數學建模方法及其應用韓中庚編著主要內容

第四章差分方程方法22023年2月6日常系數線性差分方程；差分方程的平衡點及其穩定性；連續模型的差分方法；案例分析3Monday,February6,2023

一.常系數線性差分方程1.常系數線性齊次差分方程42023年2月6日(1)特征根為單根

1.常系數線性齊次差分方程52023年2月6日(2)特征根為重根

1.常系數線性齊次差分方程62023年2月6日(3)特征根為復根

1.常系數線性齊次差分方程72023年2月6日2.常系數線性非齊次差分方程

一.常系數線性差分方程82023年2月6日2.常系數線性非齊次差分方程

一.常系數線性差分方程92023年2月6日

二差分方程的平衡點及其穩定性1.一階線性常系數差分方程的平衡點102023年2月6日

二差分方程的平衡點及其穩定性2.一階線性常系數差分方程組的平衡點112023年2月6日

二差分方程的平衡點及其穩定性3.二階線性常系數差分方程的平衡點

二差分方程的平衡點及其穩定性4.一階非線性差分方程的平衡點2023年2月6日132023年2月6日

三連續模型的差分方法1.微分的差分方法142023年2月6日

三連續模型的差分方法

2.定積分的差分方法

152023年2月6日

三連續模型的差分方法

2.定積分的差分方法

(1)復化的梯形公式：162023年2月6日

三連續模型的差分方法

2.定積分的差分方法

類似地：復化辛甫生（Simpson）公式;復化柯特斯（Cotes）公式等。（詳見教材）

（2）復化梯形公式：四、案例:市場經濟中的蛛網模型問題供大于求現象

商品數量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩定?

當不穩定時政府能采取什么干預手段使之穩定?價格下降減少產量增加產量價格上漲供不應求

描述商品數量與價格的變化規律.數量與價格在振蕩gx0y0P0fxy0xk~第k時段商品數量；yk~第k時段商品價格.消費者的需求關系生產者的供應關系減函數增函數需求函數f與g的交點P0(x0,y0)~平衡點一旦xk=x0，則yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0

供應函數四、案例:市場經濟中的蛛網模型xy0fgy0x0P0設x1偏離x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是穩定平衡點P1P2P3P4P0是不穩定平衡點xy0y0x0P0fg曲線斜率蛛網模型四、案例:市場經濟中的蛛網模型在P0點附近用直線近似曲線P0穩定P0不穩定方程模型方程模型與蛛網模型的一致四、案例:市場經濟中的蛛網模型~商品數量減少1單位,

價格上漲幅度~價格上漲1單位，

(下時段)供應的增量考察,的含義~消費者對需求的敏感程度~生產者對價格的敏感程度小,有利于經濟穩定小,有利于經濟穩定結果解釋xk~第k時段商品數量；yk~第k時段商品價格.經濟穩定結果解釋四、案例:市場經濟中的蛛網模型經濟不穩定時政府的干預辦法1.使盡量小，如=0

以行政手段控制價格不變2.使盡量小，如=0靠經濟實力控制數量不變xy0y0gfxy0x0gf結果解釋需求曲線變為水平供應曲線變為豎直四、案例:市場經濟中的蛛網模型模型的推廣

生產者根據當前時段和前一時段的價格決定下一時段的產量.生產者管理水平提高設供應函數為需求函數不變二階線性常系數差分方程x0為平衡點研究平衡點穩定，即k,xkx0的條件四、案例:市場經濟中的蛛網模型方程通解(c1,c2由初始條件確定)1,2~特征根，即方程的根平衡點穩定，即k,xkx0的條件:平衡點穩定條件比原來的條件放寬了模型的推廣四、案例:市場經濟中的蛛網模型背景

多數減肥食品達不到減肥目標，或不能維持.

通過控制飲食和適當的運動，在不傷害身體的前提下，達到減輕體重并維持下去的目標.分析

體重變化由體內能量守恒破壞引起.

飲食（吸收熱量）引起體重增加.

代謝和運動（消耗熱量）引起體重減少.

體重指數BMI=w(kg)/l2(m2).18.5<BMI<25~正常；BMI>25~超重;BMI>30~肥胖.四、案例:減肥計劃——節食與運動模型假設1）體重增加正比于吸收的熱量——每8000千卡增加體重1公斤；2）代謝引起的體重減少正比于體重——每周每公斤體重消耗200千卡~320千卡(因人而異),

相當于70公斤的人每天消耗2000千卡~3200千卡；3）運動引起的體重減少正比于體重，且與運動形式有關；4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5公斤，每周吸收熱量不要小于10000千卡.四、案例:減肥計劃——節食與運動某甲體重100公斤，目前每周吸收20000千卡熱量，體重維持不變。現欲減肥至75公斤.第一階段：每周減肥1公斤，每周吸收熱量逐漸減少，直至達到下限（10000千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達到目標2）若要加快進程，第二階段增加運動，試安排計劃.1）在不運動的情況下安排一個兩階段計劃.減肥計劃3）給出達到目標后維持體重的方案.四、案例:減肥計劃——節食與運動

確定某甲的代謝消耗系數即每周每公斤體重消耗20000/100=200千卡基本模型w(k)~第k周(末)體重c(k)~第k周吸收熱量~代謝消耗系數(因人而異)1）不運動情況的兩階段減肥計劃每周吸收20000千卡w=100公斤不變四、案例:減肥計劃——節食與運動

第一階段:w(k)每周減1公斤,c(k)減至下限10000千卡第一階段10周,每周減1公斤，第10周末體重90公斤吸收熱量為1）不運動情況的兩階段減肥計劃四、案例:減肥計劃——節食與運動

第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75公斤1）不運動情況的兩階段減肥計劃基本模型四、案例:減肥計劃——節食與運動

第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75公斤第二階段19周,每周吸收熱量保持10000千卡,體重按減少至75公斤.四、案例:減肥計劃——節食與運動2）第二階段增加運動的減肥計劃根據資料每小時每公斤體重消耗的熱量(千卡):

跑步跳舞乒乓自行車(中速)游泳(50米/分)7.03.04.42.57.9t~每周運動時間(小時)基本模型四、案例:減肥計劃——節食與運動運動t=24(每周跳舞8小時或自行車10小時),14周即可.2）第二階段增加運動的減肥計劃四、案例:減肥計劃——節食與運動增加運動相當于提高代謝消耗系數2）第二階段增加運動的減肥計劃提高12%減肥所需時間從19周降至14周減少25%

這個模型的結果對代謝消耗系數很敏感.

應用該模型時要仔細確定代謝消耗系數(對不同的人;對同一人在不同的環境).四、案例:減肥計劃——節食與運動3）達到目標體重75公斤后維持不變的方案每周吸收熱量c(k)保持某常數C，使體重w不變

不運動

運動(內容同前)四、案例:減肥計劃——節食與運動362023年2月6日1.問題的提出四、案例:最優捕魚策略問題

假設魚可分為4個年齡組：稱1、2、3、4齡魚。各年齡組每條魚的平均重量分別為5.07，11.55，17.86，22.99(克）；各年齡組魚的自然死亡率均為0.8(1/年）；這種魚為季節性集中產卵繁殖，產卵孵化期為每年的最后4個月，平均每條4齡魚的產卵量為

(個），3齡魚的產卵量為這個數的一半，2齡和１齡魚不產卵。卵孵化并成活為1齡魚，成活率（1齡魚條數與產卵量n之比）為

372023年2月6日

漁業部門規定，每年只允許在產卵孵化期前的８個月內進行捕撈作業。如果每年投入的捕撈能力固定不變，即固定努力量捕撈，這時單位時間捕撈量將與各年齡組魚群條數成正比，比例系數稱為捕撈強度系數。通常使用13mm網眼的拉網，這種網只能捕撈3,4齡魚，其兩個捕撈系數之比為0.42:1。1.問題的提出四、案例:最優捕魚策略問題382023年2月6日（1）建立數學模型分析如何實現可持續性捕撈(即每年開始捕撈時漁場中各年齡組魚群條數不變），并且在此前提下得到最高的年收獲量（總重量）。1.問題的提出四、案例:最優捕魚策略問題392023年2月6日2.模型的假設四、案例:最優捕魚策略問題（3）所有魚都在每年最后四個月內完成產卵孵化的過程，成活的幼魚在下一年初成為一齡魚；（4）產卵發生于后四個月之初，產卵魚的自然死亡發生于產卵之后；（1）只考慮魚的繁殖和捕撈的變化，不考慮魚群遷入與遷出；（2）各齡魚在一年的任何時間都會發生自然死亡；2.模型的假設四、案例:最優捕魚策略問題（6）四齡以上的魚全部死亡；（7）采用固定努力量捕撈即捕撈的速率正比于捕撈時各齡魚群的條數，比例系數為捕撈強度系數。（5）相鄰兩個年齡組的魚群在相鄰兩年之間的變化是連續的;2023年2月6日412023年2月6日3.模型的建立與求解四、案例:最優捕魚策略問題（1）無捕撈時魚群的自然增長模型?。o捕撈時魚群會無限的增長嗎？？No!Idon’tknow!各齡魚都不會無限地增長！422023年2月6日

（1）無捕撈時魚群的自然增長模型3、模型的建立與求解432023年2月6日

(2)固定努力量捕撈下魚群的增長和捕撈模型3、模型的建立與求解442023年2月6日

(2)固定努力量捕撈下魚群的增長和捕撈模型3、模型的建立與求解452023年2月6日1)魚群的增長規律求解(1)，(2)，并利用連續條件(3)

462023年2月6日2)捕撈量472023年2月6日