效?高?寬■深“四度”設計初三幾何復習課教學實踐研究【內容摘要】幾何在中考分值中占很大比例，近年來中考幾何難度逐年提高，對學生要求比較高，學生對幾何的學習比較怕，如何在有限的時間內，通過復習讓學生取得好成績的同時也發展學生空間觀念、幾何直觀、推理能力等。筆者制定”四度“設計教學模式，精選例題，設計好問題串，歸納數學思考經驗，對復習階段的教學設計進行了研究，希望能提升初三幾何復習課的有效性.【關鍵詞】初三幾何復習課四度設計實踐探究一、課題的研究起源（一）“舉足輕重”的幾何知識幾何在初中數學教學中所占的比例很大，是教學的重點，也是教學的難點；幾何題目在中考數學試卷中出鏡率一直很高，以近四年杭州中考數學卷分析，幾何試題和卷面分所占的比例比較大，具體統計見下表：年份題號總分值比值20162,3,8,9,14,15,19,21,235041.7%20173,8,10,12,15,19,21,234638.3%20185,8,10,12,14,16,19,21,5142.5%2320193,6,7,9,13,14,16,19,21,235445%從統計表中可以看出，除了比例較大，幾何題的題號在選擇、填空和計算題中都是比較靠后的，也就是難度系數比較大的.對于比較簡單的幾何題，只考察其中個別知識點時，學生還是可以處理的。但是一旦幾何知識綜合性大，題目條件多或者當要求學生添加輔助線時，學生就不能很好解決此類型的問題。學生在學習幾何的時候，不僅會覺得幾何枯燥乏味，而且也會覺得幾何難以攻克，失去學習數學的興趣。（二）“雜亂無序”的復習現狀數學中考復習是初中數學教學的一個重要環節，它是學生在學完了初中數學的全部內容后，進行一次系統的、全面的回顧與整理，以達到查漏補缺、深化對知識的理解和認識，落實高層次智能目標、促進學生智能遷移的目的。然而，由于復習教學往往是“面對老學生，復習舊知識”，所以“學生聽得不新鮮，教師講得很乏味”。［1］初三的數學復習方法往往就是訂閱資料后，老師照搬照抄。筆者就所在學校的數學教師在初三教學的復習方法中做了調查，主要情況有以下幾種：以習題訓練代替復習教學：有的老師認為在做不同的習題中就復習了與本題相關的知識點，因此在課堂上只是不停地進行習題訓練，并沒有帶領學生進行幾何知識點的梳理及復習。以知識框架代替知識梳理：有的則認為知識點的復習不可缺少，應該系統地講解，然而有一部分學生認為已經學過了，并不認真聽講，效果不如人意；有的則讓學生先做“回歸教材”等知識點回顧，然后老師針對性地講解，可是學生興趣也不是很高。3.以解題數量追求教學質量：有的老師不停地讓學生解題，一節課完成大量的解題訓練，課后完成的題目更多，總覺得學生的成績肯定能與解題數量成正比，從而通過題海戰術達到教學質量的目標。從上述兩點中不難看出，在這么重要的幾何知識復習中，我們大多數老師還是采用按部就班的老路在進行復習操，老師教得累，學生學的苦。筆者認為我們教師應該反思現有的復習模式，如何讓學生在有限的時間里，在知識梳理過程中架構知識網，讓新舊知識聯系起來，形成知識體系。如何讓學生在復習過程中對新舊知識碰撞，升華知識。基于這種情況筆者嘗試“四度”教學實踐模式，希望學生在幾何復習過程中思維得到發展，能力得到提高。二、幾何復習課的“四度”教學實踐（一）制定新主題成就復習的效度切入口小精準定位復習課的目標不能是簡單地列舉知識框架，也不能以做題數量來衡量，當然更不能一言以蔽之，籠統地說“提高學生解決問題的能力”。筆者認為應該根據學生的具體情況，確定合適的起點，制定適合學生認知水平的主題，主題要小而精，通過知識的梳理、例題的選擇和問題的設置，讓學生學會數學思考和解決問題，提高復習課的有效性，提高效率。初中幾何知識眾多，包括圖形的性質，圖形的變化以及圖形與坐標.特別是在圖形的性質里面，包括點、線、面、角，相交線與平行線，三角形，四邊形，圓等基本圖形，并且每個圖形都有自己的性質.而我們復習的時間大概有100多節課，幾何又可以占到50節課左右，這就要求我們每節課定好主題，做到精準定位，確保復習的實效性。案例1：幾何復習單元主題的確定設計說明：本主題的確定并不是統統用形狀來確定主題，而是在對稱、度量等性質方面下進行形狀的劃分，在性質的統領下設計不同的單元主題，然后在該單元主題下再以不同形狀加以區分。目標明確操作可行教學目標是保證一堂課順利有效進行的前提條件，是保證課堂教學質量與效益的前提，我們定的教學目標不應是空洞的、無法執行的，而是應該具體的、可測量的、有針對性的，可操作的。案例2：矩形的折疊的教學目標1、 能根據教師下發的紙張進行折疊后，能畫出圖形經過折疊后的新圖形2、 能根據折疊前后的圖象，看出變換后的圖形與原圖形的對稱不變性，找出相等的角和線段3、 能充分運用折疊的對稱不變性，探索圖形之間存在的關系，運用相關數學知識，如勾股定理、方程思想解決問題.設計說明：此教學目標主要要求學生會畫圖、識圖、用圖，并且在每個目標都有具體的知識點的體現，具有可操作性。適宜學生分層教學由于不同學生對于知識的掌握程度肯定是不一樣的，因此在同一個主題的學習中，應該根據學生的知識水平和差異情況，對不同的學生設計不同的問題，讓每個學生在學習過程中，都有收獲，都能獲得成就感。

（二）設計新起點奠定復習的高度課前習題反饋知識水平雖然復習課往往是“面對老學生，復習舊知識”，但是隨著學生的年齡的增長和心智的成熟，相比之前在剛剛學習新的知識的時候，也許之前覺得難的知識現在已經變得相對簡單了，當然，肯定也存在有些知識雖然已經學習過，但是由于時間久遠，加上用的少，已經記憶模糊或者遺忘了.那么如果能進行課前的習題作業反饋，就能掌握學生對舊有知識的掌握情況，便于有針對性的選擇適合學生的習題。案例3：三角形及其性質復習的課前習題片斷1.現有4根鋁合金小棒，長度分別為30，40，50，60厘米，任取3根鋁合金小棒首尾相接焊接，問能焊接出多少個不同三角形？已知在一個三角形中，其中有兩個角的度數和是第三個角度數的3倍，求第三個角的度數？如圖1,在RtAABC中，CM平分ZACB交AB于點M,過點M作MN〃BC交AC于點N,且MN平分ZAMC.若AN=1,則BC的長為.如圖2,在^ABC中，D，E分別為BC，AD的中點，且SAABC=4，則S陰影（圖1）（圖2）設計說明：通過一組小、活、靈的課前習題測試，測試學生對三角形的基本性質，包括邊的性質、角的性質、面積的簡單計算，教師批改后收集問題，便

于復習課上著重對于哪塊內容進行強化有比較好的指引作用，也能了解學生的實際情況。2.精選例題回顧知識梳理復習課往往從知識梳理開始，知識梳理不是知識框架的簡單再現，或者性質定理的背誦，而是設計合適的問題喚醒學生的回憶，通過問題解決建構知識體系.在中考復習時，設計的復習內容和價值取向要符號中考要求，既要落實“四基”，也要兼顧適度拓展，注重對學生能力的培養.設計開放型的問題，也可以幫助拓展學生的能力。案例4：平行四邊形的性質及判定的復習片斷已知：如圖3，E，F是4口的對角線AC上的兩點，且.求證：四邊形BEDF是平行四邊形.（請你附加一個條件，然后完成證明）（圖3）（圖4）生1：我添加AE=CF，由條件可知△ADE^ACBF和^ABE^ACDF那么DE=BF，BE=DF，再利用“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”即可證明.生2：老師，我覺得仍舊添加這個條件，但是只利用一組全等三角形即可，△ADE^^CBF，由全等三角形可以得到DE=BF并且ZAED=ZCFB，再利用等角的補角相等得到ZFED=ZEFB，推出DE//BF，利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”即可證明.生3：老師，還是這個條件，但是連接DB會更簡單，利用平行四邊形的對角線互相平分，可以得到AO=CO,DO=BO，而已知AE=CF，則可以得到OE=OF，利用“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”即可證明（如圖4）.生4：老師，添加DE,BF分別是ZADC和/ABC的角平分線……生5：那如果是高線，好像也可以設計說明：平行四邊形的判定方法眾多，如果通過PPT播放文字敘述，這幾乎也是新授課的教學流程，連新課都沒聽進去，那么復習課中學生頭腦中不會留下深刻的印象，學生需要做多少題才能真正地掌握這一知識點。而本例中的原題來源于課本八下《4.4.1平行四邊形判定》作業題1，《4.4.2平行四邊形判定》例2、作業題2和作業題3,設計了開放式的問題，它是基于學生腦中已有的平行四邊形的判定方法，讓學生通過不同的判定方法來回顧平行四邊形的判定及性質，讓學生能夠喚醒頭腦中的舊知，經歷思辨的過程，自然而然地建構知識體系。3.深入挖掘開發習題資源教師面對一個基本題時，應該思考，該題背后可以蘊含哪些幾何知識，深入挖掘一個題的素材，抓住原題，對題目進行再創造，形成連貫通暢的整體，開發出一套習題資源。案例5：三角形相似的習題開發片斷已知，如圖5，在左ABC中，ZACB=90°，CD±AB，D為垂足：求證：CD1_11變1：求證：5五-亍變2：如果AC=2BC，求證：5CD=AB變3：若AB的中點為M，求證：X. 泛"宅變4：如圖6,若增加“DEXAC于E,DFXAB于F,”求證：（1）（廠冶（2）聲；，茫%"；A./變5：如圖7,若增加“CE平分/DCB”，求證：左歸陌變6：已知，如圖8,在^ABC中，/ACB=90度，CDLAB,D為垂足，以CD為直徑的圓交AC、BC于E、F，求證：CE：BC=CF：AC（圖5）（圖6）（圖7）（圖8）設計說明：本題為九上《4.4兩個三角形相似判定》的作業題1中的一個題，在學習相似三角形的時候，對于通過相似找到邊之間的關系是一種常見的中考題型，也是學生學習相似三角形的一個難點.因此，為了拓展學生的思維，筆者設計了以上變式，通過對題目稍作更改，附加高線、角平分線、圓等不同條件，尋求線段之間的具體數量關系。（三）重構新認知拓廣復習的寬度用新知去體會舊知重新架構知識網絡由于學生在學習新知識時，受知識儲備不完善，考慮問題不全面，能力有限等，很難對所學的新知識有一個全方位的了解和認識，知識面還是單一的。當學生學習了后續知識后，這樣可以對前面所學的新知識進行融匯、整理、編排、產生新的認識，架構知識網絡，形成知識體系。案例6：正方形的復習片斷已知:如圖9,點E,F,P,Q分別是正方形ABCD的四條邊上的點，并且AF=BP=CQ=DE.求證：四邊形EFPQ是正方形.教師在完成這題的講解后問1:你能用它解釋勾股定理嗎？問2：如圖10,在直角坐標系中，已知一個正方形的頂點O（0,0）,A（3,4），你可以求其余的點坐標嗎嗎？（圖9）（圖10）設計說明：用己學習過的正方形的知識去解釋之前的勾股定理，去完成之前學習過的直角坐標系中表示點的坐標，其實都是用了課本中這個題的原圖，這個圖其實就是趙爽弦圖。當然，在數學學習中，還有其他的遷移知識，比如在學習了比例線段后，可以比較容易地證明“三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半”；又比如學習了矩形的對角線相等且互相平分，可以用于證明“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”等等。注意知識“負遷移”設計辨析予以區別數學學習是一個逐級遞進的過程，當學生擁有更多的知識時，難免會對前面所學的知識產生負遷移.比如當學生學習了菱形的對角線互相垂直平分，學生往往會認為“對角線互相垂直的四邊形是菱形”等誤解，這就要求我們平時幾何教學中，要設計一些辨析訓練題得以區別。（四）提煉新經驗挖掘復習的深度巧設問提供思維空間每節課的每個問題之間都形成層層疊疊的關系網，從學生的知識水平和認知結構出發，精心預設，循序漸進的啟發式提問，給學生提供思維的空間，引發學生深度思考。案例7：矩形的折疊的復習片斷如圖11,在矩形紙片ABCD中，AD=6,AB=8,E為DC上的動點，把△ADE沿直線AE折疊使點D落在D’處，（老師下發A4紙）折疊后，你有哪些結論？若ACD’三點共線，你又可以計算出哪些線段的長度？若D’落在矩形的邊上，則DE=若△ED’C為Rt△時，則DE二（圖11）設計說明：從最基本的折疊開始，讓學生經歷由簡單到復雜、由特殊到一般的探索歷程，讓學生鞏固并深刻領會折疊的本質在于軸對稱，軸對稱的本質在于保證了圖形的全等不變性，涉及方程、相似等眾多核心的知識與方法，這對培養學生“動態變化、數形結合、推理能力”等素養起到較好的聚焦作用.通過問題①的設計，讓學生先回顧折疊的本質是在于軸對稱，軸對稱前后的圖形線段、角、面積都是相等的.問題②和問題③，是在折疊過程中的某個特殊位置，通過勾股定理、方程思想可以幫助解決困難.到了問題④，需要學生利用分類討論思想，去判斷哪些角可能為直角，最后可以分成兩種情況。說思路產生思維碰撞如果每節課的目的僅僅是求解一道中考題或者一道綜合大題的答案，教學的時間會節省不少，但學生是否真正地理解、掌握了這個題背后蘊含的這個類型的題的解法。教師不僅要關注自己的教，也要關注教會學生“說”，從說思路開始，讓學生從學會到會學。案例8：矩形的折疊的復習片斷（教學設計同上案例）師：你得到了哪些結論生1:由于折疊，我可以得到折疊過程中的角度、線段相等，如DE=D’E,AD=AD’，ZDAE=ZD?AE,ZDEA=ZD?EA,ZD=ZD?=90°.生2：老師，其實這些結論的背后都來源于??印匚，折疊前后的三角形全等.師：所以，在折疊的題中，我們應該看到折疊前后的圖形是關于折疊的痕跡所在的直線前后成軸對稱的關系。設計說明：其實，第①問的設計，就是要讓學生先體會折疊的本質，折疊前后的圖形是不變的，可以從角入手，也可以從線段入手，此處，學生1說的是具體的線段相等，而學生2則進一步說出折疊的本質，兩學生之間產生了思維的碰撞。問題②、問題③和問題④此處不展開詳細的課堂教學片斷，接下來再來看看學生敘述問題⑤的敘述片斷。師：CD’是否存在最小值？生3：老師，點D’在動，這個最小值好像一下子看不出來生4：老師，我覺得雖然D’在動，但是點動起來好像有一定的規律，我知道了，由于折疊，點D’是由點D折過來的，也就是繞著AE折過來的，那么AD’二AD生5：老師，點D’的痕跡是以A為圓心，AD為半徑的圓弓瓜師：那我們現在看出點D’的痕跡了，但是題目讓我們求的是CD’的最小值，是否可以與此聯系起來？也就是說CD’與AD’是否有聯系？設計說明：求最值的問題一般是學生看著最頭疼的問題，此處同樣通過學生之間的思維碰撞，教師加以引導，最后學生自己解決問題，讓學生能夠把思路說出來，讓做題的過程“說”出來，也是我們平時復習應該注意的一點，多讓學生說一說，碰撞出思維的火花。重小結提煉思維經驗學生的經驗是零散的、模糊的，教師需要幫助學生將這些經驗進行梳理，使得經驗明晰并且有條理。所以在教學中，除了要對基礎知識進行回顧小結外，也要對數學活動經驗進行歸納總結，使得學生養成小結、反思的經驗。案例9：三角形的性質的復習片斷（1） 如圖①，把?印？沿DE折疊，使點A落在點A’處，若"X，求1 2的度數.（2） 如圖②,BI平分.衣,CI平分舟蕓，把也：沿DE折疊，使點A與點I重合，若.12 ，求.雙:的度數.題目分析，圖②其實是由圖①和圖③組成的，而圖③這個題最早出現在作業本等資料中，已知,少的大小，求誨C.復習過程中，第二小題錯誤率較高，要求學生訂正前反思以下內容：（1） 本題運用哪些所學知識（2） 兩小題是否有內在聯系（3） 之前有沒有做過類似的題型，或者包含做過的題目模型在老師講解完后應該讓學生反思：（1）運用了哪些思維方式、數學思想方法（2）這題的難點在哪，是如何突破的設計說明：平時復習中，若能把反思與總結當作一個經常性、自覺性的學習行為，.就會在不斷地積累和總結基本的數學活動經驗中，提高數學知識的運用能力.當學生能夠說自己的感悟時，