大連理工大學材料學院鑄造工程研究中心315室Tel:84709400實驗設計與數據處理盧一平E-mail：luyiping@課程設置的意義-前沿

顧名思義，“實驗設計與數據處理”課程是關于實驗前的設計理論、知識、方法、技能，以及實驗后對實驗數據進行科學處理的理論、知識方法與技能的課程。開設本課程的意義：材料學科的特點-必要性材料學科的畢業生去向：絕大多數學生生畢業后去大型科技企業，研究所、大學等科研學術機構，繼續從事科研技術研發方面的工作。

材料學科特點：需要常常做實驗，確定最佳的技術工藝條件，獲得最佳的產品配方及對產品性能進行優化。幾乎所有專業都開設了實驗設計與數據處理這門課，是必修課可見其重要性課程度的性質：試驗設計方法是一項通用技術，是當代科技和工程技術人員必須掌握的技術方法。課程的任務：讓學生熟悉并掌握近代最常用、最有效的幾種優化試驗設計方法的基本原理及其應用。什么叫做（優化）試驗設計方法？把數學上優化理論、技術應用于試驗設計中，科學的安排試驗、處理試驗結果的方法。采用科學的方法去安排試驗，處理試驗結果，以最少的人力和物力消費，在最短的時間內取得更多、更好的生產和科研成果的最有效的技術方法。優化試驗設計方法起源上世紀30年代，由于農業試驗的需要，費歇(R.A.Fisher)在試驗設計和統計分析方面做出了一系列先驅工作，從此試驗設計成為統計科學的一個分支。上世紀40年代，在二次世界大戰期間，美國軍方大量應用試驗設計方法。隨后F.Yates,R.C.Bose,O.Kempthome,W.G.Cochran,D.R.Cox和G.E.P.Box對試驗設計都作出了杰出的貢獻，使該分支在理論上日趨完善，在應用上日趨廣泛。50年代，日本統計學家田口玄一將試驗設計中應用最廣的正交設計表格化，在方法解說方面深入淺出為試驗設計的更廣泛使用作出了眾所周知的貢獻。我國優化試驗設計方法60末期代，華羅庚教授在我國倡導與普及的“優選法”，如黃金分割法、分數法和斐波那契數列法等。數理統計學者在工業部門中普及“正交設計”法。70年代中期，優選法在全國各行各業取得明顯成效。1978年，七機部由于導彈設計的要求，提出了一個五因素的試驗，希望每個因素的水平數要多于10，而試驗總數又不超過50，顯然優選法和正交設計都不能用，隨后，方開泰教授（中國科學院應用數學研究所）和王元院士提出“均勻設計”法，這一方法在導彈設計中取得了成效。優化試驗設計試驗設計在科學研究中的地位與意義：試驗設計方法是一項通用技術，是當代科技和工程技術人員必須掌握的技術方法。科學地安排實驗，以最少的人力和物力消費，在最短的時間內取得更多、更好的生產和科研成果。簡稱為：多、快、好、省。可應用于：提高試驗效率、優化產品設計、改進工藝技術、強化質量管理。試驗設計在工業生產和工程設計及科學研究中能發揮重要的作用，例如：提高產量減少質量的波動，提高產品質量水準大大縮短新產品試驗周期降低成本延長產品壽命多用在化工、電子、材料、建工、建材、石油、冶金、機械、交通、電力……第一部分優選法

典型事例1：長征3號火箭定型試驗，新研制的火箭，要檢測其安全性穩定性。通過高超設計的實驗方案及數據處理技術，不及蘇聯及美國一半的試驗次數就完成了定型試驗，大大節省了財力、物力和時間。在材料研究過程中，廣泛使用實驗手段去探求和掌握研究對象的規律，材料工藝開發過程更是這樣。面對大量的實驗工作報，除了有關的專業知識和文獻信息之外，還必須有一套科學的實驗設計方法，才能花費盡量少的力氣，獲取最多的信息。經過設計的實驗，效果大大提高，與不經過設計的實驗相比，情況大不相同。典型事例2：高熵多主元合金的研發與制備。例如：Al100Co100Cr100Cu100Fe100Ni100合金系的成分優化與設計。0~100之間，怎么設計與處理？典型-案類1.1單因素問題的優選法優選法：根據生產和科研中的不同問題，利用數學原理，合理地安排試驗點，減少試驗次數，以求迅速地找到最佳點的一類科學方法。如果只考慮改變對目標影響最大的某個因素，而其他因素保持不變，就是單因素問題的優選方法。適用于：試驗指標與因素間不能用數學形式表達(數據發散無數學規律）表達式很復雜（未知數的N次方大于3以上）1.1.1黃金分割法黃金分割點是誰發現的？，它是古希臘著名哲學家、數學家畢達哥拉斯。黃金分割法的應用領域有哪些？繪畫、雕塑、音樂、建筑、藝術、管理、工程設計等領域都有應用。請舉例。1.1.1黃金分割法基本命題試驗指標f(x)是定義區間(a，b)的單峰函數用盡量少的試驗次數，來確定f(x)的最大值的近似位置

x1x2abx3x4abxx變量取值是任意的若x1<x2<x，有f(x1)<f(x2)<f(x)，若x<x3<x4，有f(x4)<f(x3)<f(x)，則f(x)最大則稱：f(x)為[a,b]上的單鋒函數，反之稱為單谷函數，單峰單谷函數統稱單極值函數。峰值點稱為極值點，最大值點和最小值點稱為最優點黃金分割法，亦稱0.618法，0.618是：

在一般情況下，通過預實驗或其它先驗信息，確定了實驗范圍[a，b]，可以用黃金分割法設計實驗，安排實驗點位置。黃金分割法，是把第一個實驗點安排在實驗范圍距左端點a為區間全長的0.618處。第一個實驗點X1=a＋（b－a）×0.618第二個實驗點X2=b－（b－a）×0.618或X2=大+小－中（中指已經做過的試驗點）

比較試驗結果y1=f(x1)和y2=f(x2)的大小。如果f(x1)大，就去掉(a，x2)部分，留下的范圍里形成新的含優區間(x2，b)繼續試驗。

例：要熔煉某種鋼，為了提高其強度而加入某種微量元素，含優區間為[1000,2000]。為了尋求最大值點，分別在x1點和x2點做二次試驗，其中：x1=a＋(b－a)×0.618=1000+(2000-1000)×0.618=1618克x2=b－(b－a)×0.618=2000－(2000-1000)×0.618=1382克然后把加入量1618g和1382g的實驗結果進行比較，如果x2點的強度大于x1點的強度，則把x1~b部分去掉，在余下的空間里又形成了一個縮小的含優空間[a,x1]。繼續試驗再求下一個試驗點x3。x3=x1－(x1－a)×0.618=1618－(1618-1000)×0.618=1236克再比較x3和x2點的強度，若x2點的強度大于x3點的強度，則把a~x3部分去掉，在余下的[x3,x1]區間繼續求另一個對稱點x4=1472克？。再對x2和x4進行比較，如此不斷縮小含優區間，直到獲得滿意的結果。x2x1abx3x18法的數學依據和來源2000多年前,古希臘雅典學派的第三大算學家歐道克薩斯首先提出黃金分割。美國J.基弗在1953年首先提出0.618法。中國的數學家華羅庚推廣了優選法在工廠和企業的大規模應用。為什么選0.618，又為什么是對稱取點？假設第一個試驗點取在含優區間[a,b]內的x1點位置是合適的，則x1在[a,b]內應有合適的比例位置：(1-1)為了知道x1的好壞，根據對等原則必須再選對稱的選一個點x2x2-a=b-x1(1-2)假定x2比x1好，余下的含優區間為[a,x1],則應滿足：(1-3)(1-4)聯立(1-2)和(1-3)式子，即滿足聯立方程：解方程(1-4)，有：因為x1是[a,b]內的點，x2是[a,x1]內的點，所以可知0<1.1.3分數法

1202年，意大利數學家斐波那契（Fibonacci）出版了他的「珠算原理」。他在書中提出了一個關于兔子繁殖的問題：

如果一對兔子每月能生一對小兔（一雄一雌），而每對小兔在他出生后的第三個月里，又能開始生一對小兔，假定在不發生死亡的情況下，由一對出生的小兔開始，50個月后會有多少對兔子？在第一個月時，只有一對小兔子，過了一個月，那對兔子成熟

了，在第三個月時便生下一對小兔子，這時有兩對小兔子。再過一個多月，成熟的兔子再生一對小兔子，而另一對小兔子長大，有三對小兔子。如此推算下去，我們便發現一個規律：

時間（月）初生兔子（對）成熟兔子（對)兔子總數（對）22

有一些實驗的試驗點只能取整數，不可能是0.618的倍數，也有的實驗預先規定了實驗的總次數，這個時候運用分數法比0.618法更方便。這個數值稱為黃金分割比，它正好是方程式x2+x-1=0的一個根利用這個數列，建立起的分數實驗數據如表2所示分數法的具體使用例子1：卡那霉素發酵液生物測定，當培養溫度為37±1度時，培養時間在16小時以上，為縮短培養時間，決定優選培養溫度，試驗范圍定在29<T≤50度，精確度要求±1度。由給出的條件可知，測量溫度應以整數溫度為宜，因此用分數法安排實驗。中間試驗點共有20個，見圖3先選第1個試驗點13/21即42度處,第2個試驗點選在與第一個試驗點對稱的8/13試驗點即37度處，如第1個試驗點比第2個試驗點用時少，則去掉8號以下的溫度區間，然后在8號至21號新含優區間內找1點的對稱點為16號3點，經比較1點培養時間比3點短，去掉16號以上的溫度區間，再找1點的對稱點位4點，經過比較試驗，1點好于4點，把含優區間縮小至11號至16號區間，再找到1號的對稱區間5號點，經過試驗確定試驗溫度42-43度較好，只需要8-9小時培養時間。分數法的具體使用例子2：選擇一個電阻，調試電器設備的線路。調試著手里只有幾種阻值不等的電阻，阻值分別為0.5,1.0，1.3,2.0，3.0,5.0,5.5（千歐）等七種，要求優選一個合適的電阻。首先把這些電阻由小到大順序排列并編號如下圖4。阻值(KΩ)0.51.01.32.03.05.05.5排列012345678為了使試驗點適于分數法的某一分數值，我們在該排列兩端增加虛點，（0）,（8），這樣第一個試驗點就可以選在（5）這個點了，第二個試驗點選在（5）的對稱點（3）這個點，如此下去就可以找到較好得點。問題1？如果是9個實驗數據咋辦？問題2？如果是19個實驗數據咋辦？1.1.4均分法、對分法、0.618法、分數法的精確度從一次試驗的結果就可以判斷效果的好壞并把存優范圍縮小。如檢查導線何處斷路，管道何處堵塞或斷裂，蒸饅頭放多少堿既不酸又不黃都屬于這種情況。在這種情況下可采用對分法。

對分法每做一次試驗可以把存優范圍縮短一半，n次試驗后范圍縮短為原來因素范圍的(0.5)n，比黃金分割法要快。但并不是所有的問題都能采用對分法。

有人證明了，在不能采用對分法的情況下，黃金分割法是最好的對分法：案例1查找輸電線路故障這種操作比較簡單，選試點的方法是單一的選取中點。這一類試驗問題的特點是有已知的試驗標準，且能根據一次試驗的結果確定下次試驗的選擇方向。均分法：均分法是把含優區間均勻分成若干等分，并在每一份上進行試驗，同時對各分點的實驗結果進行比較，選出極限值。n均分法0.618法分數法平分法Ln=n+1Ln=1/(0.618)nLn=Fn+1Ln=2n121.61822894755256141584398716384202115127177111048576四種方法的搜索精度對比，可見均分法搜索效率最低，平分法(對分法）最高1.2分批試驗法前面1.1介紹的幾種優選法都屬于序貫試驗法，是根據前面的試驗結果再安排后面的試驗，其優點是總試驗次數很少。但是，在有些情況下做完一個試驗要較長時間才能得到試驗結果，這樣采用序貫試驗法要很長時間才能最終完成試驗。另外，在有些試驗中，做一個實驗的費用和做幾個試驗的費用相差無幾，此時我們也希望同時做幾個試驗以節省費用。有時為了提高試驗結果的可比性，也要求在同一條件下同時完成若干個試驗。在上述這些情況下，就要采用分批試驗法。分批試驗法可分為均分分批試驗法和比例分割分批試驗法兩種。1.2.1均分分批試驗法

分批試驗法就是每批試驗均勻地安排在試驗范圍內。例如，每批做四個試驗，我們可以將試驗范圍均勻地分為五份，在其四個分點想x1,x2,x3,x4處做四個試驗。然后同時比較四個試驗結果，如果x3好，則去掉小于x2和大于x4的部分。然后在留下的x2–x4范圍內再均分六等分，在未做過試驗的四個分點上再做四個試驗，這樣進行下去，就可獲得最佳點。用這個方法第一批試驗后范圍縮小為2/5，以后每批試驗后都縮小為前次范圍的1/3。見圖。

圖每批做四個試驗的均分分批法示意圖

對于一批做偶數個試驗的情況，均可仿照上述方法安排試驗。假設做2n個試驗（n為任意整數），則可將試驗范圍均分為2n+1份，在2n個分點x1,x2,…,x2n上做2n個試驗，如果xi最好，則保留（xi-1-xi+1）部分作為新的試驗范圍，將其均分為2n+2份，在未做過試驗的2n個分點上在做試驗，這樣繼續下去，就能找到最佳點。用這個方法，第一批試驗后范圍縮小為2/(2n+1)，以后每批試驗都是將2n個試驗點均勻地安排在前一批試驗好點的兩旁，試驗后范圍縮小為前批試驗范圍的1/(n+1)。1.2.2比例分割分批試驗法

這種方法是將試驗點按比例地安排在試驗范圍內。當每批做偶數個試驗時，我們可采用