《概率論與數理統》習題及案選

擇

題單項選擇題以表事甲產品暢,乙種產品滯銷立件（（A種品滯,乙種產品暢銷（、乙兩產品均暢銷（“甲種產品滯銷或乙種產品暢"；“甲種產品滯"

).解：

‘甲種產品暢銷

‘乙種產品滯銷

A

‘甲種產品滯銷乙種產品暢銷選C。．設

A,C

是三個事件，在列各式中，不成立的是（).(A)

()

B

；（

(

B)

;（C）

AB

AB

;（

(

B)A(B)

.解：

A)BABBABB

A

A對。A

BBB

BBABABA

B不對A

BAB)(A

AB

對

選同理D對。．若當事件同發生時，事件必生則（

).（）（）

P(C)(A)()P(C)(A)()

;；（C）

P(C)()

;（D）

PC)B解:

ABP(C)PAB)BA選

BP()(B．設

P(P(AB)

，則

AB)

等于（）.（）

a

；B

c

；

(C）

a)

；（D）

b

。解ABP(((B)A

·151·

選B。．設A是個件，若

P(AB)

,（（）AB互相;

（）AB是可能事件；（C）

P(A或()

；（D）AB未必是不可能事件。解：

P(AB)

.

選D.．設事件

A

滿足

AB

,下列結論中肯定確的()。（）

A,

互不相;(B

A,B

相容；（C）

P(AB)A)()

；（D）

P(A)()

.解:

AB

,

相容

A不對AB

ABBAAB

B錯()

,

P(A)()

不一定為0

錯。P(A)(AAB)()

.

選．設

A(AB

，則（）（A),B互不相容；（B),B互為對立；（C）

A

不獨立；D)

A

相互獨立。解：

1

P()(AB)()(A)(AB)(A)P()(B)()(B)()(B)

P(AB)(1())(B)(1(A)()())P()(1())

PB2(BB)B(B)P)(A()

選．下列命題，正確的(

（A)若

P(A)則A是可能事件；(B）若

P(A

B))(B)，互相（若

P(A

B))，()()

;(D）

P(A)(A))

。解：A

B)(A(B)AB)PA))(A(B由

P(A)

，

A、B錯.只有當

B

時

P(A)(A)()

,否則不對。

選C.·152

．設

A

為兩個事件，且

則下列各式中正的是（（）

P(AB))

；（B）

P()(A)

；（C）

P(B|A()

；（）

P(B)(B)()

.解：

(AB)(A

選A。．

A

是兩個事件，且

P(A)()

；（）

P(A)()

；（B）

P(B)

，則有（）（C）

P(A(A)

;

（D)三者都不一定成.解：

P(A|B)

P(AB)P()

要與

PA

比較，需加條件

選．設

P(AP

且

A

AB|B|1

,則下列等式成立是（

).（）(|;2（P(AB)(B(A；21（(B)；1（PBA)PB|A)(ABA.122解：PB(|AA|(B)(B)1121AP(21P(A)P(A)A)(AB)()(A)21221

選B.解：

P{A

AB}|(AB)

得P(BAB)(AB)()12P()(B)可見

AB

AB(B(A

選B.．設事件

A

滿足

P(B|A

則（

).（）

是必然事件；（

P()

；（C）

P(A)

；（D)AB.解：

P(|A)

P(AB)P(A)

P()(A)(A()P(A)

選C.13設,B是兩個事件，且

A,

,下列選項必然成立的是(

）·153·

（）

P(A)(A|B

;）

P(A)(A|B)

；）

P(A))

；D

P(A)(A|B

。解：（或者：

P()()P(A|)()P()()()(B)0()AB,P(A(PB

選）．B)AA互不相則下列各式不一定正確的(2（）|;（）AA|B(A|B(A1（P(A|B)；(D)PA|B)。2解：P0A12

）P(|B)

P()P()

A對PA

A|B)AB)(AB(A|B122(AA|2

B對P(AB)P(AA|)(212A|(A|B2

AB)

錯P(1∴選

AB(A)(A)2

D對15．設

AC

是三個相互獨立事件，且

0()

，則在下列給定四對事件中不相獨立的是（）

與

；

）

與

；（

與

C

；（D）

與

C

.解

B)]ABC)()(B)P()(1((BPC)[1(A)(B()P))]P()(

)P(C)

A對P(ACC)P[(

)](AC)(AC)(C)(AC)(C)(AC)P(C)

與不立選B16．設

AC

三個事件兩兩獨，則

A,C

相互獨立的充分要條件是（

).（）

與

BC

獨立;

（

與

獨立；）

與

AC

獨立；

(D）

A

與

獨立·154

解：

AC

兩兩獨立，

若

A,C

相互獨立則必有P()()PB)C)()(BC)

與獨。反之，如與BC獨則(ABC)()P()(A)P()()

選AB,C

為三個事件且

A

相互獨立下結論中不正確的(

(A)若

PC)，與也立；（）若

P(C，則與B也獨立；（C）

P(C

，則

與

也獨立；（D）若B則A與也獨立。解：

PABP(APB),P

概率為1的件任何事件獨立ACBC也獨立AP[()][(C)B]()()()(ABC)(A

C(B)

B對。P[(]()ACAP(C)PAC)∴C對∴D也可舉反例18．一種零件的加工由兩道序組成第道工序的廢品率工序的廢品率為p，則該零件加工的成品率為（）（A)1；B1pp；1（C）ppp；(D）(1(1p).122解：品零件，Ai道序為品i2.iPA)A12A)(A)A)P((1p)(1)222∴選

，第二道．每次試驗成功的概率為

(0

，現進行獨立重試驗，則直到第次驗才取第次成功的概率為（）（）

C4(1)

;

（

C3p4(1p)6

；（C）

C4p4(1)

；（）

Cp3(1)6.解前9次得了次功∴第次才取得第4次功的概為p(1pp4(1)99∴選B．設隨機變的概率分布為

PX

，則·155·

（）（）為意正實數；（B)

;）

1；(D）1解:

(K)11

選。

b121．設連續型隨機變量的概率度和分布函數分別為下列各式正確的（）

f(和F()

，則（）

0f()

；（）

P(X)(x

；（C）

P(X)Fx

；（）

P(X)Fx

.解：

F(x)(x)(X

∴選．列函數可作為概率密度的是（）（）

f(,

；（）

f)

)

xR

；（C）

f(x

x2

,x0,

x0;（D）

xf(0,x解：A：

2

∴錯

0

0B

2)

x

[]2且

f(x)

1)

∴選．列函數中，可作為某個隨機變的分布函數的是（）.（）

F)

11

；

(B)

11F(x)arctanx2

；（C）

F(x)

(1),

xx·156

f()f()（D）

F(x

f(t)dt

，其中

f(t)

解：對A:

0(x)

，但

F(x)

不具有單調非減且

∴A不是.對B：

arctan22

∴

0(x)

。由是調非的∴

F(x)

是單調非減的.1111F()(22

.F(x)

具有右連續性。∴選B。24．設X,X是隨量,其分布函分別為Fx),()，為使22F(x)aFbFx)是一隨機變量的分布函數,在下列給定的各數值中應取（）.（A)

a

322,b；（B）a5533

；（C）

a

13,；(D）222

.解：

F(aF(bF2

，

F(

只有A滿足∴選A25．隨機變量X的概率密度為

f(f()(x),Fx)是的分布函數則對任意實

a

有

）（A)

F(

a

f()dx

;0（）

1F(2

a0

f()

；(C)

F()()

；（D）

F)F(

.解:

F(

f()dx

a

f

f

a

f)dx

a

f)dx

0

f(x)dx

a

f)dx1a122

a0

f)

0由

f()dx

0

f)dx

f()dx

f()dx

12∴選B26．隨機變量

XN2)

，其分布函數和率密度分別為

F(x)

和·157·

224224Xf(

，則對任意實數

x

，下列結論中成的是（）（）

Fx)()

；（）

f()(

;（

F)(1)

；（

F

。解：

X~(1,2

f()以x為稱軸對。P((F)(X))即∴選C。27．設N(4)設XP(p，則。）對任意實數；（p；2）p;（D只對個別值才有解:p(X

4)p2

，pY(5∴p∴選A~)則隨著

（or利對稱性）的增大概率P(|X

的值(

（）單調增大；B)調減少；（C）持不變；（）增減不定。解:

P

∴不隨變∴選C。．隨機變量的布函數為為）.（）;(B）X（C）F(D)55

，XF();XF(y)

的分布函數解：

F(y))Xy(XY∴選C.X5

15

(·158

YXY)YXY)

的概率密度為

f(x)

1(1x)

則

的概率密度(

11（）；B）;(1y2))2（C）

2y

)

；（

2(1y

)

.解:

yF)Yy)(21f()f2y)

∴選C。．隨機變量與Y相獨，概率分布分別為XP

111P22則下列式子正確是（）（）

;

（

P(X)

；（C）

P(X

12

；（D）

(X)

。解A顯不對。

()(YPXY((Y(∴選C。

11111222．

X~

，且

與

相互獨立，(

）（）

P(

12

；（B）

P

12

；（C）

(X0)

1；）P22

.解:

XNY

且獨立∴

~PX((0)．隨機變量

12

∴選B。Xi

1

0111,i24且滿足

P(2

，則

PX)

()·159·

11（）0（B）1/4；（）；

解:

2i

01010114

∴

P(0)1P(XX)P(X(X(1212∴選。隨機變量

取非負整數

P)

n

(

,

a

的值為（）.）

5；（B）2

；（C）

32

；（5解：

1EX

na

ana

a

)

a(X

X

X

(1)

2∴

a)

0,a

32

,

a

.∴

a

352

.

∴選．連續型隨機變量的分布函數為1F()

則X數學期望為·160

）；（）；（）；（D8/3.解:

xf()xx∴選C.

4x

dx1dx)x31知

XB(n,),EX2.4,DX1.44

,則二項分布的參數（A)

0.6

;

（B）

n0.4

；）

n

；（D）

n24,

。解：1.440.6p1.44∴選

n37．已知散型隨機變量

的可能值為

xx23

,且EX0.1,

,則對應于

xx的概率pp12

為（）.（A)

p0.523

pp0.1,123

；（C）

p0.5,p2

D

p0.5.2解：

0.1p1DXEX)2EX

2

(0.1)

2

0.9p1

~

0.4∴選A.X(2,1),(,且,獨立，記ZY．設__________.

,則）

1)

；B

1)

；（

13)

；（）

N(1,

。解:

X(2,1)Y(1)

且獨立∴

Y.DZDXDY

。又獨立正態變量線性組合仍為正態變量，∴∴選C。

Z~(2,13)

X(2,9),~N(2,1),EXY)

則

D(X)

之值·161·

31123112（A）（）6;（C；（D）解：

D()X)

，cov(X)EXYD()

。∴選B．隨機變量的方差存,則).（A)

(EX)

EX

；B

()

EX

；（C）

()2EX

;(D

(EX)2

.解：

DX

2

)

2

EX

2

EX)

2

.

∴選。41．設X,X相互立且均服從參數為的泊松分布，令11Y(XXX)則的學望為（11）;（B）；（C（）333

。解:

XX獨立(23

)

(XX)~P(312

)(XX)D(X)12311[(X)](X)33EY

2

2

2

∴

EY

2

3

∴選C.．Y的方差在，且

EXYEXEY

，則（）.（A）

DXY)

；（B）

D()DY

；(C）

與

獨立；（

與

不獨立解：

D()DYX,)DXEXYEXEYDX

∴選B43．若隨機變量X滿足()(，且DXDY必有（）（）

獨立；

(B）

,

不相關；（

DY

;

（D）

D(XY)

。解：

D()(X)Y),Y

不相關。∴選B.44．設

的方差在，且不等于，則

D()DY

是·162

以概率以概以概率以概率

(

））不相關的充分條件，但不是必要條件；（獨的必要,但不是充分條件；不相關的必要條件，但不是充分條件；（獨的充分必要條件。解：

D)DXDY,

X與Y不相關∴

D()DY

是不相關的充要A、C不對.由獨立

D(X)

，反之不成立∴選。．Y的相關數

XY

，則（）（A）

與

相互獨立；B

與

必不相;存在常數

a,

使

PY)

;（D）存在常數

a,

使

P(aX2)

.解：

XY

存a,使P(YaX)∴選C.．如果存在數

ab(0)

，使

PY)

，且

0

,那么

的相關系數為（）1（）–；（C)

；（D)

。解：

cov(,)aX)cov(,X)aDXDY

2

XDY

以概aDXa|a|a|

，以概率成立。∴選。．二維離散型隨機變量

()

的分布律為

Y012

00

1

20則)。）X不獨；

(B),Y獨；）

不相關；（D）

獨立且相關。·163·

nn解：

P(P(X(0.10.05P(YP(P(0)∴48．

與

不獨立。∴選A.為連續型隨機變，方差存在，則對任意常數

和

，必有(

）（）（）（C）

P(|P(|P(|

)X|/)|)|

；；；(D)

P/

.解：

P(|X

|X

f()

|X

|

f(x)

|f()

|∴選49．設隨量的差為，則根據夫不等式，有P(|EX

(

（）

0.25

；B

0.75

；（）

0.75

；（D)

0.25

.解：

(|XEX10)

DX

2530.75100∴選。．X,為立隨機變量序列，且服從參數為的泊松分，ii，（(A)

nilim)

；(B）當

n

充分大時，

i

近似服從標準正分布；i（C）

n

充分大時，

i

近似服從

(n

；i·164

iXiniiXiniXinii1（D）當n充分大時，

Px))ii

.解由立同分中心極限定理

n

X

i

近似服從

(in∴選C51．則).

XX,

為獨立隨機變量列，且均服從參數為的指數分布，n（）lim)n/

;i（）limP)

;n（C）limP)1/

；ni（D）).解:

11niiii11nnX由中心極限定理limP1xP)nn∴選

。52．設

X,12

4

是總體

N(

)

的樣本已，2未，則不是統計量的是（）·165·

iii4iiii4i（）

XX

;

（B）

i

；i(C)

X

；（D)

i

。i統計量是不依賴任何未知參數的連續函數。∴選。總體

X~(1,p),X

X為來自的樣本

kn

（).（）p；（B)1;（C）

k

pk(1)

；D）

k

p)

k

p

.解:

XX12

n

相互獨立且均服

Bp)

故

~(,)i即

B(np)

則

P(X

kn

i)(nX)

k

p(1)

∴選。

X,X,是體(0,1n

的樣本，X和分別為樣本的均值和樣本標準差則（）（A)

X/S~n

；

(B)

XN1)

;（

(nS2

(n

；D

t(

.解:

1nXni

i

EX

，

DX

11n(0,)n2nn

B錯

(n

~

(n

(12

S2~

(XS

n~(n

。∴A錯∴選。55．

X,12

,是總體N(n

)

的樣本，

X

是樣本均值，記

S1n1