2022-2023學年北京市延慶區高二上學期期末考試數學試題一、單選題1．已知集合，集合，，則（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】先化簡集合，，再由子集的概念可判斷A；由集合的運算判斷BCD【詳解】因為，或，所以不是的子集，故A錯誤；，故B錯誤；或，故C錯誤；，故D正確；故選：D2．若復數z滿足，則z的虛部為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡方程求出復數的代數形式，結合復數虛部的定義確定其虛部.【詳解】因為，所以，所以復數的虛部為，故選：C.3．已知拋物線的焦點是，則拋物線的標準方程是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據焦點坐標，確定開口方向和，即可求拋物線方程.【詳解】因為拋物線的焦點是，所以開口向左，設拋物線方程為，又，則，所以拋物線方程為.故選：D4．已知，，動點P滿足，則動點P的軌跡方程為（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根據雙曲線的定義，分析可得的軌跡是以、為焦點的雙曲線，結合題意可得，，計算出的值，將其代入雙曲線的方程即可得答案．【詳解】根據題意，，，則，動點滿足，其中，則的軌跡是以、為焦點的雙曲線的上半支，其中，，即，則，所以雙曲線的方程為：，故選：D．5．與圓和都外切的圓的圓心在（

）．A．一個橢圓上 B．一條雙曲線上C．一條拋物線上 D．雙曲線的一支上【答案】D【分析】根據兩圓方程得出兩圓的圓心坐標和半徑，判斷出兩圓的位置關系，再利用與兩圓都外切的位置關系得出圓心距離所滿足的等量關系，結合圓錐曲線的定義即可得出答案.【詳解】由圓可知，圓心，半徑，圓化為標準方程，圓心，半徑因此圓心距，所以兩圓相離；設與兩圓都外切的圓的圓心為，半徑為則滿足，所以，即圓心的軌跡滿足到兩定點距離之差為定值，且定值小于兩定點距離，根據雙曲線定義可知，圓心的軌跡是某一雙曲線的左支，即圓心在雙曲線的一支上.故選：D.6．“直線和曲線只有一個交點”是“與相切”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】可以通過舉例說明充分性與必要性是否成立.【詳解】解：若直線與曲線只有一個交點，直線與曲線不一定相切，比如當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與該雙曲線只有一個交點，但不是相切；反之，若直線與曲線相切，直線與曲線也不一定只有一個交點．故“直線l與曲線C只有一個交點”是“直線l與曲線C相切”的既不充分也不必要條件．故選：D．7．若雙曲線的方程為，則它的離心率與漸近線方程分別為（

）．A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據雙曲線方程得到，，，然后求離心率和漸近線方程即可.【詳解】根據雙曲線方程可得，，，所以離心率，漸近線方程為.故選：C.8．已知拋物線和點，F是拋物線的焦點，P是拋物線上一點，則的最小值是（

）．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根據拋物線的定義得到，將的最小值轉化為的最小值，然后根據兩點之間線段最短得到當，，三點共線時最小，最后求最小值即可.【詳解】如圖，為點在準線上的投影，根據拋物線的定義可得，所以的最小值即的最小值，根據兩點之間線段最短可得，當，，三點共線時最小，所以最小值為.故選：B.9．過拋物線的焦點F的一條直線與此拋物線相交于A，B兩點，已知，則線段的中點到拋物線準線的距離是（

）．A． B． C．3 D．【答案】A【分析】求得所在直線的方程并與拋物線聯立，利用根與系數的關系求得線段的中點的橫坐標，即可求解【詳解】由題意得，拋物線的焦點為，則，所以直線的方程為，即，所以所在直線的方程為，由得，由根與系數的關系可知，所以線段的中點的橫坐標為，所以線段的中點到拋物線準線的距離是，故選：A10．已知點P在拋物線上，且，則的最小值為（

）．A．2 B． C．3 D．4【答案】A【分析】設，利用兩點間的距離公式結合二次函數的性質求解即可【詳解】設，則有，又，所以因為，所以，所以，當且僅當時取等，所以的最小值為2，故選：A二、填空題11．函數的定義域為__________．【答案】【分析】根據對數函數的真數大于0，得出不等式，解得可得出函數的定義域，注意函數的定義域需用集合或區間表示.【詳解】要使對數函數有意義，則需真數大于0，即需使，解得或，所以函數定義域為，故答案為：.12．函數的值域為__________．【答案】##【分析】分別求出各段函數的值域再求并集即可【詳解】當時，在上單調遞減，所以；當時，在上單調遞減，所以；所以函數的值域為，故答案為：13．已知雙曲線的左右焦點分別為，，P是雙曲線上的一點，給出下列四個結論：①的最小值為；②若直線l的斜率與雙曲線的漸進線的斜率相等，則直線l與雙曲線只有一個公共點；③點P到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積為；④若過的直線與雙曲線的左支相交于A，B兩點，如果，那么．其中，所有正確結論的序號為__________．【答案】①③【分析】由雙曲線的定義圖象以及性質逐一分析即可求解【詳解】對于①：因為，P是雙曲線上的一點，要想最小，則P必在雙曲線的左支上且為作頂點時最小，所以的最小值為，故①正確；對于②：當直線l為雙曲線的漸近線時，直線l與雙曲線沒有公共點；當直線l為雙曲線的漸近線平行時，直線l與雙曲線有一個公共點；綜上可知：直線l的斜率與雙曲線的漸進線的斜率相等，則直線l與雙曲線最多有一個公共點；故②錯誤；對于③：設，雙曲線的兩條漸近線為，可得P到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積為，故③正確；對于④：由雙曲線的定義可知：，兩式相加得，即，又，所以，即，故④錯誤；故答案為：①③三、雙空題14．雙曲線的一個焦點坐標是，且雙曲線經過點，則雙曲線的實軸長為__________，標準方程為__________．【答案】

【分析】設雙曲線的標準方程為，將點的坐標代入，再根據即可求解.【詳解】因為雙曲線的一個焦點坐標是，所以設雙曲線的標準方程為，又因為雙曲線經過點，則有，又因為，所以或，因為，所以，雙曲線方程為，所以雙曲線的實軸長為；標準方程為，故答案為：；.15．已知中，，，，則__________，__________．【答案】

【分析】分別利用正弦定理和余弦定理列方程，解方程即可.【詳解】根據正弦定理得，解得，根據余弦定理得，代入可得，解得或（舍去）.故答案為：①；②.四、解答題16．根據下列條件，求圓的標準方程：(1)圓心在點，且過點；(2)過點和點，半徑為2；(3)，為直徑的兩個端點；(4)圓心在直線上，且過點和點．【答案】(1)(2)或；(3)(4)【分析】（1），利用兩點間額距離公式即可求解；（2）設圓的標準方程為，利用待定系數法求解即可；（3）的中點坐標為，即圓心為，由此再求半徑即可求解；（4）設圓的標準方程為，利用待定系數法求解即可；【詳解】（1）由題意可得，所以圓的標準方程為；（2）設圓的標準方程為，因為圓過點和點，所以，解得或，所以圓的標準方程為或；（3）因為的中點坐標為，即圓心為，半徑，所以圓的標準方程為；（4）設圓的標準方程為，由題意可得，解得，所以圓的標準方程為17．如圖，已知點，，圓．(1)求過點A的圓的切線方程；(2)設過點A，B的直線交圓C于D，E兩點，求線段的長；(3)求經過圓C內一點B且被圓截得弦長最短的直線的方程．【答案】(1)或；(2)；(3).【分析】（1）考慮斜率存在與不存在求解，利用求解即可；（2）由點到直線的距離結合勾股定理求解即可；（3）利用垂直與點斜式求解即可【詳解】（1）當斜率不存在時，過點的直線為，此時與圓相切，符合題意；當斜率存在時，可設過點的切線方程為，即，由，解得，此時切線方程為，即；綜上可知：過點A的圓的切線方程為或；（2）因為，所以直線的方程為即，又圓心到直線的距離為，所以；（3）圓C內一點B且被圓截得弦長最短的直線必與垂直，因為，所以圓C內一點B且被圓截得弦長最短的直線的方，即.18．如圖，在棱長為4的正方體中，點M是的中點．(1)求征：平面；(2)求證：；(3)求二面角的大小．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用面面平行證明線面平行，即轉化為證明平面平面；（2）要證明線線垂直，轉化為證明線面垂直，即先證明平面，即可證明線線垂直；（3）首先建立空間直角坐標系，再求兩個平面和的法向量，轉化成法向量的余弦值求二面角.【詳解】（1）因為，平面，平面，所以平面，同理平面，且,平面所以平面平面，平面,所以平面；（2）因為，，且，平面,所以平面,平面，所以，又因為，,平面，所以平面，平面，所以（3）如圖，以點為原點，以向量為軸的方向，建立空間直角坐標系，，，，，，，,設平面的法向量為，，令，則，所以平面的法向量為，由（2）可知，平面，所以平面的法向量為,設二面角的大小為，為鈍角，則，所以，即二面角的大小為19．已知橢圓C的兩個焦點分別是，，橢圓上的點P到兩焦點的距離之和等于，O為坐標原點，直線與橢圓C相交于A，B（不重合）兩點．(1)求橢圓C的標準方程；(2)求m的取值范圍；(3)求的最大值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由題意建立的關系，求解即可；（2）將直線與橢圓聯立，利用判別式求解即可；（3）結合（2）利用弦長公式與二次函數的性質求解即可【詳解】（1）由題意可知，所以，又，所以橢圓C的標準方程為；（2）由得，設，由題意可知：，解得，所以m的取值范圍是；（3）由（2）可知：，，由（2）可知，所以，所以，當且僅當時取等，所以的最大值；20．已知橢圓C的焦點在x軸上，焦距為，離心率為，過點的直線l與橢圓C交于A，B（不重合）兩點，坐標原點為．(1)求橢圓C的標準方程；(2)若線段的中點的橫坐標為1，求直線l的方程；(3)若點O在以線段為直徑的圓上，求直線l的方程．【答案】(1)(2)或；(3)或；【分析】（1）由題意建立的關系，求解即可；（2）設直線的方程為，，聯立直線與橢圓，利用根與系數的關系結合已知求解即可；（3）由已知有，結合（2）即可求解【詳解】（1）由題意可得：，解得，所以橢圓C的標準方程；（2）設直線的方程為，，由得，則，即，，又線段的中點的橫坐標為1，所以，又，所以，即，解得，所以直線l的方程為或，即或；（3）因為點O在以線段為直徑的圓上，所以，由（2）可知：，所以，即，也即，解得，所以直線l的方程為或；21．對非空數集定義與的和集．對任意有限集A，記為集合A中元素的個數．(1)若集合，，寫出集合與；(2)若集合滿足，且，求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用定義求解即可；（2）由題意先說明，再結合，即可求解