第四章參數估計引例(1/2)：某保健品生產企業以生產瓶裝保健品為主，每天的產量約為8000瓶，按規定，每瓶的重量應不低于100g，否則不合格。為對產品質量進行監測，現對產品進行質量檢驗，質檢的內容之一就是每瓶重量是否符合要求。以下為從某天生產保健品中隨機抽取的25瓶，表4.1是每瓶重量檢測結果。華南理工大學精品課程引例(2/2)

：ＡＢＣＤＥ１25瓶保健品的重量／ｇ２112.5101.0103.0102.0100.5３102.6107.595.0108.8115.6４100.0123.5102.0101.6102.2５116.695.497.8108.6105.0６136.8102.8101.598.493.3表4.1保健品重量檢測結果根據表4.1的數據，企業估計出該天生產的保健品每瓶平均質量在101.38-109.34g之間，其中，估計的置信水平為95%，估計誤差不超過4g。產品的合格率在73.93%-96.07%之間，其中，估計的置信水平為95%，估計誤差不超過16%。2華南理工大學精品課程提出問題該企業是如何根據表4.1的數據進行估計的？Q1Q2Q3如何根據管理層的要求估計總體的方差？3華南理工大學精品課程學習目標了解評價估計量的標準；掌握單個總體和兩個總體的參數估計；掌握如何確定樣本容量；根據樣本統計量推斷總體的特征。4華南理工大學精品課程學習內容了解估計量與估計值了解點估計與區間估計理解評價估計量的標準掌握單個總體參數的區間估計掌握兩個總體參數的區間估計掌握如何確定樣本容量5華南理工大學精品課程第一節參數估計的一般問題4.14.24.34.4具體章節結構第二節

一個總體參數的區間估計第三節兩個總體參數的區間估計第四節樣本容量的確定6華南理工大學精品課程參數估計在統計方法中的地位7華南理工大學精品課程統計推斷的過程樣本總體樣本統計量如：樣本均值、比率、方差總體均值、比率、方差等8華南理工大學精品課程一、估計量與估計值二、點估計與區間估計三、評價估計量的標準第一節參數估計的一般問題9華南理工大學精品課程估計量：用于估計總體參數的隨機變量如樣本均值，樣本比率、樣本方差等；例如:樣本均值就是總體均值的一個估計量參數用表示，估計量用表示估計值：估計參數時計算出來的統計量的具體值如果樣本均值x

=80，則80就是的估計值一、估計量與估計值10華南理工大學精品課程用樣本的估計量直接作為總體參數的估計值例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計例如：用兩個樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計沒有給出估計值接近總體參數程度的信息點估計的方法有矩估計法、順序統計量法、最大似然法、最小二乘法等二、點估計與區間估計11華南理工大學精品課程在點估計的基礎上，給出總體參數估計的一個區間范圍，該區間由樣本統計量加減抽樣誤差而得到的根據樣本統計量的抽樣分布能夠對樣本統計量與總體參數的接近程度給出一個概率度量比如，某班級平均分數在70～80之間，置信水平是95%

樣本統計量

(點估計)置信區間置信下限置信上限二、點估計與區間估計12華南理工大學精品課程區間估計的圖示x95%的樣本-1.96x+1.96x99%的樣本-2.58x+2.58x90%的樣本-1.65x+1.65x二、點估計與區間估計13華南理工大學精品課程由樣本統計量所構造的總體參數的估計區間稱為置信區間，統計學家在某種程度上確信這個區間會包含真正的總體參數，所以給它取名為置信區間。用一個具體的樣本所構造的區間是一個特定的區間，我們無法知道這個樣本所產生的區間是否包含總體參數的真值。我們只能是希望這個區間是大量包含總體參數真值的區間中的一個，但它也可能是少數幾個不包含參數真值的區間中的一個置信區間:二、點估計與區間估計14華南理工大學精品課程將構造置信區間的步驟重復很多次，置信區間包含總體參數真值的次數所占的比率稱為置信水平表示為(1-為是總體參數未在區間內的比率常用的置信水平值有

99%,95%,90%相應的為0.01，0.05，0.10置信水平:二、點估計與區間估計15華南理工大學精品課程置信區間與置信水平:樣本均值的抽樣分布(1-)%區間包含了

%的區間未包含1–aa/2a/2二、點估計與區間估計16華南理工大學精品課程影響區間寬度的因素:

1.總體數據的離散程度，用來測度樣本容量，2.置信水平(1-)，影響

z的大小二、點估計與區間估計17華南理工大學精品課程無偏性：估計量抽樣分布的數學期望等于被估計的總體參數P(

)BA無偏有偏三、評價估計量的標準18華南理工大學精品課程有效性：對同一總體參數的兩個無偏點估計量，有更小標準差的估計量更有效

AB的抽樣分布的抽樣分布P(

)三、評價估計量的標準19華南理工大學精品課程一致性：隨著樣本容量的增大，估計量的值越來越接近被估計的總體參數AB較小的樣本容量較大的樣本容量P(

)三、評價估計量的標準20華南理工大學精品課程一、總體均值的區間估計二、總體比率的區間估計三、總體方差的區間估計第二節一個總體參數的區間估計21華南理工大學精品課程

1.假定條件總體服從正態分布,且方差(２)

未知如果不是正態分布，可由正態分布來近似(n

30)使用正態分布統計量z2.總體均值在1-置信水平下的置信區間為一、總體均值的區間估計（大樣本）22華南理工大學精品課程【例】一家飲料制造企業以生產某種盒裝飲料為主，為對飲料質量進行監測，企業質檢部門經常要進行抽檢，其中一項檢查就是分析每盒飲料的凈含量是否符合要求。現從某天生產的一批飲料中隨機抽取了25盒，測得每盒凈含量如下表所示。已知產品凈含量的分布服從正態分布，且總體標準差為10ml。試估計該批飲料平均凈含量的置信區間，置信水平為95%25盒飲料的凈含量1120.51010.01030.01020.01000.51020.61070.5

950.01080.81150.61000.01230.51020.01010.61020.21160.6

950.4

970.81080.61050.01360.81020.81010.5

980.4

930.3一、總體均值的區間估計（大樣本）23華南理工大學精品課程解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根據樣本數據計算得：

總體均值在1-置信水平下的置信區間為該飲料平均重量的置信區間為1010.44g~1090.28g一、總體均值的區間估計（大樣本）24華南理工大學精品課程【例】某家公司需要對其某項業務的客戶群年齡進行調查，因此收集了由36名該業務的客戶組成的隨機樣本，得到每個客戶的年齡(周歲)數據如下表。試建立該客戶群年齡90%的置信區間36個客戶年齡的數據233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532一、總體均值的區間估計（大樣本）25華南理工大學精品課程解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根據樣本數據計算得：

總體均值在1-置信水平下的置信區間為該項業務客戶群平均年齡的置信區間為37.37歲~41.63歲一、總體均值的區間估計（大樣本）26華南理工大學精品課程

1. 假定條件總體服從正態分布,且方差(２)

未知小樣本

(n<30)使用t

分布統計量2.總體均值在1-置信水平下的置信區間為一、總體均值的區間估計（小樣本）27華南理工大學精品課程

t分布是類似正態分布的一種對稱分布，它通常要比正態分布平坦和分散。一個特定的分布依賴于稱之為自由度的參數。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態分布xt

分布與標準正態分布的比較t分布標準正態分布t不同自由度的t分布標準正態分布t(df=13)t(df=5)z一、總體均值的區間估計（小樣本）28華南理工大學精品課程【例】已知某種電子元件的壽命服從正態分布，現從一批電子元件中隨機抽取16只，測得其使用壽命(小時)如下。建立該批電子元件平均使用壽命95%的置信區間16個電子元件使用壽命的數據1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470一、總體均值的區間估計（小樣本）29華南理工大學精品課程解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131

根據樣本數據計算得：，

總體均值在1-置信水平下的置信區間為該種電子元件平均使用壽命的置信區間為1476.8小時～1503.2小時一、總體均值的區間估計（小樣本）30華南理工大學精品課程1. 假定條件總體服從二項分布可以由正態分布來近似使用正態分布統計量z2.總體比率在1-置信水平下的置信區間為二、總體比率的區間估計31華南理工大學精品課程【例】某城市想要估計高校教職工中女性所占的比率，隨機地抽取了100名高校教職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計該城市高校教職工中女性比率的置信區間解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96該城市高校教職工中女性比率的置信區間為55.65%~74.35%

二、總體比率的區間估計32華南理工大學精品課程1. 估計一個總體的方差或標準差2. 假設總體服從正態分布總體方差

2

的點估計量為s2,且3.總體方差在1-置信水平下的置信區間為三、總體方差的區間估計33華南理工大學精品課程221-2總體方差1-的置信區間自由度為n-1的2分布三、總體方差的區間估計（圖示）34華南理工大學精品課程【例】某小學打算對某年級的學生身高進行測量，現從該年級隨機選取了25名學生，測得每位學生身高如下表所示。已知學生身高的分布服從正態分布。以95%的置信水平建立該種年級學生身高方差的置信區間。25名學生的身高(cm)112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5

95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6

95.4

97.8108.6105.0136.8102.8101.5

98.4

93.3三、總體方差的區間估計35華南理工大學精品課程解:已知n＝25，1-＝95%,根據樣本數據計算得

s2=93.21

2置信度為95%的置信區間為

該年紀的學生總體身高標準差的的置信區間為7.54cm~13.43cm三、總體方差的區間估計36華南理工大學精品課程一、兩個總體均值之差的區間估計二、兩個總體比率之差的區間估計三、兩個總體方差比的區間估計第三節兩個總體參數的區間估計37華南理工大學精品課程總體參數符號表示樣本統計量均值之差比率之差方差比一、兩個總體均值之差的區間估計38華南理工大學精品課程1.假定條件兩個總體都服從正態分布，1２、2２已知若不是正態分布,可以用正態分布來近似(n130和n230)兩個樣本是獨立的隨機樣本2.使用正態分布統計量z一、兩個總體均值之差的區間估計（大樣本）39華南理工大學精品課程

3.1２，2２已知時，兩個總體均值之差1-2在1-置信水平下的置信區間為

4.1２，2２未知時，兩個總體均值之差1-2在1-置信水平下的置信區間為一、兩個總體均值之差的區間估計（大樣本）40華南理工大學精品課程【例】某市教育局想估計該市兩所中學的學生高考時的數學平均分數之差，為此在兩所中學獨立抽取兩個隨機樣本，有關數據如右表。建立兩所中學高考數學平均分數之差95%的置信區間

兩個樣本的有關數據

中學1中學2n1=46n1=33S1=5.8S2=7.2一、兩個總體均值之差的區間估計（大樣本）41華南理工大學精品課程解:兩個總體均值之差在1-置信水平下的置信區間為兩所中學高考數學平均分數之差的置信區間為5.03分~10.97分一、兩個總體均值之差的區間估計（大樣本）42華南理工大學精品課程1.假定條件兩個總體都服從正態分布兩個總體方差未知但相等：1２=2２兩個獨立的小樣本(n1<30和n2<30)總體方差的合并估計量2.估計量x1-x2的抽樣標準差一、兩個總體均值之差的估計(小樣本:12=22

)43華南理工大學精品課程兩個樣本均值之差的標準化兩個總體均值之差1-2在1-置信水平下的置信區間為一、兩個總體均值之差的估計(小樣本:12=22

)44華南理工大學精品課程【例】為估計運用兩種不同算法實現某模型所需計算時間的差異，分別對該兩種算法各計算12次，每次計算所需的時間（分鐘）下如表。假定兩種算法進行計算所需的時間服從正態分布，且方差相等。試以95%的置信水平建立兩種算法計算所需平均時間差值的置信區間兩種算法計算所需的時間算法1算法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.521一、兩個總體均值之差的估計(小樣本:12=22

)45華南理工大學精品課程解:根據樣本數據計算得合并估計量為：兩種方法計算所需平均時間之差的置信區間為0.14分鐘~7.26分鐘一、兩個總體均值之差的估計(小樣本:12=22

)46華南理工大學精品課程一、兩個總體均值之差的估計(小樣本:1222

)1.假定條件兩個總體都服從正態分布兩個總體方差未知且不相等：1２2２兩個獨立的小樣本(n1<30和n2<30)2.使用統計量47華南理工大學精品課程3.兩個總體均值之差1-2在1-置信水平下的置信區間為自由度一、兩個總體均值之差的估計(小樣本:12=22

)48華南理工大學精品課程【例】沿用前例。假定第一種算法隨機計算12次，第二種算法計算8次，即n1=12，n2=8，所得的有關數據如表。假定兩種算法計算所需的時間服從正態分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立兩種算法計算所需平均時間差值的置信區間兩種算法計算所需的時間算法1算法228.336.027.631.730.137.222.226.529.038.531.037.634.433.832.128.020.028.830.030.221一、兩個總體均值之差的估計(小樣本:12=22

)49華南理工大學精品課程解:根據樣本數據計算得自由度為：兩種算法計算所需平均時間之差的置信區間為0.192分鐘~9.058分鐘一、兩個總體均值之差的估計(小樣本:12=22

)50華南理工大學精品課程1.假定條件兩個匹配的大樣本(n130和n230)兩個總體各觀察值的配對差服從正態分布2.兩個總體均值之差d=1-2在1-置信水平下的置信區間為對應差值的均值對應差值的標準差一、兩個總體均值之差的估計(匹配大樣本)51華南理工大學精品課程3.假定條件兩個匹配的大樣本(n1<30和n2<30)兩個總體各觀察值的配對差服從正態分布

4.兩個總體均值之差d=1-2在1-置信水平下的置信區間為一、兩個總體均值之差的估計(匹配大樣本)52華南理工大學精品課程【例】由10名評委組成一個評估團，分別采用對A和B兩所中學的教學質量進行評估，評估結果如下表。試建立兩所中學評估分數之差d=1-2

95%的置信區間

10名評委對兩所中學的評分評委編號中學A中學B差值d17871726344193726111489845691741754951-27685513876601698577810553916一、兩個總體均值之差的估計(匹配大樣本)53華南理工大學精品課程解:根據樣本數據計算得兩所學校所得到的分數之差的置信區間為6.33分~15.67分一、兩個總體均值之差的估計(匹配大樣本)54華南理工大學精品課程1.假定條件兩個總體服從二項分布可以用正態分布來近似兩個樣本是獨立的2.兩個總體比率之差1-2在1-置信水平下的置信區間為二、兩個總體比率之差的區間估計55華南理工大學精品課程【例】在企業在對其生產產品的知名度調查中，在農村隨機調查了400人，其中32%的人聽說過該產品；城市隨機調查了500人，其中45%的人聽說過該產品。試以90%的置信水平估計該產品知名度在城市與農村差別的置信區間。二、兩個總體比率之差的區間估計56華南理工大學精品課程解:已知

n1=500，n2=400，p1=45%，p2=32%，

1-=95%，z/2=1.96

1-2置信度為95%的置信區間為城市與農村收視率差值的置信區間為6.68%~19.32%二、兩個總體比率之差的區間估計57華南理工大學精品課程三、兩個總體方差比的區間估計

1.比較兩個總體的方差比用兩個樣本的方差比來判斷如果S12/S22接近于1,說明兩個總體方差很接近如果S12/S22遠離1,說明兩個總體方差之間存在差異2.總體方差比在1-置信水平下的置信區間為58華南理工大學精品課程FF1-F總體方差比1-的置信區間方差比置信區間示意圖三、兩個總體方差比的區間估計（圖示）59華南理工大學精品課程【例】工商管理學院為了研究該院男女學生每年在書籍購買上花費的差異，在某年紀各隨機抽取25名男學生和25名女學生，得到下面的結果：男學生：女學生：試以90%置信水平估計男女學生每年購買書籍花費方差比的置信區間三、兩個總體方差比的區間估計60華南理工大學精品課程解:根據自由度

n1=25-1=24，n2=25-1=24，查得F/2(24)=1.98，F1-/2(24)=1/1.98=0.50512/22置信度為90%的置信區間為該學院男女學生每年購買書籍花費金額方差比的置信區間為0.47~1.84

三、兩個總體方差比的區間估計61華南理工大學精品課程一、估計總體均值時樣本容量的確定二、估計總體比率時樣本容量的確定三、估計總體均值之差時樣本容量的確定四、估計總體比率之差時樣本容量的確定第四節樣本容量的確定62華南理工大學精品課程估計總體均值時樣本容量n為樣本容量n與總體方差2、允許誤差E、可靠性系數Z或t之間的關系為與總體方差成正比與允許誤差成反比與可靠性系數成正比一、估計總體均值時樣本容量的確定其中：63華南理工大學精品課程【例】擁有工商管理學士學位的碩士畢業生年薪的標準差大約為5000元，假定想要估計年薪95%的置信區間，希望允許誤差為800元，應抽取多大的樣本容量？一、估計總體均值時樣本容量的確定

64華南理工大學精品課程解:已知=5000，E=800,1-=95%，z/2=1.96

應抽取的樣本容量為即應抽取150人作為樣本一、估計總體均值時樣本容量的確定

65華南理工大學精品課程1.根據比率區間估計公式可得樣本容量n為二、估計總體比率時樣本容量的確定

E的取值一般小于0.1

未知時，可取最大值0.5其中：66華南理工大學精品課程【例】根據以往的統計，某地天氣預報的準確率為90%，現要求允許誤差為5%，在求95%的置信區間時，應抽取多少次天氣預報結果作為樣本？解:已知=90%，=0.05，z/2=1.96，E=5%應抽取的樣本容量為應抽取139此天氣預報結果作為樣本。二、估計總體比率時樣本容量的確定

67華南理工大學精品課程設n1和n2為來自兩個總體的樣本，并假定n1=n2根據均值之差的區間估計公式可得兩個樣本的容量n為三、估計兩個總體均值之差時樣本容量的確定其中：68華南理工大學精品課程【例】某城市教育局想要估計該市重點高中和非重點高中兩所中學數學高考成績平均分數差值的置信區間。要求置信水平為95%，預先估計兩所高中數學考試分數的方差分別為：非重點高中12=90，重點高中22=120。如果要求估計的誤差范圍(允許誤差)不超過5分，在兩所中學應分別抽取多少名學生進行調查？三、估計兩個總體均值之差時樣本容量的確定

69華南理工大學精品課程解:已知12=90，22=120，E=5,1-=95%，z/2=1.96即應抽取33人作為樣本三、估計兩個總體均值之差時樣本容量的確定

70華南理工大學精品課程設n1和n2為來自兩個總體的樣本，并假定n1=n2根據比率之差的區間估計公式可得兩個樣本的容量n為四、估計兩個總體比率之差時樣本容量的確定其中：71華南理工大學精品課程【例】某市交通管理部門想