第6章IIR數字濾波器設計

6.1數字濾波基本概念

6.2模擬濾波器設計6.3設計IIR濾波器的脈沖響應不變法6.4設計IIR濾波器的雙線性變換法第6章IIR數字濾波器設計濾波的目的為了壓制輸入信號的某些頻率成分，從而改變信號頻譜中各頻率分量的相對比例廣義濾波包括對信號的檢測與參量的估計信號的檢測:確定在干擾背景中信號是否存在信號參量的估計:為識別信號而確定信號的某一個或某幾個參量的估值

6.1數字濾波的基本概念

數字濾波器的分類

經典濾波器（一般濾波器）

輸入信號的頻率成分和希望濾除掉的頻率成分各占有不同的頻帶按功能可分為：高通、低通、帶通、帶阻和全通濾波器

現代濾波器數字濾波器從實現網絡結構上分：

無限脈沖響應濾波器（IIR）

有限脈沖響應濾波器（FIR）數字濾波器的頻率特性數字濾波器具有某種特定頻率特性的線性時不變系統廣義上，任何線性時不變離散系統都是一個數字濾波器設計數字濾波器的任務尋求一個因果穩定的線性時不變系統，使其系統函數H(z)具有指定的頻率特性DF按頻率特性分類可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通特點為數字頻率以周期頻率特性只限于范圍，依取樣定理，對應于實際模擬抽樣頻率的一半頻率變量以數字頻率表示其中模擬角頻率，T抽樣時間間隔，fs

抽樣頻率理想濾波器的頻率響應

0：通帶波紋：阻帶波紋：過渡帶：通帶截止頻率：阻帶截止頻率DF的性能要求（低通為例）2．IIR和FIR數字濾波器

IIR濾波器的系統函數通常可表示成的有理分式FIR濾波器的系統函數則可表示為的多項式

設計過程一般包括以下三個基本問題：

根據實際要求確定濾波器性能指標；用一個因果穩定的系統函數去逼近這個指標；用一個有限精度的運算去實現這個傳輸函數

問題1、3與實際的要求及實現的硬件條件有關本章主要討論問題2，即系統函數的設計(或逼近)問題。

3．設計IIR濾波器的幾種方法

IIR數字濾波器的系統函數可表示為的有理分式

設計IIR濾波器的系統函數，就是要確定H(z)的階數N（通常稱N為濾波器的階數）以及分子分母多項式的系數滿足指定的頻率特性(1)利用模擬濾波器的理論來設計

模擬濾波器研究較早，理論已經十分成熟，有許多簡單而嚴謹的設計公式和大量的圖表可以利用，利用這些現有技術來解決數字濾波器的設計問題采用這種方法時，要先要設計一個合適的模擬濾波器，然后將它轉換成滿足給定指標的數字濾波器這種方法適合于設計幅頻特性比較規則的濾波器，例如低通、高通、帶通、帶阻等(2)利用最優化技術進行CAD設計

若需設計濾波器的幅頻特性是任意的或者形狀比較復雜，可采用計算機輔助設計(CAD)方法進行優化設計設計思想希望濾波器的幅頻響應：

設計濾波器的幅頻響應：選擇一種最優化的準則，例如采用最小均方誤差準則

在指定的一組離散的頻率點

的均方誤差求解H(z)的系數使均方誤差最小

當濾波器階數N較高時，轉換為一個多變量最優化問題，需要大量的迭代運算，因此必須采用CAD的方法。

5．3設計IIR濾波器的脈沖響應不變法

1．設計的基本原理和方法

原理：從時域響應出發，使求得的數字濾波器的單位脈沖響應h(n)等于模擬濾波器的單位沖激響應h(t)的抽樣值。

如果：則可有下式求H（z）：如果模擬濾波器的系統函數是穩定的，其極點應位于左半平面

（5-2-3）

對Z平面的極點有

位于單位園內。因此H(z)是一個穩定的離散系統函數，這說明由一個穩定的模擬濾波器得到了一個穩定的數字濾波器

2．脈沖響應不變法設計的濾波器的頻率響應

根據抽樣定理，序列h(n)的頻譜是原模擬信號頻譜的周期延拓

原模擬濾波器的頻率響應為，由于h(n)是h(t)的等間隔抽樣

如果模擬濾波器的頻率響應是帶限于折疊頻率之內，即

這樣數字濾波器的頻率響應才能等于模擬濾波器的頻率響應

然而，高通和帶阻濾波器不能滿足(-2-)式的要求，將會產生混疊脈沖響應不變法不適合用來設計高通和帶阻數字濾波器。

2）、直接用數字頻率表示的求H(z)的公式在實際濾波器設計中，因模擬濾波器系統函數的表格大都是歸一化低通原型，其濾波器3dB點截止頻率都歸一化在原因：可將設計公式及有關參數表格化，使之更通用。我們只要知道濾波器的階數，就可直接查出低通原型的系統函數。當濾波器的實際截止頻率不等于1時，須進行所謂反歸一化，以(s/)代替中的s，即實際低通濾波器的系統函數H(s)應為為模擬歸一化原型系統函數的極點

例5-3-1利用脈沖響應不變法設計一個4階巴特沃斯型數字低通濾波器，滿足以下指標(A)若采樣周期T=10μs，求實際模擬截止頻率fc，

(B)3dB截止頻率=0.2π弧度。解：先計算模擬截止頻率，第二步部分分式分解并求Ak第三步將代入下式，整理并化簡求得H(z)的實系數二次形式

5．4設計IIR濾波器的雙線性變換法1．設計方法從頻域響應出發，直接使數字濾波器的頻域響應，逼近模擬濾波器的頻域響應,進而求出H(z)。脈沖響應不變法的主要缺點：對時域的采樣會造成頻域的混疊效應，因而有可能使設計的數字濾波器的頻域響應與原來模擬濾波器的頻域響應相差很大，而且不能用來設計高通和帶阻濾波器原因：從S平面到Z平面的映射是多值的映射關系雙線性變換的映射過程

脈沖響應不變法的映射過程

雙線性變換法的改進為避免頻域的混疊，分兩步完成S平面到Z平面的映射將S平面壓縮到某一中介的S1平面的一條橫帶域通過標準的變換將此橫帶域映射到整個Z平面上去，實現方法：再通過Z變換，將Ω1映射到Z平面的單位圓上

通過下面的正切變換，將S平面的jΩ軸壓縮到S1平面的jΩ1軸上的

將正切變換延拓到整個S平面，得到S平面到S1平面的映射關系

再將S1平面按關系式映射到Z平面得到雙線性變換

或雙線性變換的映射關系滿足

關于映射關系可行性的兩個條件（1）S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上；（2）位于S左半平面的極點應映射到Z平面的單位圓內。帶入表達式得：說明S平面的虛軸映射成了Z平面的單位圓令,帶入表達式得：顯然當時，<1，S平面的左半平面軸映射到了Z平面的單位圓內，保證系統函數經映射后穩定性不變雙線性變換的頻率對應關系模擬頻率與數字頻率是一種非線性的關系模擬濾波器與數字濾波器的響應與對應的頻率關系上發生了畸變，也造成了相位的非線性變化，這是雙線性變換法的主要缺點雙線性變換法除了不能用于線性相位濾波器設計外，仍然是應用最為廣泛的設計IIR數字濾波器的方法。

在上刻度為均勻的頻率點映射到上時變成了非均勻的點，而且隨頻率增加越來越密2．頻率預畸變

為了保證各邊界頻率點為預先指定的頻率，在確定模擬低通濾波器系統函數之前必須按下式進行所謂頻率預畸變然后將預畸變后的頻率代入歸一化低通原型Ha(s)確定最后求得數字系統函數3.有關雙線性變換公式的說明（抽樣間隔T的選取有些文獻中雙線性變換的關系為:與右式有一個2/T的系數的差別。現說明T的取值。上式可由用數值計算的方法求解一階輸入-輸出模擬系統的過程中推得。設一階模擬系統函數為對應的一階微分方程為將表示成的積分形式采用梯形法近似計算定積分，令步長為T，并設t=nT，t0=（n-1）T，用T代替dt，以上積分式可近似為：帶入一階微分方程令、一階差分方程化為：對上式兩邊進行Z變換，得到：得到了雙線性變換的關系其中T為用梯形法近似計算定積分的步長，或將模擬信號離散為抽樣信號時的抽樣間隔

由以上的推導過程可見，T的取值可以任選，只要滿足即只要保證將模擬頻率帶限在之間，不會產生因多值映射產生頻率混迭現象。另一方面，當變換關系采用下式時將有關系式和當由歸一化的模擬變量p變到數字變量Z的過程中，系數2/T已被消去。這再一次說明T取值的大小是不重要的。考慮到利用雙線性變換法設計數字濾波器的過程例：利用雙線性變換法設計巴特沃斯型數字低通濾波器設計參數：通帶數字截止率，通帶內最大衰減阻帶數字截止率，阻帶內最小衰減解第一步進行頻率預畸