第六章反比例函數2.反比例函數的圖象與性質（二）一、學生知識狀況分析函數是研究現實世界變化規律的一個重要數學模型，學生曾在七年級下冊和八年級上冊學習過“變量之間的關系”和“一次函數”等相關知識，對函數的概念和研究函數的方法有了初步的認識和了解.特別是在學習一次函數時，學生已經掌握了如何畫一次函數的圖象，探究過一次函數的性質，積累了一定的活動經驗和方法感悟，在此基礎上學習反比例函數的圖象與性質，可以讓學生進一步領悟函數的概念，進一步積累探究函數圖象和性質的方法，為后續探究二次函數的圖像和性質做好知識上和方法上的鋪墊.二、教學任務分析《反比例函數的圖象與性質》安排在北師大版教材九年級上冊，共分兩課時，本節課是第二課時.在第一課時中，學生已經學會如何畫反比例函數的圖象，并對k0和k0時函數圖象的特點有了初步的認識，本節課主要是在第一課時的基礎上，通過對反比例函數圖象的全面觀察和比較，發現函數的自身規律，在質疑、討論、交流中增強學生對圖象的感知能力，加深對反比例函數 y上性質的x理解和掌握。由此，本節課的教學目標制定如下：知識與技能目標：能畫出反比例函數的圖象，根據圖象和解析表達式探索并理解反比例函數的主要性質．提高學生觀察、分析能力和對圖象的感知水平，領會研究函數的一般要求．過程和方法目標：讓學生經歷知識的探究過程，通過全面的觀察和比較，積累數學方法和活動經驗．逐步提高觀察和歸納分析能力，體驗數形結合和分類討論的數學思想．情感、態度和價值觀目標：經歷小組合作與交流活動，在質疑、追問、討論中達成共識，發展合作能力和語言表達能力.在教學目標的基礎上制定如下的教學重點、教學難點：重點： 探索反比例函數的主要性質 .難點： 理解反比例函數性質的探索過程，從“數”和“形”兩方面綜合考慮問題．三、教學過程分析本節課設計了七個教學環節：第一環節：要點回顧鋪平道路；第二環節：設問質疑 探究嘗試；第三環節：實際運用鞏固新知；第四環節：激趣質疑 再探新知；第五環節：活學活用鞏固提高；第六環節：總結串聯納入系統；第七環節：分層達標課后延伸.第一環節：要點回顧鋪平道路內容：.下列函數中，哪些是反比例函數？TOC\o"1-5"\h\z,一1一3 1 2 1y (2)y—— (3)y— (4)y— (5)y—x1 x x x 3x2.你能想到y2的圖象嗎？它是什么形狀？有什么特點？y/呢？x x教學策略：讓學生找出題目中的反比例函數，運用空間想象能力，勾勒出反比例函數2 3一y2,yT的圖象，并回顧每個函數的圖象特點，在具體問題中加深對反比例函數定義以及圖象的再認知.設計意圖：反比例函數的定義以及函數圖象的特點，是繼續進行本節內容學習的重要知識儲備.本環節避免單純的復習定義以及對知識的簡單復述，力圖通過具體問題，讓學生在解決問題的過程中加深對知識本身的理解，培養學生的空間想象能力和對知識的實際運用能力.第二環節：設問質疑 探究嘗試內容1:試一試觀察反比例函數y2,y-,y6的圖象，你能發現它們的共同特征嗎？xxx(1)函數圖象分別位于哪幾個象限內？(2)在每一個象限內，隨著x值的增大，y的值是怎樣變化的？能說明這是為什么嗎？(3)反比例函數的圖象可能與x軸相交嗎？可能與y軸相交嗎？為什么？教學策略：.本環節的問題用，能有效的激發學生的思考熱情，教師要善于運用啟發性的語言，調動起學生思維的“小宇宙”..對于問題(2)、(3),教師要給學生留有充分的討論、交流的時間和空問，讓學生對圖象進行細致的觀察、類比、分析、交流，鼓勵學生盡可能多的從圖象中獲取信息，并對信息進行分析、綜合、概括、歸納，形成知識系統..在討論、交流過程中，教師要指導學生勇于表達自己的想法，善于傾聽他人的見解，讓討論在質疑、追問中進行.本環節意在通過觀察三個反比例函數的圖象，分析、歸納、概括出反比例函數的主要性質.在問題的設置上，引導學生從對圖象的直觀觀察開始，逐步上升到理性的分析，順應學生思維的發展，在有效的問題引領下，培養學生的邏輯思維能力和數形結合能力.內容2:議一議考察當k=-2,-4,-6時，反比例函數y上的圖象，它們有哪些共同特征?x教學策略:前面已經對k0時，反比例函數圖象的特征進行了分析，此處可以完全放手給學生，讓學生通過類比，分析、歸納、概括出k0時圖象的共同特征，教師只需進行適時的點撥.設計意圖：通過對k0時反比例函數圖像特征的探究，培養學生利用數形結合探究問題的意識，發展學生類比分析問題的能力，使學生在知識上更加完善，在能力上逐步提高.內容3:說一說你能嘗試著說說反比例函數y兇的圖象有哪些共同特征嗎？x教學策略：.在具體問題探究的基礎上，讓學生嘗試著總結反比例函數yK的圖象x性質，從具體問題的分析進一步上升到理性的概括、歸納..鼓勵學生大膽表述自己的想法，語言即使不規范、不完整，教師也要給以充分的肯定、表揚，在討論、交流的基礎上使語言更加完善.設計意圖：“試一試”、“議一議”已經對反比例函數的圖象特征進行了細致的分析，內容3主要是將知識進行了系統的歸納、概括，通過討論、交流，形成完整、規范的結論，培養了學生的語言表達能力和對知識的歸納、概括能力.第三環節：實際運用 鞏固新知內容：練一練1… 3… 1… 7.1.下列函數：①y一；②y—;③y—；④丫一中x x 2x x(1)圖象位于二、四象限的有;(2)在每一象限內，y隨x的增大而增大的有;(3)在每一象限內，y隨x的增大而減小的有..若函數ym2的圖象在其象限內，y隨x的增大而增大，則m的取值x范圍是..點A(x/i),B(x2,y2)都在反比例函數y/的圖象上，若整x20,則xy/2的大小關系是.變式：點A(xi,y1)，B(x2,y2)都在反比例函數y—的圖象上，右x1x2,則乂山的x大小關系是.教學策略：.留有充分的時間，讓學生獨立完成。在此基礎上，小組交流，每名成員完成一個題目的講解，力爭讓所有學生都積極地投入到知識的學習中..問題3的變式中蘊含分類討論思想，教學中讓學生獨立思考，然后交流各自的想法，關注學生思維的廣度和深度.設計意圖：.通過幾個小題目的練習，及時運用、鞏固所學的知識，使學生加深對反比例函數性質的理解..運用變式訓練，拓展學生思維的廣度，滲透分類討論的數學思想..課堂上以小組合作講解的形式，讓每個學生都融入到表達與傾聽中，調動每個學生的主觀能動性，夯實基礎.第四環節：激趣質疑再探新知內容1:想一想在一個反比例函數圖象任取兩點P、Q,過點P分別作x軸、y軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積為S1；過點Q分別作x軸、y軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積為S2,S與S2有什么關系？為什么？(1)讓我們從具體的反比例函數y2開始考慮:x此時，S與S2有什么關系？為什么？k(2)對于一般的反比例函數y人呢?x,。 )d2工：4x教學策略：.給出具體的反比例函數y2,讓學生按題目要求，取點、構造矩形S、xS2,自主探究§與S2之間的關系，然后由學生講解，教師進行方法的總結和點撥..在前面探究的基礎上，對于一般的反比例函數y-,可以完全放手給x學生，充分利用小組成員間的合作，探究、歸納、概括出一般性的結論一一矩形面積總等于k|,教師在整個過程中要給以適時的點撥和及時的總結.設計意圖：如果直接探究函數y-,對于有些學生來說有一定的困難.為了突破這一x難點，先給出簡單的反比例函數y2,在探究了具體函數的基礎上，再由特殊xk 到一般，進一步探究y-,符合學生的認知規律.x內容2:變一變在一個反比例函數圖象任取兩點P、Q,過點P作x軸的垂線，連接PO(O為原點)，與坐標軸圍成的三角形面積為S；過點Q作x軸的垂線，連接QO,與坐標軸圍成的三角形面積為S2,§與S2有什么關系？為什么?教學策略:將問題直接拋給學生，類比前面探究問題的方法，讓學生來尋求解決問題的策略.設計意圖:通過變式探究，開闊學生的思路，促進學生思維的發展，形成有效的知識建構.第五環節：活學活用鞏固提高，一 3,,.如圖，P(x,y)是反比例函數y3的圖象在第一象限分支上的一個動點，

xPAx軸于點A,PBy軸于點B,隨著自變量x的增大，矩形OAPB的面積()A.不變B.增大 C.減小 D.無法確定.如圖，P(x,y)是反比例函數y3的圖象在第一象限分支上的一個動點,

x過點P作PAx軸于點A,連接PO,則△PAO的面積為..已知點P(3,2)、點、(2,a)都在反比例函數yK的圖象上.過點P分別x作兩坐標軸的垂線，垂線與兩坐標軸圍成的面積是 s;過點Q分別作兩坐標軸的垂線，垂線與兩坐標軸圍成的面積是S2.求a、6、S2的值.教學策略:3個題目都比較基礎，教師可以讓學生獨立完成，然后共同交流，總結知識,提煉方法.設計意圖:鞏固所學知識，加深對反比例函數性質的理解.第六環節：歸納總結 納入系統內容：本節課你學到了反比例函數的哪些新知識？你有哪些感悟和收獲？你還有想繼續探究的問題嗎？你對小組成員有什么評價和建議呢？教學策略：引導學生對自己的學習過程進行提煉、反思，從知識上和方法上進行總結.設計意圖：引導學生關注數學的學習過程，及時總結、反思、交流，同時重視小組內的合作和交流，傾聽小組成員的評價、建議，取長補短，共同提高.第七環節：分層達標課后延伸A層：.下列函數中，圖象位于第一、三象限的有;在圖象所在象限內，y的值隨x的增大而增大的有.⑴y二；(2)y (3)y5;(4)y-23x x x 75x1y2(填”＞、.已知點A(-1,y)、B(-2,y2)在雙曲線y1上，則叫y2(填”＞、B層:1一已知點(2,%),(19)，(1,y3),(2,y4)都在反比例函數y—的圖象上，比較,、x、2、y3與y4的大小.C層：k.已知點(2,5),(1,y2),(3,y3)都在反比例函數yk的圖象上，比較y、血、xy的大小.教學策略：讓學生根據自身的學習情況，自主選擇適合的題目。盡可能當堂反饋檢測結果，如果時間不允許，可以課后反饋，但一定要及時.設計意圖：設置不同層次、具有選擇性的題目，供不同的學生選擇，實現“不同的人在數學上得到不同的發展”.作業：A層：習題1、2B層：習題3、4C層：習題5附：板書設計

四、教學設計反思.學生在學習本節課前經歷過一次函數圖象和性質的探索過程，對函數圖象和性質的探究方法有了初步的認識，這些對本節課知識的學習起到了很好的鋪墊作用.本節課又不同于研究一次函數，由于反比例函數的圖象相對于一次函數圖象的特殊性，使得對反比例函數圖象和性質的探索過程更加細致、 全面.教學設計中，特別注重了比例函數