宏觀系統的微觀描寫宏觀系統的微觀描寫2/5/2023115統計方法分類宏觀系統由大量微觀粒子組成。統計物理學的基本觀念是：系統的宏觀特性是微觀粒子行為的集體表現。宏觀量是相應微觀量的統計平均。19世紀已經在經典力學基礎上建立了經典統計法。由于微觀粒子遵循量子規律，嚴格的統計法必須在量子力學的基礎上建立，叫做量子統計法。兩類統計法的基本統計原理相同，經典統計法是量子統計法在一定條件下的近似結果。在量子力學中，系統的量子態用波函數描寫，它滿足定態薛定諤方程：方程中的一個下標代表一組完備的量子數，也叫守恒量完全集，而能量本征值一般取分立的數值。2/5/2023215廣義坐標與廣義動量分析力學用廣義坐標q

和廣義動量p

描寫粒子的運動。直角坐標系中的自由粒子：球坐標系中的自由粒子：一般地考察有r

個自由度的系統。任意時刻的狀態由廣義坐標與廣義動量的值確定：由r

個廣義坐標構成一個r

維位形空間，而r

個廣義坐標和廣義動量構成2r

維相空間。從經典的觀點看，相空間中的一個點代表粒子的一種可能狀態，一條相軌代表一種可能的運動方式。如果系統由多個沒有相互作用的粒子組成，則每個粒子都有三個自由度，分別對應三個廣義坐標和廣義動量。如果組成系統的粒子之間有相互作用，則要加上約束條件，結果獨立的廣義坐標與廣義動量的數目要減少。2/5/2023315相格與量子態原則上說，量子描述才是準確的，但在統計物理學所處理的問題中，普朗克常數可以忽略。這時，物理客體的粒子性占主要地位，粒子近似地沿確定的軌道運動，可以用半經典方法加以描寫。因此，在統計物理學中，粒子的運動近似地用廣義坐標和廣義動量描寫，但要加上量子力學的限制：在一維的情況下，這表示在二維相空間中一個面積為h

的小面元內不可能準確地確定粒子的狀態。把這結果推廣到有r

個自由度的系統，與面元對應的就是一個2r

維相空間中的小體元，其相體積為。顯然，這樣一個小體元內各點之間的差異可以忽略。把整個相空間看做由這樣的小體元組成，把每個小體元稱為一個相格，每個相格代表一個量子態。2/5/2023415量子態與玻爾茲曼系統在量子力學中，一個粒子的量子態由一組量子數描寫。兩組量子數只要有一對不一樣，這兩組數就不相同。由N

個全同粒子組成的系統就要由N

組數描寫。這N

組數的每一種排列代表系統的一種可能的量子態。考慮由全同粒子組成的近獨立粒子系統。由于相互作用極其微弱，每個粒子孤立存在時量子態的概率分布不會受到別的粒子的干擾；由于存在微弱的相互作用，粒子的狀態可以互相傳遞，最終使系統達到平衡態。從經典的角度看，每一個粒子都是可分辨的，要確定系統的微觀狀態，必須確定每一個粒子的量子態。由于可分辨性，每個單粒子量子態可容納任意個粒子。具有這種性質的全同粒子系叫做玻爾茲曼系統。2/5/2023515玻色系統與費米系統從量子的角度看，全同粒子是不可分辨的，要確定系統的微觀狀態，只能確定每一個單粒子態上的粒子數。由于交換對稱性，系統的波函數要么對稱要么反對稱。如果波函數關于交換對稱，其成員粒子叫做玻色子，由玻色子組成的全同粒子系叫做玻色系統。玻色系統不受泡利不相容原理的限制，處在同一單粒子態上的粒子數可以取任意值。如果波函數關于交換反對稱，其成員粒子叫做費米子，由費米子組成的全同粒子系叫做費米系統。費米系統遵從泡利不相容原理，每一個單粒子態(由一組量子數描寫)最多只能容納一個費米子。玻色系統與費米系統的這個差別必定造成這兩種系統所遵從的統計法有巨大差別。2/5/2023615量子態數的半經典描寫考慮被限制在邊長為L的立方體內的全同粒子系。分別考察對系統的半經典描寫與量子描寫。在半經典描寫中，三維自由粒子的能量表達式：如果系統的總能量等于E，則每個粒子的能量取值將有可能在0~E

之間變化，在6維相空間中，表征粒子運動狀態的點所能到達的范圍的相體積：對能量的限制相當于三維動量空間中的球體相格的體積在代表點能夠達到的范圍內，相格的總數就是W。這就是能量等于E

的系統能夠容納的量子態的總數。2/5/2023715量子態數的量子描寫在量子描寫中，被限制在立方體內的粒子的能量：如果系統的總能量等于E，每個粒子的能量取值仍然在0~E間變化。對能量的限制相當于抽象的三維量子數空間中的球體的第一卦限：它的體積等于其中包含的相格的數目，正是總能量為E時可能的量子態總數：結果與用半經典描寫得到的一樣。2/5/2023815能態密度自由粒子的自由度是3，對應的相空間是6維的。根據相格的定義，在空間體積V內，動量處于范圍內，粒子的微觀態數在球坐標系下，動量體積元對角度積分，就得到在空間體積V內，動量的大小處于范圍內，粒子的微觀態數由此得到在空間體積V內，能量處于范圍內，粒子的微觀態數單位能量間隔內的微觀態數叫做能態密度或態密度如果把自旋考慮進來，則要乘以自旋態數，對電子是22/5/2023915宏觀態與微觀態當系統處于平衡態時，各種宏觀量有確定的值。系統的宏觀態由一組完備的宏觀量(態參量)描寫。每一組態參量構成一個抽象的狀態空間。狀態空間中的一個點對應于系統的一個宏觀態。盡管系統的宏觀態確定，粒子的微觀運動狀態仍然有各種可能性，并且在不斷地變化。系統的微觀態就是由一組完備的量子數決定的量子態。考慮由N

個全同粒子組成的系統，它的總能量是E，這就是系統的宏觀狀態。在這個宏觀態下，在各個單粒子能級上粒子數的分配可以有大量不同的方式：各種分配方式必須滿足2/5/20231015等概率假設系統的宏觀態確定后，各種微觀態以一定的概率出現。這反映出個別粒子的行為是受偶然性支配的。這意味著不可能也沒有必要追蹤微觀態的變化。系統有確定的宏觀量則反映出整體行為受必然性支配。這意味著宏觀行為必定是微觀行為的集體表現。于是，由大量粒子組成的系統遵循統計規律。在一定的宏觀條件下，在某個時刻，各種微觀態以一定的概率出現。確定這個概率是統計物理學的首要任務。沒有任何依據顯示，某個微觀態比其他微觀態更優越。1871年，玻爾茲曼提出，對于處在平衡態的系統，各個可能的微觀態出現的概率相等。等概率假設如果平衡態下系統的微觀態數為W，則其中任意一個微觀態出現的概率就是1/W。2/5/20231115粒子數按能級的分布考慮由N

個全同近獨立粒子組成的系統，它的總能量是E，這正是系統的宏觀狀態。單粒子能級：這個能級的簡并度：該能級上的粒子數：粒子數按能級的一個分布：對于一個確定的系統，所有可能實現的分布必須滿足：一個簡單例子：滿足這兩個約束條件的可能實現的分布是大量的，每一個可能的分布對應有多個可能的微觀態，每一個微觀態只對應于一個可能的分布。2/5/20231215玻爾茲曼系統的微觀態在玻爾茲曼系統中，組成系統的粒子是可分辨的，Ni個粒子的每一個都可以占據ei

能級上wi個量子態中的任何一個，有wi種可能的占據方式。Ni個粒子占據ei

能級上wi個態的占據數為考慮一個確定的分布個可分辨的粒子分別占據上各個量子態的可能的占據數為另一方面，由于粒子是可分辨的，因此，一個分布共有種組合方式。與一個確定的分布對應的微觀態數假定能量為ei

的粒子在相空間中占據的相體積為Dwi

，則對應的半經典表達式：2/5/20231315玻色系統的微觀態對玻色系統，粒子占據各量子態的方式可以這樣考慮：把態看做盒子，粒子看做小球，盒子右邊的小球屬于該盒子。暫時把盒子與小球看做是相同的物體。這相當于盒子與球一起做排列，但是第一個位置必須放置一個態。共有排列數等于盒子相互交換位置或小球相互交換位置不影響結果。只有組合數才有測量意義：這就是Ni個粒子占據wi個量子態的可能的占據數。與一個確定的分布對應的微觀態數2/5/20231415費米系統的微觀態如果系