第三章應力分析與應變分析3.1應力與點的應力狀態3.1.1六個基本假設3.1.2外力3.1.3應力和內力3.1.4點的應力狀態3.1.5張量與應力張量2/5/202313.1應力狀態基本概念金屬塑性加工是金屬與合金在外力作用下產生塑性變形的過程，所以必須了解塑性加工中工件所受的外力及其在工件內的應力和應變。本章講述變形工件內應力狀態的分析及其表示方法。這是塑性加工的力學基礎。2/5/20232型鋼軋制2/5/20233軋輥的斷裂2/5/20234錘鍛過程2/5/20235飛機蒙皮的成形破裂起皺能否一次成形，用什么樣的模具?變形量是否滿足要求（厚度減薄量等）?

要想定量的研究變形過程，建立理論公式，在研究塑性力學行為時，必須采用一些假設。FF2/5/202363.1.1六個基本假設（1）連續性假設。變形體內均由連續介質組成，即整個變形體內不存在任何空隙。這樣，應力、應變、位移等物理量都是連續變化的，可化為坐標的連續函數。

（2）勻質性假設。變形體內各質點的組織、化學成分都是均勻且相同的，即各質點的物理性能均相同，且不隨坐標的改變而變化。（3）各向同性假設。變形體內各質點在各個方向上的物理性能、力學性能均相同，也不隨坐標的改變而變化。（4）初應力為零假設。物體在受力之前是處于自然平衡狀態，即物體變形時內部所產生的應力僅由外力引起。（5）體積力為零假設。體積力如重力、磁力、慣性力等與面力相比十分微小，可忽略不計。（6）體積不變假設。

物體在塑性變形前后體積不變。2/5/20237在塑性理論中，分析問題需要從靜力學、幾何學和物理學等角度考慮。靜力學角度是從變形體中質點的應力分析出發、根據靜力平衡條件導出應力平衡微分方程。幾何學角度是根據變形體的連續性和勻質性假設，用幾何的方法導出小應變幾何方程。物理學角度是根據實驗和基本假設導出變形體內應力與應變之間的關系式，即本構方程。此外，還要建立變形體由彈性狀態進入塑性狀態并使繼續進行塑性變形時所具備的力學條件，即屈服準則。2/5/202383.1.2外力塑性成形是利用金屬的塑性，在外力作用下使其成形的一種加工方法。作用于金屬的外力分為兩類：面力或接觸力：作用于金屬表面的力，可以是集中的，但一般是分布的力。體積力：作用在金屬物體的每個質點上的力。2/5/202391.面力作用力塑性加工設備的可動工具部分對工件所作用的力，用于使金屬坯料產生塑性變形，又稱主動力。可以實測或理論計算，用于驗算設備強度和設備功率。在不同的加工工序中，可以是壓力、拉力或剪切力。反作用力一般情況下，作用力與反作用力互相平行，并組成平衡力系。摩擦力沿工具和工件接觸面切向阻礙金屬流動的力，其方向平行于接觸面，并與金屬質點流動方向或流動趨勢相反。摩擦力最大值不應超過金屬的抗剪強度。摩擦力的存在往往會引起變形力的增加，對金屬的塑性往往是有害的。正壓力沿工具和工件接觸面法向阻礙工件整體移動或金屬流動的力，其方向垂直于接觸面，并指向工件。2/5/2023102/5/2023112.體積力體積力是與變形體內各質點的質量成正比的力，如重力、磁力和慣性力等。對于一般的塑性成形過程，由于體積力與加工中的面力比較起來要小的多，在實際工程計算中一般可以忽略。但在高速加工時，如高速錘鍛造、爆炸成形等，金屬塑性流動的慣性力應該考慮。如錘上模鍛時，坯料受到由靜到動的慣性力作用，慣性力向上，有利于金屬充填上模，故錘上模鍛通常形狀復雜的部位設置在上模。2/5/2023123.1.2外力外力體積力面力重力慣性力電磁力特點：分布在物體體積的外力，它作用在物體內部的每一個質點上特點：分布在物體表面的外力……作用力（主動力）反作用力約束反力摩擦力正壓力2/5/2023133.1.3內力和應力內力：在外力作用下，物體內各質點之間產生的相互作用的力。應力：單位面積上的內力。2/5/202314S為截面C-C上點Q的全應力。全應力為矢量，可分解成兩個分量，一個垂直于截面C-C，即C-C截面外法線N上的分量，稱為正應力，一般用σ表示；另一個平行于截面C-C，稱為切應力，用τ表示。則：2/5/202315若將C-C截得的下半部分放在空間直角坐標系oxyz中，使C-C截面垂直于某坐標軸，如y軸，即C-C截面外法線方向N平行于y軸，則過Q點的微分面稱為y面。將Q點的全應力S在三個坐標軸上的投影稱為應力分量。每個應力分量可用兩個下角標的符合表示，第一個角標表示該應力分量所在的平面，第二個下角標表示其作用方向。2/5/2023161.單向受力下的應力及其分量

一點的應力向量不僅取決于該點的位置，還取決于截面的方位。過試棒內一點Q并垂直于拉伸軸線橫截面C-C上的應力為：若過Q點做任意切面C1-C1，其法線N與拉伸軸成θ角，面積為F1。由于是均勻拉伸，故截面C1-C1上的應力是均布的。此時截面上Q點的全應力Sθ、正應力σθ、切應力τθ分別為：在單向勻速拉伸條件下，可用一個σ0來表示其一點的應力狀態，稱為單向應力狀態。2/5/2023172.多向受力下的應力分量（1）應力分量的提出

設在直角坐標系中有一個承受外力的物體，物體內有一個質點Q，現在圍繞Q點切取一個矩形六面體作為單元體，六面體的棱邊分別平行于坐標系的三根坐標軸。取六面體中三個互相垂直的表面作為微分面，各個微分面上的全應力都可以按坐標軸方向分解為一個正應力和兩個切應力，三個微分面共有九個應力分量，其中三個正應力分量，六個切應力分量。可以用這九個應力分量來表示物體內點的應力狀態。2/5/2023182.多向受力下的應力分量（2）應力分量的表示為了清楚的表示各個微分面上的應力分量，我們給三個微分面命名為：X面、Y面、Z面；讓每一個應力分量都帶上兩個下標，第一個下標表示應力分量的作用面，第二個下標表示應力分量的作用方向。所以，九個應力分量可以表示為：

可以看出，兩個下標相同的應力是正應力，如σxx，一般寫成σx的形式；兩個下標不相同的是剪切應力，如τxy。2/5/2023192.多向受力下的應力分量（3）應力分量的正、負方向規定應力分量的正、負按以下方法確定：在單元體上，外法線指向坐標軸正向的微分面叫做正面，在正面上，指向坐標軸正向的應力分量取正號，指向負向的取負號；相反的，外法線指向坐標軸負向的微分面叫做負面，在負面上，正向坐標軸正向的應力分量取負號，指向負向的取正號。按照這個規定，正應力分量以拉為正，壓為負。2/5/2023202.多向受力下的應力分量（4）剪應力互等定律

由于單元體是處于靜力平衡狀態，所以繞單元體各軸的合力矩必須等于零，由此可以得到如下的關系式：這個式子叫做剪應力互等定律。它表明了：為了保持單元體的平衡，剪應力總是成對出現。因此，實際上只需六個應力分量就可以表示點的應力狀態。即九個應力分量只有六個是獨立的。2/5/2023213.1.4點的應力狀態點的應力狀態：指受力物體內一點任意方位微分面上所受的應力情況。只有了解變形體內任意一點的應力狀態，才能推斷整個變形體的應力狀態。要想了解一點的應力狀態必須知道過該點任意截面上的應力分布。但是過該點的截面有無窮多個，我們沒有辦法一一列舉。為此必須采用其他方式進行描述。若已知過一點的三個相互垂直的微分面上的九個應力分量，如何求得過改點任意微分面上的應力分量？2/5/2023223.1.4點的應力狀態已知某個坐標系中Q點的三個互相垂直的坐標面上的九個應力分量。現過Q點作一個任意斜切微分面ABC，這樣就組成一個微小四面體QABC。外法線方向為N，則這個斜面與三個坐標軸x、y、z的方向余弦分別為：l=cos（N，x）；m=cos（N，y）；n=cos（N，z）。假設斜面ABC面積為dF，則dF在三個坐標面上的投影面積分別為：dFx=ldF；dFy=mdF；dFz=ndF2/5/2023233.1.4點的應力狀態現設斜面上的全應力為S，它在三個坐標軸方向的分量分別為Sx，Sy，Sz，由于四面體QABC處于平衡狀態，由靜力平衡條件由∑Fx=0，∑Fy=0，∑Fz=0即有：

SxdF–σxdFx–τyxdFy–τzxdFz=0SydF–σydFy–τxydFy–τzydFz=0SzdF–σzdFz–τyzdFy–τxzdFz=0整理得：或2/5/2023243.1.4點的應力狀態全應力：全應力S在法線N上的投影就是斜微分面上的正應力σ，它等于Sx，Sy，Sz在N上的投影之和，即：斜切微分面上的切應力為：2/5/202325綜上可知，變形體內任意點的應力狀態可以通過該點且平行于坐標面的三個微分面上的九個應力分量來表示。或者說，通過變形體內任意點垂直于坐標軸所截取的三個相互垂直的微分面上各應力已知時，便可確定該點的應力狀態。

2/5/202326應力邊界條件方程如果該四面體素的斜面恰好為變形體的外表面上的微面素，并假定此面素單位面積上的作用力在坐標軸方向的分力分別為px、py、pz，則2/5/202327應力邊界條件方程的物理意義：建立了過外表面上任意點，單位表面力與過該點垂直坐標軸截面上應力分量的關系。2/5/2023283.5.1求和約定和應力張量（1）求和約定為了簡化公式和書寫的方便，我們常采用求和約定的方式來書寫公式。例如我們探討一矩陣與向量的乘法：

2/5/202329其中等式右邊各項可以寫為或去掉求和符號而直接寫為。其中有一特征：同一項中i為重復下標，逢重復下標就相加，該下標稱為啞標。非重復下標j稱為自由標。啞標啞標自由標2/5/202330求和約定的注意要點：啞標是說明求和的記號，用什么字母表示無關緊要。如2/5/202331方程式左右兩邊的自由標必須相同。例如：2/5/202332練習：把如下公式展開，以為例。“，”表示求導數其中2/5/202333（2）應力張量在斜面上的應力分析中，我們得到用矩陣表示為2/5/202334變形體內任意點的應力狀態可以通過該點且平行于坐標面的三個微分面上的九個應力分量來表示。根據這九個應力分量的特點，我們可以采用一種新的方法來表示它們，如下表所示。2/5/202335x面y面z面x方向y方向z方向2/5/202336去掉表中虛線，則變成矩陣，并可用一個符號表示該矩陣。2/5/202337該矩陣的特點：由材料力學剪切應力互等定律，有則此矩陣為一對稱矩陣。該對稱矩陣稱為二階對稱應力張量，矩陣中的元素稱為應力張量分量。2/5/202338張量在力學中是一個十分重要的概念。標量是一個僅由數的大小表征的量，如溫度、質量、能量等。矢量是由數的大小和方向來表征的量，如力、速度等，它可由空間中的有向線段表示。張量則是由數的大小、方向和方位來表征的量，如應力張量、應變速度張量等。2/5/202339標量可以表示在數軸上，數的大小有正負之分。不存在坐標變換，可以稱之為零階張量。矢量在坐標系中可以分解，隨著坐標系選取的不同，矢量的分量也隨之發生變化。存在坐標變換。為正交矩陣，有矢量可以稱之為一階張量2/5/202340而張量相當于矢量的某種集合，既包含了每一矢量的大小和方向，還體現了這些矢量之間的相互關系。其與坐標系的選取有關，存在坐標變換。具有如此坐標變換的張量稱為二階張量2/5/202341直角坐標系下的應力張量2/5/202342柱坐標系下的應力張量2/5/202343課堂練習已知變形體某點應力狀態如圖所示，當斜面法線方向與三個坐標軸夾角余弦時，求該斜面上的全應力S，全應力在坐標軸上的分量Sx、Sy、Sz，，及斜面上的法線應力sn和切應力tn。2/5/20234