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習題課一、主要內容二、典型例題

第八章重積分的計算及應用良鄉1-101工科數學分析Ⅱ07011401、07011402、07011406良鄉1-106工科數學分析Ⅱ05941402考試時間：2015年5月9日（第9周周6）上午9:50-11:50良鄉1-102工科數學分析Ⅱ07011407、08111401、08111402良鄉1-105工科數學分析Ⅱ08111403、08111404定義幾何意義性質計算法應用二重積分定義物理意義性質計算法應用三重積分一、主要內容1、二重積分的定義２、二重積分的幾何意義當被積函數大于零時，二重積分是曲頂柱體的體積．當被積函數小于零時，二重積分是曲頂柱體的體積的負值．性質１當為常數時，性質２３、二重積分的性質性質３對區域具有可加性性質４若為D的面積性質５若在D上，特殊地性質６性質７（二重積分中值定理）性質8設函數D位于

x軸上方的部分為D1,當區域關于

y軸對稱,函數關于變量

x有奇偶性時,在

D上在閉區域上可積,域D關于x軸,則則仍有類似結果.對稱，若４、二重積分的計算［X－型］

X-型區域的特點：穿過區域且平行于y軸的直線與區域邊界相交不多于兩個交點.（１）直角坐標系下

Y型區域的特點：穿過區域且平行于x軸的直線與區域邊界相交不多于兩個交點.［Y－型］（２）極坐標系下5、二重積分的應用(1)體積設S曲面的方程為：曲面S的面積為(2)曲面積當薄片是均勻的，重心稱為形心.(3)重心薄片對于x軸的轉動慣量薄片對于y軸的轉動慣量(4)轉動慣量薄片對

軸上單位質點的引力為引力常數(5)引力6、三重積分的定義7、三重積分的幾何意義8、三重積分的性質類似于二重積分的性質．對稱性9、三重積分的計算(１)直角坐標(２)柱面坐標(３)球面坐標10、三重積分的應用(１)質心(２)轉動慣量在閉區域D上可積,若域D關于線關于輪換對稱性在重積分計算中的應用y=x對稱,則有(2)設函數在空間有界閉區域則有上可積,(1)設函數域若將的形狀不變，例1

計算二重積分在第一象限部分.其中D

為圓域解

兩部分作輔助線將D分成二、典型例題例2計算二重積分其中:(1)D為圓域(2)D由直線解:(1)

利用對稱性.圍成.(2)

積分域如圖:將D分為添加輔助線利用對稱性,得例3計算二重積分其中:D:例4計算三重積分其中:例5求例6

證例7

證從改變積分次序入手．例8解:

在球坐標系下利用洛必達法則與導數定義,得其中例9證明證:左端=右端例10設函數f(x)

連續且恒大于零,其中(1)討論F(t)

在區間(0,+∞)

內的單調性;(2)證明t>0

時,解:

(1)

因為兩邊對

t

求導,得(2)

問題轉化為證即證故有因此t>0

時,因例11如圖所示交換下列二次積分的順序:解:例12計算其中:

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