《數值分析》課程實驗報告用拉格朗日和牛頓插值法求解函數值算法名稱用拉格朗日和牛頓插值法求函數值學科專業xxxxx作者姓名xxxx作者學號xxxxx作者班級xxxxxxxxx大學二0一五年十二月《數值分析》課程實驗報告實驗名稱 用拉格朗日和牛頓插值法求解函數值 成績一、 問題背景在工程技術與科學研究中，常遇到考察兩個變量間的相互關系問題。兩個變量間的關系可以通過函數表示，若x為自變量，y為因變量，則函數關系可描述為y=f(x)。大多數問題中，函數表達式y=f(x)未知，人們通常采用逼近的方法處理：取得一組數據點(xi,yi)(i=0,1,2,...,n),數據點可由不同方式取得(例如，可根據工程設計要求得到，也可通過采樣或實驗取得)，然后構造一個簡單函數P(x)作為y=f(x)的近似表達式，即y=f(x)^P(x),對于y=f(x)^P(x)，若滿足P(xi)=f(xi)=yi,i=0,1,2...,n,這類問題成為插值問題。二、 數學模型1.函數f(x)=lnx的一些數值如表：xInx用拉格朗日插值法計算的近似值。2.函數f(x)=IX的一些數值如表：x用牛頓插值法計算”的近似值，畫出插值函數與原函數的圖形做比較。三、算法描述Y Vx L(x)1.拉格朗日插值法：設已知X0，x1，x2,...,七及七=f(七)(i=0,1,.....,n),/)為不超過n次L(x)=y L(x)I/、yl(x)y多項式且滿足nii(i=0,1,.?.n),易知n=0(x) 0+...?+nn.l(x) x l(x)其中，卜'均為n次多項式且滿足式(3)(i,j=0,1,...,n),再由j(產i)為n次多項式卜)的n的n個根知((x)=c么°葉x-xj.最后l(x)=c^n(x-x)=1nFf(x-x)ij ij ijj=° j=°j豐i c=j豐i ,i=0,1,...,n.X-X寸 n .z1(X)y x-x.弓士L(X) 1 1I(X)j-0ij I(X)總之，n =i=0 ,i=j& 式為n階Lagrange插值公式，其中，i(i=0,1,...n)稱為n階Lagrange插值的基函數。2.牛頓插值法：插值法是利用函數f(x)在某區間中若干點的函數值，作出適當的特定函數，在這些點上取已知值，在區間的其他點上用這特定函數的值作為函數f(x)的近似值。如果這特定函數是多項式，就稱它為插值多項式。當插值節點增減時全部插值基函數均要隨之變化，這在實際計算中很不方便。為了克服這一缺點，提出了牛頓插值。牛頓插值通過求各階差商，遞推得到的一個公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)四、主要代碼1.拉格朗日插值建立函數文件：function[yt,L]=LagInterpl(x,y,xt)symst;n=length(x);ny=length(y);ifn~=nyerrorendL=;fork=1:nlk=1;forj=1:nifj~=klk=lk*(t-x(j))/(x(k)-x(j));endend;L=L+y(k)*lk;endsimplify(L);L=collect(L);yt=subs(L,'t',xt);2.牛頓插值建立函數文件：function[yt,N]=NewtInterp(x,y,xt)symst;n=length(x);ny=length(y);ifn~=nyerrorenda=zeros(1,n);N=y(1);w=1;fork=1:n-1yy=zeros(1,n);forj=k+1:nyy(j)=(y(j)-y(k))/(x(j)-x(k));enda(k)=yy(k+1);w=w*(t-x(k));N=N+a(k)*w;y=yy;endyt=subs(N,'t',xt);simplify(N);N=collect(N);N=vpa(N,6);五、實驗結果及分析1.拉格朗日插值法在命令窗口輸入：x=[〃,,];y=[〃〃];xt=;[yt,L]=LagInterpl(x,y,xt);z=1::4;yz=subs(L,'t',z);figure;plot(z,log(z),'--r',z,yz,'-b')holdonplot(x,y,'marker','+')holdonplot(xt,yt,'marker','o')legend('ln(x)','拉格朗日插值多項式','(x_k,y_k)','x=')xlabel('x')ylabel('y')yt得到結果及圖像如下：yt=得到的近似值為。拉格朗日插值模型簡單，結構緊湊，是經典的插值法。但是由于拉格朗日的插值多項式和每個節點都有關，當改變節點個數時，需要重新計算。且當增大插值階數時容易出現龍格現象。2.牛頓插值法在命令窗口輸入：x=[ ]；y=[];xt=;[yt,N]=NewtInterp(x,y,xt)z=::2;yz=subs(N,'t',z);figure;plot(z,sqrt(z),'--r',z,yz,'-b')holdonplot(x,y,'marker','+')holdonplot(xt,yt,'marker','o')h=legend('$\sqrt{x}$','牛頓','$(x_k,y_k)$','$x=$');set(h,'Interpreter','latex')xlabel('x')ylabel('y')得到結果及圖像如下：yt=n=-*tA4+*tA3-*tA2+*t+

得到V的近似值為，插值函數為N=_沖4+*tA3-*tA2+*t+，其計算精度是相當高的。Lagrange插值法和Newton插值法解決實際問題中關于只提供復雜的離散數據的函數求值問題，通過將所考察的