3.2.3直線的一般式方程1.理解關于x,y的二元一次方程與直線之間的關系.2.明確直線方程一般式的特征,并能將一般式與其他形式的方程進行互化.3.能根據直線的一般式方程進行簡單的應用(求斜率、截距等).1.直線的一般式方程(1)關于x,y的二元一次方程，它都表示一條_____.(2)直線的一般式方程__________，其中A,B不同時為__，若A=0，則y=____，它表示一條與____平行或重合的直線；若B=0，則x=____，它表示一條與____平行或重合的直線.直線Ax+By+C=00x軸y軸2.直線方程的互化(1)直線的一般式Ax+By+C=0(B≠0),化為斜截式為____________;化為截距式為______________.(2)點斜式y-y0=k(x-x0),化為一般式為_______________;斜截式y=kx+b,化為一般式為_________;兩點式=,化為一般式為_____________________________________;截距式=1化為一般式為___________.kx-y-(kx0-y0)=0kx-y+b=0(y2-y1)x-(x2-x1)y+(x2-x1)y1-(y2-y1)x1=0bx+ay-ab=01.“判一判”理清知識的疑惑點(正確的打“√”，錯誤的打“×”).(1)坐標平面內的直線都可以用關于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A與B不同時為0)表示.()(2)任何一條直線的方程都可以轉化為一般式.()(3)直線Ax+By+C=0，在x軸上的截距為，在y軸上的截距為.()(4)若直線Ax+By+C=0與兩坐標軸都相交，則A≠0或B≠0.()提示：(1)正確.當A與B不同時為0時，二元一次方程Ax+By+C=0與平面內的直線是一一對應的.(2)正確.平面內的直線方程都可以寫成一般式.(3)錯誤.當A≠0且B≠0時，直線在x軸上的截距為，在y軸上的截距為.(4)錯誤.直線與兩坐標軸都相交，則A·B≠0，而不是A≠0或B≠0.答案：(1)√(2)√(3)×(4)×2.“練一練”嘗試知識的應用點(請把正確的答案寫在橫線上).(1)經過點(1,2),斜率為的直線的一般式方程為_________.(2)在y軸上的截距為2,且過點(-1,4)的直線的方程為_______.(3)方程2x-3y-1=0在x軸上的截距為____________;在y軸上的截距為_____________.(4)若直線-2x+ay+m=0的斜率為1,則a=___________.【解析】(1)由直線方程的點斜式，得y-2=(x-1)，整理得x+3y-7=0.答案：x+3y-7=0(2)因為在y軸上的截距為2，所以設直線方程為把點(-1,4)代入,得a=1，所以所求直線的方程為整理得2x+y-2=0.答案：2x+y-2=0(3)令x=0，得y=，令y=0，得x=，所以直線在x軸,y軸上的截距分別為,.答案：(4)因為直線-2x+ay+m=0的斜率為1，所以，所以a=2.答案：2一、直線的一般式方程探究：觀察圖象，思考下列問題：(1)坐標平面內的直線，都可以用關于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同時為0)表示嗎？提示：可以，坐標平面內的任何一條直線，都可以用關于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同時為0)表示.(2)坐標平面內的直線與關于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0是否為一一對應關系？提示：不構成一一對應.坐標平面內的直線都可以看成關于x,y的二元一次方程，且方程有無數個.但一個關于x,y的二元一次方程對應著唯一的一條直線.(3)對于直線的一般式方程Ax+By+C=0，當直線垂直于坐標軸時，A,B滿足什么條件？當C=0時，表示怎樣的直線？提示：當A=0,B≠0時，直線方程化為表示與y軸垂直的直線；當A≠0,B=0時，直線方程化為，表示與x軸垂直的直線；當C=0時，方程表示過原點的直線.【探究提升】對直線一般式方程的理解(1)表示形式Ax+By+C=0(A,B不同時為0),是關于x,y的二元一次方程.(2)A,B不同時為0,分三種情況：①A≠0,B≠0;②A≠0,B=0;③A=0,B≠0.(3)適用范圍：坐標平面內的任何一條直線.二、直線方程的互化探究1：已知直線l過點(2,0),(0,3)，思考下列問題：(1)能否寫出直線l的方程的五種形式？提示：能.直線l的斜率點斜式方程y-0=-(x-2)；斜截式方程y=-x+3；兩點式方程截距式方程一般式方程3x+2y-6=0.(2)直線的一般式方程與其他形式比較，有什么優點？提示：坐標平面內的任何一條直線，都可以用一般式表示，而其他形式都有一定的局限性.探究2：根據直線的一般式方程Ax+By+C=0，思考下列問題：(1)已知直線的一般式方程Ax+By+C=0，如何求直線的斜率？提示：若B≠0，直線方程可化為故直線的斜率為若B=0，則直線的斜率不存在.(2)直線Ax+By+C=0，在x軸,y軸上的截距是多少？提示：當A,B,C均不為0時，一般式方程Ax+By+C=0可化為此時在x軸,y軸上的截距分別為當A=0,B,C均不為0時，直線平行于x軸，此時在y軸上的截距為；當B=0,A,C均不為0時，直線平行于y軸，此時在x軸上的截距為【探究提升】1.五種直線方程的常數的意義與適用范圍名稱方程的形式常數的意義適用范圍點斜式y-y0=k(x-x0)(x0,y0)是直線上的定點,k是斜率不垂直于x軸斜截式y=kx+bk是斜率,b是直線在y軸上的截距不垂直于x軸名稱方程的形式常數的意義適用范圍兩點式(x1,y1),(x2,y2)是直線上兩定點不垂直于坐標軸截距式a,b分別是直線在x軸,y軸上的截距不垂直于坐標軸,且不過原點一般式Ax+By+C=0A,B,C為系數任何位置的直線2.直線方程的五種形式的兩點說明(1)點斜式、斜截式、兩點式、截距式均能直接化成一般式.(2)各種形式互化的實質是方程的同解變形.類型一直線的一般式方程嘗試解答下列題目,理解直線方程的一般式,并能夠利用直線的一般式方程解決有關問題.1.過點(2,-1)和(3,2)的直線的一般式方程為

.2.若方程(m2-3m+2)x+(m-2)y-2m+1=0表示直線,求實數m的范圍.【解題指南】1.根據直線方程的兩點式,寫出直線的兩點式方程,再化為一般式方程;或者設出直線方程的一般式,得出有關參數的方程組,從而得出直線的一般式方程.2.根據直線方程的一般式的條件求解.【解析】1.方法一：由直線方程的兩點式，可得直線的方程為整理得3x-y-7=0.方法二：設所求直線的方程為x+my+n=0，把點(2,-1),(3,2)代入,得解得所以所求直線的方程為整理得3x-y-7=0.答案：3x-y-7=02.由解得m=2,因為方程(m2-3m+2)x+(m-2)y-2m+1=0表示直線,所以(m2-3m+2)與(m-2)不同時為0，即m≠2.【技法點撥】直線的一般式方程的求法(1)利用題目條件求出直線的其他形式，再化為一般式.(2)設直線的一般式方程，若A≠0，則方程可設為只需確定若B≠0，則方程可設為只需確定【變式訓練】求滿足下列條件的直線的一般式方程.(1)斜率為4，在y軸上的截距為-2.(2)斜率是，且經過點A(5，3).【解析】(1)由直線方程的斜截式，可得所求直線的方程為y=4x-2，即4x-y-2=0；(2)由直線方程的點斜式，可得所求直線的方程為y-3=(x-5)，即x-y+3-5=0.類型二直線方程的互化嘗試解答下列題目，掌握直線方程的五種形式即各自的適用范圍，并能夠根據直線方程之間的聯系解決有關問題.1.在x軸,y軸上的截距分別為2,-3的直線的一般式方程為()A.3x+2y-6=0B.3x-2y-6=0C.3x+2y+6=0D.3x-2y+6=02.設直線l的方程(m2-2m-3)x+(2m2+m+1)y-2m+6=0，根據下列條件分別確定m的值：(1)l在x軸上的截距為-3.(2)l的斜率為1.【解題指南】1.根據截距式寫出直線的方程，再化成一般式.2.(1)令y=0得出l在x軸上的截距.(2)把直線方程的一般式化成斜截式，根據題中的條件得出關于m的方程，從而求出m的值.【解析】1.選B.由直線方程的截距式，可知所求直線的方程為整理得3x-2y-6=0.2.(1)令y=0，得所以=-3，解得m1=-,m2=3(舍去)，故當m=-時，l在x軸上的截距為-3.(2)直線l的方程可化為所以解得m1=-,m2=1，故當m=-或1時，直線l的斜率為1.【互動探究】把題2(1)“l在x軸上的截距為-3”改為“l在y軸上的截距為-3”，求m的值.【解析】令x=0，得所以解得故當時，l在y軸上的截距為-3.【技法點撥】直線方程互化的兩點說明(1)直線的一般式可以表示任何直線，但特征不明顯，解決問題時，把直線的一般式化成其他形式.(2)求直線的一般式方程，通常根據題中的條件求出對應形式的方程，再化為一般式.類型三直線一般式方程的應用嘗試解答下列題目,體會用直線的一般式解決直線位置關系的過程,歸納總結用一般式解決有關問題的方法.1.已知點A(2,2)與直線l：3x+4y-20=0,(1)過點A且與直線l平行的直線的方程為

.(2)過點A且與直線l垂直的直線的方程為

.2.已知直線l的方程為(m+1)x+y+2-m=0(m∈R),若直線l不經過第二象限,求實數m的取值范圍.【解題指南】1.根據兩直線平行與垂直時方程系數之間的關系設出含參數的直線方程,由題意得出參數的值,從而得出所求直線的方程.2.利用直線的斜率與截距的范圍,得出關于m的不等式組求解.【解析】1.(1)設所求直線的方程為3x+4y+c=0,因為點A(2,2)在直線上,所以3×2+4×2+c=0,所以c=-14,所以所求直線的方程為3x+4y-14=0.(2)設所求直線的方程為4x-3y+n=0,因為點A(2,2)在直線上,所以4×2-3×2+n=0,所以n=-2,所以所求直線的方程為4x-3y-2=0.答案：(1)3x+4y-14=0

(2)4x-3y-2=02.把直線方程(m+1)x+y+2-m=0化為y=-(m+1)x+m-2，因為直線l不經過第二象限，所以【技法點撥】與已知直線平行和垂直的直線的求法(1)當直線l1,l2平行時,若l1：Ax+By+C1=0,根據平行的等價條件,可設直線l2：Ax+By+C2=0,且C1≠C2.(2)當直線l1,l2垂直時,若l1：Ax+By+C1=0,根據垂直的等價條件,可設直線l2：Bx-Ay+C2=0.提醒：在解決有關直線平行與垂直的問題時,注意直線的斜率存在條件的討論.【變式訓練】已知直線l1：(a+2)x+(1-a)y-3=0與l2：(a-1)x+(3+2a)y+2=0,求下列情況下a的值.(1)直線l1,l2平行.(2)直線l1,l2垂直.【解析】(1)由l1∥l2得(a+2)·(3+2a)-(a-1)(1-a)=0,整理得3a2+5a+7=0,無解.(2)由l1⊥l2得(a+2)(a-1)+(1-a)·(3+2a)=0,解得a=±1.【拓展延伸】利用一般式直線方程判斷直線位置關系的方法若直線l1：A1x+B1y+C1=0l2：A2x+B2y+C2=0則：(1)當A1B2-A2B1≠0時,l1與l2相交.(2)當A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0時,l1∥l2.(3)當A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0時,l1與l2重合.(4)特別地,當A1A2+B1B2=0時,l1⊥l2.【拓展類型】定點直線系

嘗試解答下列問題,體會定點直線系的用法,并能夠利用定點直線系的有關結論解決有關問題.1.若直線mx-y+(2m+1)=0恒過一定點,則此定點是(

)A.(-2,1)B.(2,1)C.(1,-2)D.(1,2)2.求證：直線l：(k+1)x-y-2k-1=0恒過第一象限.【解題指南】1.利用直線的點斜式方程,求出直線恒過的定點.2.利用直線恒經過的定點證明結論.【解析】1.選A.把直線mx-y+(2m+1)=0,化為點斜式得y-1=m(x+2),所以直線過點(-2,1).2.方法一：直線l：(k+1)x-y-2k-1=0,化為點斜式得y-1=(k+1)(x-2),可知直線恒過點(2,1).而點(2,1)在第一象限,所以直線l恒過第一象限.方法二：把直線轉化為斜截式,得y=(k+1)x-(2k+1),①若k+1>0,則直線過第一象限;②若k+1=0,則k=-1,此時,直線的方程為y=1,過第一象限;③若k+1<0,則k<-1,-(2k+1)>1,即直線與y軸交于正半軸,所以直線過第一象限.綜上可知直線恒過第一象限.【技法點撥】證明直線過定點的方法(1)把直線的方程轉化為點斜式,從而得出直線恒過的定點.(2)將直線方程變形,把x,y看作參數的系數,利用此式對任意實數都成立,故需系數為0,解方程組可得x,y的值,即得直線過的定點.1.經過點A(-4,7),且傾斜角為45°的直線的一般式方程為

(

)A.x-y-11=0B.x+y-11=0C.x-y+11=0D.x+y+11=0【解析】選C.因為直線傾斜角為45°,所以直線的斜率k=1,所以直線的點斜式方程為y-7=x-(-4),整理得x-y+11=0.2.直線3x+y+6=0的斜率為k,在y軸上的截距為b,則(

)A.k=3,b=6B.k=-3,b=-6C.k=-3,b=6D.k=3