圓中陰影面積的計算課前熱身2.7弧長及扇形的面積

典型例題例1如圖，折扇完全打開后，OA、OB的夾角為120°，OA的長為30cm，AC的長為20cm，求圖中陰影部分的面積S．例2.（2008年南寧）如圖，△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，分別以AB、BC、AC為直徑作三個半圓，那么陰影部分的面積為__________________（平方單位）.分析：S陰影=S以AC為直徑的半圓

+

S以BC為直徑的半圓+

S△ABC－S以AB為直徑的半圓S2S1S3S1S2S3+=?S1S2S3=

S△ABC24方法1：利用規則圖形的________來計算陰影部分的面積.和差ACB探索發現如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，以A為圓心，AB為半徑畫弧，交AC于D點，求陰影部分面積（結果保留π）和差法有一些圖形結構復雜，通過觀察，分析出不規則圖形的面積是由哪些規則圖形組合而成的，再利用這些規則圖形的面積的和或差來求，從而達到化繁為簡的目的。如圖、水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是5cm，其中水面高3cm，求截面上有水部分的面積。0BACD弓形的面積=S扇-S⊿變式：如圖、水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是5cm，其中水面高8cm，求截面上有水部分的面積。0ABDCE弓形的面積=S扇+S△思考：如圖，點A、B、C在半徑為2的⊙O上，∠BAC=45°，求圖中陰影部分的面積（結果中保留π）．

BCA⊙A,⊙B,⊙C兩兩不相交,且半徑都是1cm,則圖中的三個扇形的面積之和為多少?（北京中考題）●●●●如圖,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外離,它們的半徑都是1,順次連接四個圓心得到四邊形ABCD,則圖形中四個扇形(陰影部分)的面積之和是___________.如圖，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D兩兩不相交，且半徑都是2cm，求圖中陰影部分的面積。（2007，山東）如圖所示，分別以n邊形的頂點為圓心，以單位1為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積之和為

個平方單位．如圖，正三角形ABC的邊長為a，分別以A、B、C為圓心，以為半徑的圓相切于點D、E、F，求圖中陰影部分的面積．ABCFED練一練例3.如圖，A是半徑為1的⊙O外一點，且OA=2，AB是⊙O的切線，BC//OA，連結AC，則陰影部分面積等于

.

分析：AB是⊙O的切線∠ABO＝90°OABC是什么圖形的一部分？扇形BOCBC//OAS△ABCS△BOC與＝∴S陰影=S扇形BOC∵OA=2，OB=1∴

∠BAO＝30°∴

∠BOA＝60°不難得出∠BOC＝60°∴S陰影=

=

方法2：根據平行線間的距離______，再利用________________的三角形面積相等進行轉化求值。相等“同底等高”探索發現學以致用己知直經AB=10，點C、D是圓的三等分點，則陰影部分的面積是_____________.ABCDO分析：C、D是圓的三等分點

∠BOD=∠COD=60°∵OC=OD，∴△COD是等邊三角形，∴∠CDO=∠BOD=60°，∴CD//AB∴S△ACD=S△BOD∴S陰影=S扇形COD=

=

轉化法此法就是通過等積變換、平移、旋轉、割補等方法將不規則的圖形轉化成面積相等的規則圖形，再利用規則圖形的面積公式，計算出所求的不規則圖形的面積。例4.

(2009年浙江嘉興)如圖，⊙P內含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于點C，且AB∥OP．若弦AB的長為6，則陰影部分的面積為______________.ABCOP分析：不難看出，S陰影=S大圓

－S小圓，但大、小圓的半徑能分別求出嗎？顯然不能！平移轉化：利用________來計算陰影部分的面積.平移探索發現

小圓的位置對陰影面積有影響嗎？沒有S陰影=

如圖，兩半圓內切，大半圓弦AB切小半圓于D，AB=6，則陰影部分的面積是_______________.BOADBAOD學以致用

例題講解例4.（2000年貴陽）如圖，正方形邊長為2，分別以兩個對角頂點為圓心，2為半徑畫弧，則圖中陰影部分的面積是（）A.B.C.D.

例4.（2000年貴陽）如圖，正方形邊長為2，分別以兩個對角頂點為圓心，2為半徑畫弧，則圖中陰影部分的面積是（）A.B.C.D.

分析：題目中“以兩個對角頂點為圓心，2為半徑畫弧”實際畫的是什么？扇形這個兩個扇形通過怎么的幾何變換能成為一個熟悉的圖形？旋轉探索發現例4.（2000年貴陽）如圖，正方形邊長為2，分別以兩個對角頂點為圓心，2為半徑畫弧，則圖中陰影部分的面積是（）A.B.C.D.

此時，S陰影=S半圓

－S等腰Rt△，B旋轉轉化：利用________來計算陰影部分的面積.旋轉探索發現201、（2008年桂林）兩同心圓，大圓半徑為3，小圓半徑為1，則陰影部分面積為_________________.

學以致用

∴S陰影=

=

=

旋轉轉化：利用___________來計算陰影部分的面積.旋轉思考題：BCA(2010年云南昆明，有改動)如圖，在Rt△ABC中，AB=AC=4，分別以AB、AC為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積是______________.解法一解法二解法三(2010年云南昆明，有改動)如圖，在Rt△ABC中，AB=AC=4，分別以AB、AC為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積是______________.思考題：BCAS陰影=S以AC為直徑的半圓

+

S以AB為直徑的半圓－S△ABC陰影面積可看成在△ABC上覆蓋以AB為直徑半圓和以AC為直徑半圓，因為△ABC內的陰影部分被半圓覆蓋兩次，所以=S以AC為直徑的圓

－S△ABC=

方法一：4

解法一解法二解法三重疊法（覆蓋法）就是把所求陰影部分的面積問題轉化為可求面積的規則圖形的重疊部分的方法。這類題陰影一般是由幾個圖形疊加而成。要準確認清其結構，理順圖形間的大小關系。思考題：BCA(2010年云南昆明，有改動)如圖，在Rt△ABC中，AB=AC=4，分別以AB、AC為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積是______________.方法二：用方程組來解決如圖所示，對陰影部分與空白部分的面積進行設元xx2xyy∴

8

∴S陰影=4

4

解法一解法二解法三思考題：BCA(2010年云南昆明，有改動)如圖，在Rt△ABC中，AB=AC=4，分別以AB、AC為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積是______________.方法三：把圖形分解下旋轉圖形∴S陰影=AC（B）S以AC為直徑的圓

－S以AC為對角線的正方形=

4

解法一解法二解法三例4.（2000年貴陽）如圖，正方形邊長為2，分別以兩個對角頂點為圓心，2為半徑畫弧，則圖中陰影部分的面積是（）A.B.C.D.

利用___________來計算陰影部分的面積.方程組分析：如果不拆分這個圖形，那么這個圖形有幾個區域？B①②③其中①+②得到一個扇形，而①+②+③得到一個正方形①、③區域的面積為y

,不妨設②區域的面積為

x,xyy∴

4

探索發現1.如圖，正方形邊長為2，以各邊為直徑在正方形內畫半圓，則圖中陰影部分的面積是（）A.B.C.D.

Bxyxxxyyy∴

4

∴S陰影=4

1.和差法有一些圖形結構復雜，通過觀察，分析出不規則圖形的面積是由哪些規則圖形組合而成的，再利用這些規則圖形的面積的和或差來求，從而達到化繁為簡的目的。2.轉化法此法就是通過等積變換、平移、旋轉、割補等方法將不規則的