝1.所以命題甲是命題乙的必要而不充分條件．【答案】A3．設φ∈R，則“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)為偶函數”A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】若φ＝0，則f(x)＝cos(x＋φ)＝cosx為偶函數，充分性成立；反之，若f(x)＝cos(x＋φ)為偶函數，則φ＝kπ(k∈Z)，必要性不成立，故選A.【答案】A4．“a＝－1”是“函數f(x)＝ax2＋2x－1只有一個零點”A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【解析】當a＝－1時，函數f(x)＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1只有一個零點1；但若函數f(x)＝ax2＋2x－1只有一個零點，則a＝－1或a＝0.所以“a＝－1”是“函數f(x)＝ax2＋2x－1只有一個零點”的充分不必要條件，故選B.【答案】B5．(2023·甘肅臨夏期中)已知函數f(x)＝x＋bcosx，其中b為常數，那么“b＝0”是“f(x)為奇函數”【導學號：18490014】A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】當b＝0時，f(x)＝x為奇函數；當f(x)為奇函數時，f(－x)＝－f(x)，∴－x＋bcosx＝－x－bcosx，從而2bcosx＝0，b＝0.【答案】C二、填空題6．“b2＝ac”是“a，b，c成等比數列”的________條件．【解析】“b2＝ac”eq\o(?,/)“a，b，c成等比數列”，如b2＝ac＝0；而“a，b，c成等比數列”?“b2＝ac”．【答案】必要不充分7．“a＝－1”是“l1：x＋ay＋6＝0與l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行”的________條件【解析】若直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行，則需滿足1×2(a－1)－a×(3－a)＝0，化簡整理得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，經驗證得當a＝－1時，兩直線平行，當a＝2時，兩直線重合，故“a＝－1”是“l1：x＋ay＋6＝0與l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行”的充要條件．【答案】充要8．在下列各項中選擇一項填空：①充分不必要條件；②必要不充分條件；③充要條件；④既不充分也不必要條件．(1)集合A＝{－1，p，2}，B＝{2，3}，則“p＝3”是“A∩B＝B”(2)“a＝1”是“函數f(x)＝|2x－a|在區間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是增函數”的________．【解析】(1)當p＝3時，A＝{－1，2，3}，此時A∩B＝B；若A∩B＝B，則必有p＝3.因此“p＝3”是“A∩B＝B”的充要條件．(2)當a＝1時，f(x)＝|2x－a|＝|2x－1|在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是增函數；但由f(x)＝|2x－a|在區間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是增函數不能得到a＝1，如當a＝0時，函數f(x)＝|2x－a|＝|2x|在區間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是增函數．因此“a＝1”是“函數f(x)＝|2x－a|在區間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是增函數”的充分不必要條件．【答案】(1)③(2)①三、解答題9．下列各題中，p是q的什么條件，q是p的什么條件，并說明理由．(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y;【導學號：18490015】(2)在△ABC，p：sinA>eq\f(1,2)，q：A>eq\f(π,6).【解】(1)因為|x|＝|y|?x＝y或x＝－y，但x＝y?|x|＝|y|，所以p是q的必要不充分條件，q是p的充分不必要條件．(2)因為A∈(0，π)時，sinA∈(0，1]，且A∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，y＝sinA單調遞增，A∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時，y＝sinA單調遞減，所以sinA>eq\f(1,2)?A>eq\f(π,6)，但A>eq\f(π,6)eq\o(?,/)sinA>eq\f(1,2).所以p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件．10．設a，b，c分別是△ABC的三個內角A、B、C所對的邊，證明：“a2＝b(b＋c)”是“A＝2B”的充要條件．【證明】充分性：由a2＝b(b＋c)＝b2＋c2－2bccosA可得1＋2cosA＝eq\f(c,b)＝eq\f(sinC,sinB).即sinB＋2sinBcosA＝sin(A＋B)．化簡，得sinB＝sin(A－B)．由于sinB＞0且在三角形中，故B＝A－B，即A＝2B.必要性：若A＝2B，則A－B＝B，sin(A－B)＝sinB，sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB.∴sin(A＋B)＝sinB(1＋2cosA)．∵A，B，C為△ABC的內角，∴sin(A＋B)＝sinC，即sinC＝sinB(1＋2cosA)．∴eq\f(sinC,sinB)＝1＋2cosA＝1＋eq\f(b2＋c2－a2,bc)＝eq\f(b2＋c2－a2＋bc,bc)，即eq\f(c,b)＝eq\f(b2＋c2＋bc－a2,bc).化簡得a2＝b(b＋c)．∴“a2＝b(b＋c)”是“A＝2B”的充要條件．[能力提升]1．如果A是B的必要不充分條件，B是C的充要條件，D是C的充分不必要條件，那么A是D的()A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】由條件，知D?C?B?A，即D?A，但Aeq\o(?,/)D，故選A.【答案】A2．設有如下命題：甲：相交兩直線l，m在平面α內，且都不在平面β內；乙：l，m中至少有一條與β相交；丙：α與β相交．那么當甲成立時()A．乙是丙的充分不必要條件B．乙是丙的必要不充分條件C．乙是丙的充分必要條件D．乙既不是丙的充分條件，又不是丙的必要條件【解析】當l，m中至少有一條與β相交時，α與β有公共點，則α與β相交，即乙?丙，反之，當α與β相交時，l，m中也至少有一條與β相交，否則若l，m都不與β相交，又都不在β內，則l∥β，m∥β，從而α∥β，與已知α與β相交矛盾，即丙?乙，故選C.【答案】C3．已知f(x)是R上的增函數，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，設P＝{x|f(x＋t)<2}，Q＝{x|f(x)<－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要條件，則實數t的取值范圍是________．【解析】因為f(x)是R上的增函數，f(－1)＝－4，f(x)<－4，f(2)＝2，f(x＋t)<2，所以x<－1，x＋t<2，x<2－t.又因為“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要條件，所以2－t<－1，即t>3.【答案】(3，＋∞)4．已知數列{an}的前n項和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求證：數列{an}為等比數列的充要條件為q＝－1.【導學號：18490016】【證明】充分性：因為q＝－1，所以a1＝S1＝p－1.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，顯然，當n＝1時，也成立．因為p≠0，且p≠1，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(pn（p－1）,pn－1（p－1）)＝p，即數列{an}為等比數列，必要性：當n＝1時