DEPARTMENTOFENGINEERINGMECHANICSKUST第四章

彎曲內力a)外力特征:受橫向載荷的作用，即外力或外力偶的矢量方向垂直于桿軸.

彎曲：以軸線變彎為主要特征的變形形式。§4-1彎曲的概念和實例b)變形特征:

桿件的軸線由直線變為曲線.梁：以彎曲變形為主要變形的桿件.c)平面彎曲:

如果作用于桿件上的所有外力都在縱向對稱面內，彎曲變形后的軸線也將位于這個平面內，這類彎曲稱為平面彎曲。對稱面彎曲的一些實例梁的簡化力學模型:通常使用軸線來表示梁的力學模型.

§4-2受彎桿件的簡化梁的支撐類型:1)固定端或夾緊支座2)鉸支座3)滾動支座靜定梁的三種類型:簡支梁的一端是鉸支座，另一端為滾動支座.1)簡支梁2)懸臂梁懸臂梁一端固定另一端自由.3)外伸梁載荷類型均布載荷集中載荷簡支梁q懸臂梁線性分布載荷載荷集度力偶qFM使用截面法計算彎曲內力FQM分割

選取替換平衡計算FQ和M.

FQ–稱為剪力

M–稱為彎矩FQ和M

即為彎曲內力§4-3剪力和彎矩彎曲內力的符號約定:彎矩的符號約定：剪力的符號約定:FQFQMM例4-1取1-1截面左邊的梁段，根據平衡條件計算FQ1和M1.qqLab1122懸臂梁受力如圖所示，計算1截面和2截面上的剪力和彎矩.解:

1求支反力xyqLFQ11M1x1MMFRMR2用截面法計算FQ1和M1取2-2截面左邊的梁段，根據平衡條件計算FQ2和M2.qqLab11223用截面法計算FQ2

和M2xyqLFQ22M2x2MMFRMR若取2-2截面右邊的梁段，計算FQ2和M2.qqLab1122xyFQ22M2x2MFRMRFRMR求彎曲內力的簡便方法:

1)任意截面上的剪力在數值上等于該截面左側或右側梁段上所有外力的代數和。截面左側梁段上向上的力或截面右側梁段上向下的力產生正剪力，反之產生負剪力。

2)任意橫截面上的彎矩在數值上等于該截面左側或右側梁段上所有外力對截面形心之矩的代數和。向上的力產生正彎矩，向下的力產生負彎矩。3)如果取截面的左邊梁段研究，則順時針轉向的力偶在截面上產生正彎矩；取截面的右邊梁段研究，則逆時針轉向的力偶在截面上產生正彎矩。反之產生負彎矩。§4-4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖描述內力的變化規律：（1）數學方法—剪力方程和彎矩方程；（2）幾何方法—剪力圖和彎矩圖。剪力方程：彎矩方程：內力方程以坐標(x,FQ)

和(x,M)表示剪力和彎矩沿軸線變化的圖線稱為剪力圖和彎矩圖。x

表示梁截面的位置。FQ和M分別表示剪力和彎矩的大小。解：

①計算約束反力.②寫出內力方程PYOL③根據方程畫內力圖.M(x)xFQ(x)FQ(x)M(x)xxP–PLMO例4-2

寫出梁的內力方程，并畫內力圖。畫內力圖的方法:

2)用簡便方法寫出距原點為x的任意橫截面上的剪力和彎矩，即為剪力方程和彎矩方程。3)根據內力方程確定圖線形式，將特征點相連即可得內力圖。

1)一般將梁的左端點定為x軸的原點，坐標指向右。FQ(x)xM(x)x–qL例4-3寫出梁的內力方程，并畫內力圖。解：

①寫出內力方程.②根據方程畫內力圖.LqxM(x)FQ(x)RARBL解：

①計算約束反力.②寫出內力方程.③根據方程畫內力圖.abAB例4-4圖示簡支梁受一集中力F作用，試作此梁的內力圖。CAC段：CB段：RARBL解：

①計算約束反力.②寫出內力方程.③根據方程畫內力圖.abAB例4-5圖示簡支梁受一集中力偶M作用，試作此梁的內力圖。CAC段：CB段：Mxdx考慮圖示受力情況的簡支梁，在任意位置x

選取微段dx

（微元）作為自由體。分布載荷方向向上為正。將平衡方程應用于自由體受力圖。q(x)FMdxq(x)FQFQ+dFQM(x)M(x)+dM(x)§4-5剪力、彎矩與分布載荷集度之間的微分關系根據微元的平衡條件略去二階小量。dxq(x)FQFQ+dFQM(x)M(x)+dM(x)因此可以建立載荷與剪力和彎矩間的微分關系：載荷與剪力和彎矩間的微分關系：反映在內力圖上：剪力圖上某點處的切線斜率等于該點處的載荷集度的數值；彎矩圖上某點處的切線斜率等于該點處的剪力的數值。以上關系可用下面的圖表表示外力無外力作用q=0q>0q<0剪力圖特點CFCmxFQFQ>0FQFQ<0x斜直線遞增函數xFQxFQ遞減函數xFQCFQ1FQ2FQ1–FQ2=F從左側向右側突降xFQC無變化斜直線xM遞增函數xM遞減函數曲線Mx下凹xM隆起由左到右的折角xM與F相同剪力、彎矩與外力之間的關系彎矩圖特點均布載荷集中力集中力偶水平直線右左到右突變下降MxM1M2內力圖的一些特點:

2)在集中力作用點，無限靠近的兩側橫截面上的剪力值不相等，即剪力圖不連續而發生突變，突變跳躍值等于集中力的數值。而彎矩圖卻是連續的。3)在集中力偶作用點，無限靠近的兩側橫截面上的彎矩值不相等，即彎矩圖不連續而發生突變，突變跳躍值等于集中力偶矩的數值。而剪力圖卻是光滑連續的。

1)無限靠近端部的橫截面上，剪力和彎矩在數值上等于作用在端部的集中力和集中力偶矩的數值。4)在均布載荷的端點處，剪力圖連續但不光滑，彎矩圖光滑連續。5)在彎矩的極值點處，剪力值為零，彎矩方程關于x的一階導數等于剪力方程。控制截面—內力遵循某一種作用規律的梁段的兩端以下可以作為控制截面

集中力作用點的兩側；

力偶作用點的兩側；

分布力作用段起始點和結束點的截面.確定變化范圍—使用控制截面解:

(1)計算控制截面上的內力qAaaqa例4-6

用直接作圖法畫出梁的內力圖.FQxqa2qa–xM左端：點A：右端：(2)根據微分關系畫內力圖.端點A：B點左側：B點右側：