第三節(jié)一、三重積分的概念

二、三重積分的計(jì)算三重積分第十章一、三重積分的概念

類似二重積分解決問題的思想,采用引例:設(shè)在空間有限閉區(qū)域內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),求分布在內(nèi)的物質(zhì)的可得“大化小,常代變,近似和,求極限”解決方法:質(zhì)量

M.密度函數(shù)為定義.

設(shè)存在,稱為體積元素,

若對作任意分割:任意取點(diǎn)則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫作三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.性質(zhì):例如下列“乘中值定理.在有界閉域上連續(xù),則存在使得V為的體積,

積和式”極限記作二、三重積分的計(jì)算1.利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次積分法先假設(shè)連續(xù)函數(shù)并將它看作某物體通過計(jì)算該物體的質(zhì)量引出下列各計(jì)算最后,推廣到一般可積函數(shù)的積分計(jì)算.的密度函數(shù),方法:方法1.投影法(“先一后二”)該物體的質(zhì)量為細(xì)長柱體微元的質(zhì)量為微元線密度≈記作方法2.截面法(“先二后一”)為底,dz為高的柱形薄片質(zhì)量為該物體的質(zhì)量為面密度≈記作投影法方法3.三次積分法設(shè)區(qū)域利用投影法結(jié)果,把二重積分化成二次積分即得:當(dāng)被積函數(shù)在積分域上變號時,因?yàn)榫鶠闉榉秦?fù)函數(shù)根據(jù)重積分性質(zhì)仍可用前面介紹的方法計(jì)算.小結(jié):三重積分的計(jì)算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次積分”具體計(jì)算時應(yīng)根據(jù)三種方法(包含12種形式)各有特點(diǎn),被積函數(shù)及積分域的特點(diǎn)靈活選擇.其中

為三個坐標(biāo)例1.

計(jì)算三重積分所圍成的閉區(qū)域.解:面及平面例2.計(jì)算三重積分解:

用“先二后一”

y=0,z=0和x+y+z=1所圍成的四面體.解:在xy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy:0y

1x,0x

1.沿z

軸方向,下方曲面:z=0,上方曲面:z=1xy.y0zx111Dxyx+y=1x+y+z=1練習(xí)1類似,解:若先對z

積分,由于沿z

軸方向的下方曲面和上方曲面均由兩片曲面組成,且在xy面上投影區(qū)域相對復(fù)雜.積分較繁.改為先對y

積分.y0zx1練習(xí)2沿y

軸方向,求在xz面上的投影區(qū)域Dxz

.故Dxz

:y0zx1消去y,1x+y=1yozx1z=xy.關(guān)于利用對稱性積分.

設(shè)有界閉區(qū)域的形狀關(guān)于xoy面對稱,且

f(x,y,z)=f(x,y,z),若f(x,y,z)=f(x,y,z),其中1是中處于xy面上方部分.

類似可得關(guān)于xoz面對稱,而f(x,y,z)關(guān)于y

是奇,偶函數(shù)的結(jié)論,以及關(guān)于yz

面對稱,而f(x,y,z)關(guān)于x

是奇,偶函數(shù)的結(jié)論.2.利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分

就稱為點(diǎn)M

的柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面如圖所示,在柱面坐標(biāo)系中體積元素為因此其中適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時方程簡單;2)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時變量互相分離.其中為例3.計(jì)算三重積分所解:

在柱面坐標(biāo)系下及平面由柱面圍成半圓柱體.例4.

計(jì)算三重積分解:

在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中由拋物面原式=

其中由x2+y2=2z及z=2所圍成.

求解：一般,若的表達(dá)式中含有x2+y2,則可考慮用柱面坐標(biāo)積分.令x=rcos,y=rsin,z=z,

且

z

2,0

r

2,

0

2.xzyx2+y2=2zx2+y2=4或r=2o2練習(xí)4

注：常用的二次曲面有,球面,橢球面,柱面.a(x2+y2)=z(旋轉(zhuǎn)拋物面),ax2+by2=z(橢圓拋物面),a2(x2+y2)=z2(圓錐面).3.利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分

就稱為點(diǎn)M

的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面半平面錐面Cr=常數(shù):

=常數(shù):S球面S半平面P動點(diǎn)M(r,,)yz

x0MP

=常數(shù):錐面C.

rdrdrsinxz

y0圓錐面rd球面r圓錐面+d球面r+dr元素區(qū)域由六個坐標(biāo)面圍成：drsind球面坐標(biāo)下的體積元素半平面及+d；

半徑為r及r+dr的球面；圓錐面及+drdrdxz

y0

drdrsind.r2sin

drdd如圖所示,在球面坐標(biāo)系中體積元素為因此有其中適用范圍:1)積分域表面用球面坐標(biāo)表示時方程簡單;2)被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時變量互相分離.例5.計(jì)算三重積分解:

在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中

與球面

求由半徑R的球面x2+y2+z22Rz=0和半頂角為的圓錐面ctg2(x2+y2)=z2圍成的立體的體積V,其中位于圓錐面上方,球面下方.解:

,用球面坐標(biāo)求這個三重積分.令x=rsincos,y=rsinsin,z=rcos.則由公式知：0yzx練習(xí)1x2+y2+z22Rz=0的球面坐標(biāo)方程為r22Rrcos=0,即:r=2Rcos,ctg2(x2+y2)=z2的球面方程為ctg2(r2sin2cos2+r2sin2sin2)=r2cos2,即:=.由前面的(2)及的形狀知,0r2Rcos,

0,因在xy面投影區(qū)域?yàn)閳A,故02..0yzx的體積

一般,若的表達(dá)式中含x2+y2+z2,則可考慮用球面坐標(biāo).用兩種方法計(jì)算其中解：利用函數(shù)與域的對稱性，練習(xí)2用柱坐標(biāo)：

解：用球坐標(biāo)：

用兩種方法計(jì)算其中練習(xí)3思考.求曲面所圍立體體積.解:

由曲面方程可知,立體位于xOy面上部,利用對稱性,所求立體體積為yOz面對稱,并與xOy面相切,故在球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于

xOz

內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡潔,或坐標(biāo)系體積元素適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系*說明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:對應(yīng)雅可比行列式為變量可分離.圍成;1.

將用三次積分表示,其中由所提示:思考與練習(xí)六個平面圍成,2.設(shè)計(jì)算提示:利用對稱性原式=奇函數(shù)3.