第3章山東交通學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研室3.4

曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)圖形的描繪3.4.1曲線的凹凸性與拐點(diǎn)3.4.2函數(shù)圖形的描繪1定義3.4.1在區(qū)間

I

上連續(xù),(1)則稱圖形在I上是(向上)凹的(或凹弧);(2)3.4.1曲線的凹凸性曲線經(jīng)過點(diǎn)凹凸性如果發(fā)生了改變,若x0是I的內(nèi)點(diǎn),(x0,

f(x0))時(shí),則稱點(diǎn)(x0,

f(x0))是該曲線的拐點(diǎn).若恒有若恒有圖形在I上是(向上)是凸的(或凸弧).定義3.4.2設(shè)函數(shù)則稱定理3.4.1(1)若在

(a,b)

內(nèi)則f(x)在[a,b]內(nèi)圖形是凹的;(2)若在

(a,b)

內(nèi)則f(x)在[a,b]內(nèi)圖形是凸的.設(shè)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),在區(qū)間(a,b)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù),則證明略.例1判斷曲線的凹凸性.解故曲線函數(shù)的定義域?yàn)楣是€在內(nèi),在內(nèi),在是凹的.在是凸的.拐點(diǎn)的嫌疑點(diǎn):二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).注定理3.4.2(拐點(diǎn)的必要條件)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)二階可導(dǎo),且點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn),則又如曲線故曲線

(0,0)

為曲線的拐點(diǎn).處二階導(dǎo)數(shù)不存在.在內(nèi),在是凸的.在是凹的.在內(nèi),2確定曲線y=f(x)凹凸性的一般步驟確定函數(shù)f(x)

的定義域;(1)以這些點(diǎn)(2)的凹凸性,從而判定曲線為界點(diǎn)將定義域劃分為若干個(gè)子區(qū)間.(3)并求出凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).求出使的點(diǎn)和不存在的點(diǎn),確定各個(gè)子區(qū)間內(nèi)的符號,對應(yīng)例2求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解令得故該曲線在及上是凹的,是凸的,為拐點(diǎn).凹凹凸函數(shù)的定義域?yàn)樵谏宵c(diǎn)

及對應(yīng)例3求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解令得故該曲線在及上是凸的,是凹的,為拐點(diǎn).凸凸凹函數(shù)的定義域?yàn)樵谏宵c(diǎn)

及是曲線y=f(x)水平漸近線.極值點(diǎn),1

影響函數(shù)圖形的關(guān)鍵因素(1)單調(diào)區(qū)間,凹凸區(qū)間,拐點(diǎn).水平漸近線若則(2)漸近線是曲線y=f(x)鉛直漸近線.鉛直漸近線若則是曲線y=f(x)斜漸近線.斜漸近線若則3.4.2函數(shù)圖形的描繪例

求曲線的漸近線.解是曲線的鉛直漸近線及又為曲線的斜漸近線.∴曲線無水平漸近線.2函數(shù)圖形的描繪步驟:

確定函數(shù)的定義域及特性求并求出列表判別各個(gè)部分區(qū)間的單調(diào)性及凹凸性,求漸近線;補(bǔ)充某些特殊點(diǎn),描繪函數(shù)圖形.為0和不存在的點(diǎn),(對稱性、周期性);這些點(diǎn)把定義域劃分為幾個(gè)部分區(qū)間;求出極值點(diǎn)和拐點(diǎn);(2)(3)(4)(5)(1)無對稱性及周期性.例1

畫出函數(shù)的圖形.解(2)(3)(極大)(拐點(diǎn))(極小)(4)補(bǔ)充點(diǎn)(5)作出圖形.(1)定義域?yàn)槔?

畫出函數(shù)的圖形.無對稱性及周期性.解(1)定義域?yàn)?2)得是函數(shù)的間斷點(diǎn).極大值間斷

極小值(3)(4)漸近線是曲線的鉛直漸近線是曲線的斜漸近線鉛直漸近線斜漸近線極大值間斷

極小值內(nèi)容小結(jié)

曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別拐點(diǎn)—連續(xù)曲線上的凹凸分界點(diǎn)在I上是凹的曲線在I上是凸的曲線

.曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點(diǎn)為提示:及